分布假設(shè)檢驗(yàn)

1、第五節(jié)第五節(jié) 分布假設(shè)檢驗(yàn)分布假設(shè)檢驗(yàn) 2 一、檢驗(yàn)法二、小結(jié)二、小結(jié)一、一、 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法. , )( : , )( : , , 1021的的一一種種方方法法的的分分布布函函數(shù)數(shù)不不是是總總體體的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為總總體體假假設(shè)設(shè)來(lái)來(lái)檢檢驗(yàn)驗(yàn)關(guān)關(guān)于于總總體體分分布布的的根根據(jù)據(jù)樣樣本本的的情情況況下下這這是是在在總總體體的的分分布布未未知知xFXHxFXHXXXn說(shuō)明說(shuō)明(1)在這里備擇假設(shè)在這里備擇假設(shè)H1可以不必寫(xiě)出可以不必寫(xiě)出.2 檢驗(yàn)法的定義檢驗(yàn)法的定義2. 1 : )3(為為連連續(xù)續(xù)型型若若總總體體 X則上述假設(shè)相當(dāng)于則上述假設(shè)相當(dāng)于).( :0 xfXH的的概概率率密密度度為

2、為總總體體 : )2(為離散型為離散型若總體若總體 X則上述假設(shè)相當(dāng)于則上述假設(shè)相當(dāng)于., 2 , 1, :0 iptXPXHii的的分分布布律律為為總總體體. , , , )( , )4(02然后作檢驗(yàn)然后作檢驗(yàn)然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)需要先用最大似需要先用最大似但其參數(shù)值未知但其參數(shù)值未知形式已知形式已知的的若若時(shí)時(shí)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)在使用在使用xFH lliijiiiiiiiiilA ,A ,A (A, A A,ij,i, j, ,l ).HpP( A ) (pP( A )i, ,l.nmAp (pnH 121001 2 , ), 1 2 , ) , ,.將隨機(jī)試驗(yàn)可能

3、結(jié)果的全體分為 個(gè)互不相容的事件于是在假設(shè)下 我們可以計(jì)算或在 次試驗(yàn)中 事件出現(xiàn)的頻率與或往往有差異但一般來(lái)說(shuō) 若為真 且試驗(yàn)次數(shù)又多時(shí) 這種差異不應(yīng)很大檢驗(yàn)法的基本思想檢驗(yàn)法的基本思想2. 2 3.皮爾遜皮爾遜(K.Pearson)定理定理0221liiiiHmnpnp 設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量為定理定理002 (50), ( ), 1 nHHl 若充分大則當(dāng)為真時(shí) 不論中的分布屬什么分布上統(tǒng)計(jì)量總是近似地服從自由度為的分布。 , ,0下下如如果果在在假假設(shè)設(shè)于于是是H22211liiii(mnp )(l),np . , 00HH否則就接受否則就接受下拒絕下拒絕則在顯著性水平則在顯著性水平 注意

4、注意iinnpn,np 2, , . , 50 5714 在使用檢驗(yàn)法時(shí)要足夠大 理論頻數(shù)不太小根據(jù)實(shí)踐 一般每一個(gè)， 數(shù)據(jù)分成組.解解例例1試檢驗(yàn)這顆骰子的六個(gè)面是否勻稱試檢驗(yàn)這顆骰子的六個(gè)面是否勻稱?)05. 0 ( 取取根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè)根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè)把一顆骰子重復(fù)拋擲把一顆骰子重復(fù)拋擲 300 次次, 結(jié)果如下結(jié)果如下:305260487040654321出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻數(shù)數(shù)出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)H0: 這顆骰子的六個(gè)面是勻稱的這顆骰子的六個(gè)面是勻稱的. )6 , 2 , 1(61:(0 iiXPH或或其中其中 X 表示拋擲這骰子一次所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示拋擲這骰子一次所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) (

5、可能可能值只有值只有 6 個(gè)個(gè)), )6 , 2, 1(, iii取取 . )6 , 2 , 1( 互不相容事件互不相容事件為為則事件則事件 iiXXAii在在 H0 為真的前提下為真的前提下, )(iiAPp )6 , 2, 1(,61 iiiii(mnp )np 2621 61300)6130040(2 61300)6130070(2 61300)6130048(2 61300)6130060(2 61300)6130052(2,61300)6130030(2 ,16.202 ,516 自由度為自由度為.()()., 0 05225511 07查表得,07.1116.202 所以拒絕所以拒

6、絕 H0, 認(rèn)為這顆骰子的六個(gè)面不是勻稱的認(rèn)為這顆骰子的六個(gè)面不是勻稱的. 在一試驗(yàn)中在一試驗(yàn)中, 每隔一定時(shí)間觀察一次由某種每隔一定時(shí)間觀察一次由某種鈾所放射的到達(dá)計(jì)數(shù)器上的鈾所放射的到達(dá)計(jì)數(shù)器上的 粒子數(shù)粒子數(shù), 共觀察了共觀察了100次次, 得結(jié)果如下表得結(jié)果如下表:iiimAAAAAAAAAAAAAA 0123456789101112012345678910111215161726119921210 iimiXP Xi,i, , ,i! . e0 1 2 其中是觀察到有個(gè)粒子的次數(shù) 從理論上考慮應(yīng)服從泊松分布 iP Xii! e?(0.05)問(wèn)是否符合實(shí)際 例例2解解所求問(wèn)題為所求問(wèn)題

7、為: 在水平在水平 0.05 下檢驗(yàn)假設(shè)下檢驗(yàn)假設(shè)服從泊松分布服從泊松分布總體總體 :0XH iP Xi,i, , ,i! e0 1 2 . , 0 故故先先估估計(jì)計(jì)未未具具體體給給出出中中參參數(shù)數(shù)由由于于在在 H由最大似然估計(jì)法得由最大似然估計(jì)法得, 2 . 4 x 根據(jù)題目中已知表格根據(jù)題目中已知表格, 有估計(jì)有估計(jì)iXP ,015. 0e0 2 . 40 XPp如如 . pP X.,! 34 234 23e0 1853 ,002. 011211112 iipXPp具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)表具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)表 3.3, i.i. pP Xi,i, , ,i! 4 24 2e0 1 2 221l

8、iiimnnp 表表3.3例例2的的擬合檢驗(yàn)計(jì)算表擬合檢驗(yàn)計(jì)算表 1 516172611 9 9 2 1 2 1 00.0150.0630.1320.1850.1940.1630.1140.0690.0360.0170.0070.0030.0021.56.313.218.519.416.311.46.93.61.70.70.30.219.39415.62234.8457.4237.10511.739iAimip ipniim / np20A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A664.6155.538106 281. 0.0780.0652 26 281. .(lk)().,

9、0 05221612 5926 281故接受故接受 H0, 認(rèn)為樣本來(lái)自泊松分布總體認(rèn)為樣本來(lái)自泊松分布總體. , 5 ,5 示示如表中第四列化括號(hào)所如表中第四列化括號(hào)所使得每組均有使得每組均有的組予以合并的組予以合并其中有些其中有些 iinppnl, 2 8 8116并組后故的自由度為 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中,全世界記錄到里氏震級(jí)全世界記錄到里氏震級(jí)4級(jí)和級(jí)和4級(jí)以上地震級(jí)以上地震共共162次次, 統(tǒng)計(jì)如下統(tǒng)計(jì)如下:(X 表示相繼兩次地震間隔天數(shù)表示相繼兩次地震間隔天數(shù), Y 表示出現(xiàn)的頻數(shù)表示出現(xiàn)的頻數(shù))8668101726315040

10、3935343029252420191514109540YX 試檢驗(yàn)相繼兩次地震間隔天數(shù)試檢驗(yàn)相繼兩次地震間隔天數(shù) X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布.0.05)( 解解所求問(wèn)題為所求問(wèn)題為: 在水平在水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)下檢驗(yàn)假設(shè)例例3的概率密度的概率密度 :0XHx,x,f ( x ),x. e000H 0 , . 由于在中參數(shù)未具體給出 故先估計(jì)由最大似然估計(jì)法得由最大似然估計(jì)法得x., 1223113 77162X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, . 9, 2, 1),9),01 iaakXii的的子子區(qū)區(qū)間間個(gè)個(gè)互互不不重重疊疊分分為為可可能能取取值值區(qū)區(qū)間間將將(見(jiàn)下頁(yè)表見(jiàn)下頁(yè)表)

11、503126171086680.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.056845.165635.575224.737417.204411.9718 8.3268 5.7996 4.0176 9.201655.351927.013227.327016.79808.35307.68606.207314.82695 . 40:1 xA5 . 95 . 4:2 xA5 .145 . 9:3 xA5 .195 .14:4 xA5 .245 .19:5 xA5 .295 .24:6 xA5 .345 .29:7 xA5 .395 .34:8 xA

12、 xA5 .39:9=163.563313.2192iAimip ipniim / np2表表3.4例例3的的擬合檢驗(yàn)計(jì)算表擬合檢驗(yàn)計(jì)算表2 在在 H0 為真的前提下為真的前提下, X 的分布函數(shù)的估計(jì)為的分布函數(shù)的估計(jì)為 . 0, 0, 0,e1)(77.13xxxFx有估計(jì)有估計(jì)概率概率)( iiAPp )(iiAPp 1 iiaXaP),()(1iiaFaF )( 22APp 如如5 . 05 . 4 XP)5 . 4()5 . 9(FF ,2196. 0 ,0568. 0)(1)(8199 iiAFAFp.(lk)()., 0 05221612 5921 5633故在水平故在水平 0.

13、05 下接受下接受 H0 , 認(rèn)為樣本服從指數(shù)分布認(rèn)為樣本服從指數(shù)分布.,5633. 11625633.1632 l,k, 81 下面列出了下面列出了84個(gè)依特拉斯坎人男子的頭顱個(gè)依特拉斯坎人男子的頭顱的最大寬度的最大寬度(mm), 試驗(yàn)證這些數(shù)據(jù)是否來(lái)自正試驗(yàn)證這些數(shù)據(jù)是否來(lái)自正態(tài)總體態(tài)總體?0.1)( 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140145 135 147 146 141 136 140

14、146 142 137148 154 137 139 143 140 131 143 141 149148 135 148 152 143 144 141 143 147 146150 132 142 142 143 153 149 146 149 138142 149 142 137 134 144 146 147 140 142140 137 152 145例例4解解所求問(wèn)題為檢驗(yàn)假設(shè)所求問(wèn)題為檢驗(yàn)假設(shè)的概率密度的概率密度 :0XH.,e21)(222)( xxfx ., , , 220 故故先先估估計(jì)計(jì)未未具具體體給給出出中中參參數(shù)數(shù)由由于于在在 H由最大似然估計(jì)法得由最大似然估計(jì)法得,

15、0 . 6, 8 .14322 ,7),(個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間分分為為可可能能取取值值區(qū)區(qū)間間將將 X(見(jiàn)下頁(yè)表見(jiàn)下頁(yè)表)在在 H0 為真的前提下為真的前提下, X 的概率密度的估計(jì)為的概率密度的估計(jì)為 1 4103324 9 30.00870.05190.17520.31200.28110.13360.0375 0.73 4.3614.7226.2123.6111.22 3.156.7941.5524.4010.02=87.67iAimip ipniim/ np25 .1345 .129:2 xA5 .129:1xA5 .1395 .134:3 xA5 .1445 .139:4 xA5 .149

16、5 .144:5 xA5 .1545 .149:6 xA xA5 .154:75.0914.374.91表表3 3.5例例4的的擬合檢驗(yàn)計(jì)算表擬合檢驗(yàn)計(jì)算表2 .,e621)(2262)8 .143( xxfx有估計(jì)有估計(jì)概率概率)( iiAPp )( 22APp 如如 5 .1345 .129 xP 68 .1435 .134 68 .1435 .129 .0519. 0)38. 2()55. 1( .(lk)()()., 0 10 1222152124 6053 67故在水平故在水平 0.1 下接受下接受 H0, 認(rèn)為樣本服從正態(tài)分布認(rèn)為樣本服從正態(tài)分布. 一農(nóng)場(chǎng)一農(nóng)場(chǎng)10年前在一魚(yú)塘里按如下比例年前在一魚(yú)塘里按如下比例 20 : 15 : 40 : 25 投放了四種魚(yú)投放了四種魚(yú): 鮭魚(yú)、鱸魚(yú)、竹鮭魚(yú)、鱸魚(yú)、竹夾魚(yú)和鲇魚(yú)的魚(yú)苗夾魚(yú)和鲇魚(yú)的魚(yú)苗. 現(xiàn)在在魚(yú)塘里獲得一樣本如現(xiàn)在在魚(yú)塘里獲得一樣本如下下:600168200100132)(4321 條條數(shù)數(shù)量量鲇鲇魚(yú)魚(yú)竹竹夾夾魚(yú)魚(yú)鱸鱸魚(yú)魚(yú)鮭鮭魚(yú)魚(yú)種種類(lèi)類(lèi)序序號(hào)號(hào)檢驗(yàn)各魚(yú)類(lèi)數(shù)量的比例較檢驗(yàn)各魚(yú)類(lèi)數(shù)量的比例較 10 年年前是否有顯著改變前是否有顯著改變?)05. 0( 取取例例5解解 , 記魚(yú)種類(lèi)的序號(hào)記魚(yú)種類(lèi)的序號(hào)用用 X根據(jù)題意需檢驗(yàn)假設(shè)根據(jù)題意需檢驗(yàn)假設(shè):25. 040. 015. 020. 04321 :0ip