正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用

1、FLT4815162342修改:“五、總結(jié)與展望判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0,若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散?！敝绣e(cuò)誤的句子“若為0則發(fā)散，若不為。則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界”應(yīng)當(dāng)為“若不為。則發(fā)散，若為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界”。還有，讓下載需求10分財(cái)富值什么的見鬼去吧！一我就要0分上傳！正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用一、引言數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實(shí)際生活中的運(yùn)用也較為廣泛，如經(jīng)濟(jì)問題等。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)乂是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，級(jí)數(shù)的收斂性更是級(jí)數(shù)理論的核心問題，要想解決正

2、項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問題必須先解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。二、預(yù)備知識(shí)1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件部分和數(shù)列3有界，即存在某正數(shù)M,對(duì)V>0,有S“<M02、幾種不同的判別法2.1比較判別法設(shè)£明和£匕是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對(duì)一切n>N都有“n-1n-1那么XX（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)£>也收斂；/i-in-i(2)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散；/i-i/

3、i-i即和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散?！癐H-1比較判別法的極限形式：設(shè)Z(1)(2)(3)/和yV是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。若lim也=/，則/i-lvn當(dāng)時(shí)，£“與£啖同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；/1-1/I-1當(dāng)/=o且級(jí)數(shù)£乙收斂時(shí)，£”也收斂：/r-ln-lXX當(dāng)/f8且Z乙發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。/i-in-i2.2 比值判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起成立著匕3N0,有/I-1"_】(1)若對(duì)一切N。，成立不等式3Wg,則級(jí)數(shù)£“收斂；61.18(2)若對(duì)一切N。，成立不等式321,則級(jí)數(shù)£明發(fā)散。比值判別法的極限形式：若“為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)收

4、斂;i-i級(jí)數(shù)發(fā)散。 /-I(1)當(dāng)lim><1時(shí),(2)當(dāng)lim>N1時(shí),n2.3 根式判別法設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)N。及正常數(shù)M/I-1(1)若對(duì)一切N。，成立不等式圾工"<1,則級(jí)數(shù)Z%收斂;f-1(2)若對(duì)一切N0,成立不等式病之1,則級(jí)數(shù)£>“收斂r-1根式判別法的極限形式:設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且出】1瘋=/,則“I（1）當(dāng)“1時(shí)，級(jí)數(shù)“收斂；】（2）當(dāng)/>1時(shí)，級(jí)數(shù)“發(fā)散；/?-!（3）當(dāng)/=1時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)一步判斷。2.4 柯西積分判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)£“，設(shè)%單調(diào)減少的數(shù)列，作一個(gè)連續(xù)的單調(diào)減少的正值函數(shù)/?=

5、!/（a-Xx>0）,使得當(dāng)x等于自然數(shù)n時(shí)，其函數(shù)恰為明。那么級(jí)數(shù)與數(shù)列4,/?=!這里同為收斂或同為發(fā)散。2.5 拉貝判別法設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在自然數(shù)N。及常數(shù)r,/I-1（1）若對(duì)一切九No,成立不等式（1-子>,->1,則級(jí)數(shù)收斂;（2）若對(duì)一切N。，成立不等式卜-手上1,則級(jí)數(shù)£“收斂拉貝判別法的極限形式：設(shè)£明是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則n-1II。）（1）當(dāng)，Y1時(shí)，級(jí)數(shù)攵斂；71-1（2）當(dāng)/>"'，級(jí)數(shù)£明發(fā)散。/!-1（3）當(dāng)一三1時(shí)，拉貝判別法無法判斷。2.6 阿貝爾判別法如果：（0級(jí)數(shù)£2；

6、n=l(方)級(jí)數(shù)%單調(diào)有界，同WK(=1,2,3,)，則級(jí)數(shù)也收斂。/r-12.7 狄立克萊判別法如果：(i)級(jí)數(shù)£包的部分和紇有界,8<M(=1,2,3,)n=lx(”)級(jí)數(shù)%單調(diào)趨近于零，則級(jí)數(shù)收斂。/I-12.8 對(duì)數(shù)判別法In-L (1)In n設(shè)4>0,之0，£”為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若/I-1>1+6/,72>0,Z"收斂n-1n-(2) >1 ,In nIni21+收斂Inn2.9 等價(jià)判別法8XX設(shè)£>為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，%，£冊(cè)收斂，則也收斂/!-ln-1n-1三、判別方法的比較1、當(dāng)級(jí)數(shù)可化為含參數(shù)的一般式

7、、通項(xiàng)為等差或等比值或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無法求出時(shí).，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷。如：取0<£()<-，V"，若令三”2所以級(jí)數(shù)發(fā)散(2)、+22+2+ynSlt=(V3-2V2+l)+/4-2V3+V2+(V5-2V4+V3)+.+(Vn+2-2VH+T+)=1-+yin+2-J+1=j歷+=J_7=yJn+2+yjn+1S=limS“=1-V2T8p級(jí)數(shù)只能用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷最為簡(jiǎn)便。2、當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如工，%為任意函數(shù)、級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有sin?；騝os®等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)

8、數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較lim也、lim啊不易算出或lim也=1、等此類無法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有I/f|>«30、T+XH關(guān)級(jí)數(shù)”的證明問題時(shí)，應(yīng)選用比較判另i法。例：(>1)級(jí)數(shù)收斂國8I(1) V£1+。81111(2) =-=，級(jí)數(shù)收斂比較判別法使用的范圍比較廣泛，適用于大部分無法通過其它途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。3、當(dāng)級(jí)數(shù)含有階n次幕，型如“!或”或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選用比值判別法。當(dāng)通項(xiàng)含(-1)”與”的函數(shù)可以選用比值判別法的極限形式進(jìn)行判斷，例：(1) 尸3(2 1嚴(yán)!lim=山。21=2級(jí)數(shù)發(fā)散 T8 n + 1H=1(1 + x)(

9、l + x2 )(1 + x;,)X<1lim“+】x>所以級(jí)數(shù)收斂4474710(3) Ii-F2262610lim=山。叫±± =上<1x 4 + 2 4級(jí)數(shù)收斂4、當(dāng)級(jí)數(shù)含有n次塞，型如"或(%)"或通項(xiàng)“=一即分母含有含Inx的函數(shù),ln'n分子為1,或級(jí)數(shù)含有多個(gè)聚點(diǎn)時(shí)，可選用根式判別法。例如：（1）£ir-l，映a*=;級(jí)數(shù)收斂一般來說，當(dāng)選用根式判別法無法判斷時(shí)，我們也可以選用比值判別法來判斷，但有時(shí)候我們用根式判別法而不使用比值判別法，因?yàn)楦脚袆e法得到的收斂條件比比值判別法更優(yōu)。例如：(2)l+b+b

10、c+/c"+(0<b<c)根式判別法lim%戶尸=癡一>8liin2lbncn=bc/?>00bc>l,級(jí)數(shù)發(fā)散bc<l,級(jí)數(shù)收斂bc=l,原式=1+1+。+級(jí)數(shù)發(fā)散比值判別法Km=cc>1級(jí)數(shù)收斂Un=b>T級(jí)數(shù)發(fā)散由例題可知，兩種判別法都可以用來判斷上題，但根式判別法與比值判別法相比得出的收斂范圍更小，約束條件更為詳細(xì)。因此，上題選用根式判別法比比值判別法更好。在使用判別法時(shí)，我們可以選用根式判別法找到最佳收斂條件。同時(shí)也存在只能使用根式判別法，使用比值判別法無法判斷的情況。例如:(3)工2-".lim瘋"=1山

11、】1dL=-級(jí)數(shù)收斂n->xn->x2V2-2不可使用比值判別法lim殳包=lim無法判斷斂散性11n因此，當(dāng)我們觀察級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的極限趨近于。時(shí)，我們可以選用比值判別法或根式判別法。5、當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如,，“為含有In的表達(dá)式或，可以找到原函數(shù)，或級(jí)數(shù)明"n為上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，"含有sinx或cosx等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用柯西積分判別法。例：811=3InninInnxlnxlnInx因?yàn)椤！靶“l(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散6、當(dāng)級(jí)數(shù)同時(shí)含有階層與n次塞，型如。!與小時(shí)，或使用比值、根式判別法時(shí)極限等于1或無窮無法判斷其斂散性的時(shí)候，選用拉貝判別法。例

12、：limn1-=%)2不能用比值判別法Uinf'!無法判斷斂散性n)不能用根式判別法吧瘋彳而無法判斷斂散性因此，當(dāng)根式判別法與比值判別法無法判斷斂散性時(shí)，我們可以選用拉貝判別法。7、當(dāng)通項(xiàng)是由兩個(gè)部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列，如含有sinx或cosx等三角函數(shù)(-1)”等；或可化為(-1)"，如：(一1產(chǎn)F=(1)”；也可以型如>>in(”)，明為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。阿貝爾判別法也可以看成是狄立克萊判別法的特殊形式。例：8xbxnx(1Y1x3+1設(shè)Z4收斂，則級(jí)數(shù)ZT，i+，,Zain?等都是極

13、M=I+1仁1n)M2n限8、當(dāng)通項(xiàng)可通過泰勒展開式等方法找到其等價(jià)式，則可以通過判斷其等價(jià)式的斂散性來判斷原正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，這需要對(duì)泰勒展開式能夠較為熟練的使用，以及對(duì)各種等價(jià)式能夠熟練的運(yùn)用。例：(1)z吟叫。)QQe=l+:+（泰勒展開式）sin（2如z!）=sin1+-+）1!2!J二sin2m?!1+2乃n+1(+1)(+2)'+7777+(+1刖+2)科)卜爭(zhēng))sin(2/a?n!)2%/儲(chǔ)+。所以級(jí)數(shù)收斂2冗志篇收斂9、當(dāng)4的值可化為泰勒開式，則選用高斯判別法。如:(1)£2幽=1A>og2e,級(jí)數(shù)收斂2<log2e,級(jí)數(shù)發(fā)散x In nQlim&

14、quot;=0,當(dāng)n充分大時(shí)，un>05II當(dāng) x = 0 ,當(dāng)xwO,級(jí)數(shù)為z"如果 >1,則級(jí)數(shù)收斂:如果pl,In'7) = xIn n + nlnl 1 - '山"=+ In (”)= /其中明唁當(dāng) x -> s 時(shí)，x - 0, nun 0,由洛必達(dá)法則lim "+>)= lim匕處3 = lim 工 = “8 U -"T8 VT8 2Vlim ln(wH/，+t)=0,lim= 1 級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)發(fā)散xnn 八、.=工0,“1nv 1 1lim -=2(吁 1)210、當(dāng)通項(xiàng)“=/?lnx或”=ln/。

15、產(chǎn)可以選用對(duì)數(shù)判別法。18/=(InIn產(chǎn)ln±=Inin(Inn)1對(duì)a>0,3n0當(dāng)之即時(shí)，InnInhi(in/!)>+a級(jí)數(shù)收斂四、應(yīng)用舉例的Il!+2!dF”!例1分析：本題無法使用根式判別法與比值判別法，因此選擇比較判別法進(jìn)行判斷°C，niv./=n!（n+1）（2）（n+1）（2n）（2n-1）（2n）xi且級(jí)數(shù)Jr收斂白(2一期)所以級(jí)數(shù)收斂例2E/£4(n-1(1+/X1+)(1+”)分析：本題無法使用根式判別法、比值判別法，或比較判別法以及其他的判別法進(jìn)行判斷，因此選用充要條件進(jìn)行判斷。=11%(1+-X1+%)(1+峭)(1+%)

16、(1+%一(1+勺)s=y=i!iS”單調(diào)遞增且有界所以級(jí)數(shù)收斂例3+1)分析：本題型如2畝(“)，明為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。二（一 1）" sin7Tln2 + +n所以級(jí)數(shù)收斂例4分析:本題中通項(xiàng)“ =£二歲含有階層, (2)!！但不能使用根式判別式或比值判別式進(jìn)行判斷，因此選用拉貝判別法°（2n + 2V 2/i + 1 ;所以當(dāng)2>1,即>2,級(jí)數(shù)收斂2例5£坐？分析：本題中分子含有(-1)",無法用比值判別法或其他方法判別，這種類型也是根式判別法的典型類型,取上極限進(jìn)行判斷，因此，選用根式判別法。lim%:=

17、lim'一(-=-<1極限收斂i->8Y->8221-In1+In分析:通過觀察，本題可以使用充要條件進(jìn)行判斷，但等價(jià)判斷法進(jìn)行判斷更為便捷。(2In1+j=nJ所以Lln1+lk乂。Z二收斂2n"收斂五、總結(jié)與展望判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0,若不為。則發(fā)散，若為。則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價(jià)式用等價(jià)判別法。當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時(shí)，則根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無法使用時(shí).，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西

18、判別法、庫默判別法或高斯判別法。庫默爾判別法可以推出比值判別法、拉貝爾判別法與伯爾特昂判別法。當(dāng)無法使用根式判別法時(shí)，通?？梢赃x用比值判別法，當(dāng)比值判別法也無法使用時(shí).，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時(shí)再使用充要條件進(jìn)行斷。由此，我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法無法判斷時(shí)，就出現(xiàn)一種新的判別法來進(jìn)行判斷，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法有無窮多種。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到傅立葉級(jí)數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。由于時(shí)間倉促，本文尚有許多不足之處，歡迎大家提出意見和建議，同時(shí)希望通過本文能加深學(xué)習(xí)者對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的了解。參考文獻(xiàn)陳欣.關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的兒種特殊方法J.武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002,4.陳金梅.暴級(jí)數(shù)求和法例談J.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào)，2005,9.夏學(xué)啟.貝努利數(shù)的簡(jiǎn)明