2008 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及解析

1、 2008 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn). 可去間斷點(diǎn).無(wú)窮間斷點(diǎn). 振蕩間斷點(diǎn). 【分析】本題考查間斷點(diǎn)的概念、間斷點(diǎn)類(lèi)型的確定、變上限函數(shù)求導(dǎo)等知識(shí)點(diǎn)。【詳解】由于，所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。故應(yīng)選（）。（2）如圖,曲線段方程為,函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分等于曲邊梯形面積. 梯形面積.曲邊三角形面積. 三角形面積.【分析】考查定積分分部積分法及定積分幾何意義。 【詳解】，其中是矩形面積，為曲邊梯形的

2、面積，所以為曲邊三角形的面積。故應(yīng)選 （ C）（3）已知?jiǎng)t 都存在 不存在，存在 存在，不存在 都不存在【分析】本題考查偏導(dǎo)數(shù)的定義。從偏導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)即可?！驹斀狻慷?，所以不存在不存在；又，所以偏導(dǎo)數(shù)存在。故應(yīng)選（）。（4）設(shè)連續(xù)，為如圖所示的陰影部分，則，則 【分析】考查二重積分表示函數(shù)求導(dǎo)，用到二重積分計(jì)算、變限函數(shù)求導(dǎo)。將二重積分在適當(dāng)坐標(biāo)系下化為二次積分，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為變上限定積分，然后求導(dǎo)【詳解】用極坐標(biāo)得所以。因此應(yīng)選（A）（5）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（A）不可逆，不可逆. （B）不可逆，可逆.（C）可逆，可逆. （D）可逆，不可逆. 【分析】考查矩陣可逆的概念?！驹?/p>

3、解】由于，所以，故均可逆故應(yīng)選（C）評(píng)注：判斷一個(gè)矩陣是否可逆通常有兩種方法：一種是根據(jù)定義，另一種是計(jì)算該矩陣的行列式是否為零。（6）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為 【分析】考查矩陣合同的概念及兩個(gè)矩陣合同的充要條件。【詳解】法一：由于 令，可得，即矩陣特征值為,從而矩陣的秩為2,正慣性指數(shù)為1;記則，故其特征值為，所以矩陣秩為2,正慣性指數(shù)為為零；記則，故其特征值為，所以矩陣秩為2,正慣性指數(shù)為2；記 則，其特征值為，所以矩陣秩為2,正慣性指數(shù)為2；記則，故其特征值為，,所以矩陣秩為2,正慣性指數(shù)為1; 由于矩陣合同的充要條件是有相同的正負(fù)慣性指數(shù)，相同的秩，所以應(yīng)選（D）。 法二：由兩矩

4、陣合同的定義（其中可逆）可得 由于知與同號(hào)，所以應(yīng)選（D）。評(píng)注：判斷兩個(gè)矩陣是否合同，可用定義：存在可逆陣，使得；也可用充要條件：它們的秩與正慣性指數(shù)相等；還可以化為二次型進(jìn)行配方等。（7）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為，則分布函數(shù)為 （A） . （B） .（C） . （D） . 【分析】考查獨(dú)立的概念、分布函數(shù)的計(jì)算?！驹斀狻?故應(yīng)選（A）（8）設(shè)隨機(jī)變量，且相關(guān)系數(shù)，則 （A） （B）（C） （D） 【分析】本題考查隨機(jī)變量的數(shù)字特征。利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可直接得到?！驹斀狻糠ㄒ唬涸O(shè)，由，知道正相關(guān)，得，從而（A）、（C）不正確由，得 而,所以 從而。故選擇（D）。法二：由，得由于，所以

5、存在常數(shù)，使得，從而所以，而 所以，故應(yīng)選（D）。注：相關(guān)系數(shù)的充要條件是存在常數(shù)和，使得。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.（9）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則 . 【分析】由題設(shè)可知當(dāng)和時(shí)的表達(dá)式都是初等函數(shù),故此時(shí)是連續(xù)的,所以只需利用當(dāng)時(shí), 連續(xù)性來(lái)確定的取值. 【詳解】由題設(shè)知在連續(xù),故有 , 即 , 從而,解得: .（10）函數(shù)，求積分 . 【分析】由題設(shè)先求出表達(dá)式,再計(jì)算積分. 【詳解】由于,所以所以（11）設(shè),則. 【分析】此題是一道簡(jiǎn)單的二重積分計(jì)算.在計(jì)算過(guò)程中利用對(duì)稱(chēng)性可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 【詳解】法一:由于積分區(qū)域關(guān)于軸,軸對(duì)稱(chēng),所以有, ,

6、其中所以 法二：（12）微分方程滿足條件的解.【分析】本題考查變量可分離的一階微分方程初值問(wèn)題。直接將變量分離開(kāi)積分即可?！驹斀狻繉⒃匠套冃螢椋e分得所以方程的通解為，由，可得.所以微分方程滿足條件的解為.（13）設(shè)三階矩陣的特征值1，2，2，為三階單位矩陣，則 .【分析】本題考查矩陣行列式的性質(zhì)、互逆矩陣特征值之間的關(guān)系。由的特征值求出的特征值便可直接得到所求行列式的值。 【詳解】由的特征值1，2，2，可知特征值為，的特征值為從而.（14）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則.【分析】主要考查隨機(jī)變量的數(shù)字特征及泊松分布?！驹斀狻坑?，得，又因?yàn)榉膮?shù)為1的泊松分布，所以，從而，所以 評(píng)注

7、：應(yīng)記住常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15) （本題滿分10分）求極限.【分析】此極限是未定式的極限，用洛必達(dá)法則或無(wú)窮小的性質(zhì)求解。 【詳解】法一： 。法二：。(16) （本題滿分10分） 設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)且。（）求（）記，求.【分析】本題主要考查二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法以及全微分、高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算【詳解】（）方程兩端求微分得即： 所以 （）由（）知：， 所以評(píng)注：典型錯(cuò)誤：在（II）的求解中，沒(méi)有將求得的，代入的表達(dá)式，而直接對(duì)求偏導(dǎo)，因過(guò)程復(fù)雜計(jì)算繁瑣，

8、而無(wú)法進(jìn)行下去；在（II）的求解中，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將看成了常數(shù)而沒(méi)有看成的函數(shù)(17) （本題滿分10分）求二重積分其中【分析】考查分段函數(shù)二重積分的計(jì)算。先劃分積分域，再分別計(jì)算各分段域上的二重積分?！驹斀狻糠ㄒ唬?曲線將區(qū)域劃分成如下圖：則 。 法二： (18) （本題滿分10分）是周期為2的連續(xù)函數(shù)，（）證明對(duì)任意實(shí)數(shù)都有（）證明是周期為2的周期函數(shù)【分析】本題的第（）問(wèn)要證的是周期函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的積分等于在區(qū)間上的積分，可以利用可加性將等式左邊的積分與右邊的積分建立關(guān)系，再用換元積分法證明出所需的結(jié)論；在證（）時(shí)，注意利用（I）的結(jié)論【詳解】（）由于令，則所以（）由（）可

9、得，所以，因此是周期為2的周期函數(shù) (19) （本題滿分10分）設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計(jì)算某基金會(huì)希望通過(guò)存款萬(wàn)元，實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元，第二年提取28萬(wàn)元，第n年提取（10+9n）萬(wàn)元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問(wèn)至少應(yīng)為多少萬(wàn)元？【分析】一年后，存錢(qián)變?yōu)?，第一年提?9萬(wàn)元，提不完，則滿足，此時(shí)；兩年后，存錢(qián)變?yōu)?，第二年提?8萬(wàn)元，提不完，則滿足，此時(shí)；如此下去，永遠(yuǎn)提不完，則【詳解】由題設(shè)可知 而 設(shè) 兩邊求積分得 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得： 從而從而 （萬(wàn)元）因此至少應(yīng)為3980萬(wàn)元(20) （本題滿分11分）設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（）證明行列式；（）為何值，方程組有唯一

10、解，求；（）為何值，方程組有無(wú)窮多解，求通解?！痉治觥靠疾楦唠A行列式的計(jì)算、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。【詳解】(I) 方法一：方法二：記，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論對(duì)小于的情況成立將按第1行展開(kāi)得 故 方法三：記，將其按第一列展開(kāi)得 ，所以 即 (II) 因?yàn)榉匠探M有唯一解，所以由知，又，故由克萊姆法則，將的第1列換成，得行列式為所以 (III) 方程組有無(wú)窮多解，由，有，則方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為，所以方程組有無(wú)窮多解，其通解為為任意常數(shù)（21）（本題滿分11分）設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，證明（）線性無(wú)關(guān)；（）令，求【

11、分析】考查矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)及向量組線性無(wú)關(guān)的判定。（）要從線性無(wú)關(guān)的定義出發(fā)，或用反證法來(lái)證明?！驹斀狻浚ǎ┓ㄒ唬杭僭O(shè)線性相關(guān)，則可由線性表出，不妨設(shè)，其中不全為零（若同時(shí)為0，則為0，由可知）因?yàn)椋杂謴亩?，整理得：則線性相關(guān)，矛盾（因?yàn)榉謩e屬于不同特征值得特征向量，故線性無(wú)關(guān)）.故：線性無(wú)關(guān).法二：假設(shè)存在，使得 -（1）用矩陣左乘（1）式兩端，并由題設(shè)知得： -（2）（1）減（2）得 由于分別屬于不同特征值得特征向量，故線性無(wú)關(guān)，從而。代入（1）式得，而是的特征向量，所以，故。綜上線性無(wú)關(guān).（）記則可逆，即： .（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率分布為，的概率密度為，記（1）求（2）求的概率密度【分析】本題（1）求一個(gè)條件概率，使用條件概率公式即可。第問(wèn)也為第問(wèn)的計(jì)算做了鋪墊，第問(wèn)先求的分布函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)得到的概率密度。而求的關(guān)鍵點(diǎn)是使用全概率公式以及計(jì)算諸如中的條件概率?！驹斀狻?I) 法一： ；法二 ： (II) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 ， 從而 。（23） （本題滿分11分）設(shè)是總體為的簡(jiǎn)