初中數(shù)學競賽中定方程的整數(shù)解問題定方程的整數(shù)解問題

1、 初中數(shù)學競賽中不定方程的整數(shù)解問題 1. 利用整數(shù)分離 在解決不定方程問題時，首先逆用分式的加減法，將分式拆分成一個整數(shù)與一個分子為常數(shù)的分式的和或差的形式，然后利用整數(shù)整除的性質通過對簡單分式的分析來解決問題。這種方法是處理含有分式不定方程的整數(shù)解問題的一種有效途徑。例1. 方程的整數(shù)解共有幾組？2. 因式分解法 當不定方程的一邊容易化為兩個一次因式的乘積，另一邊是一個整數(shù)時，通常用分解因式法解決不定方程的整數(shù)解問題。例2. 方程的所有不同的整數(shù)解共有幾組?例3. 設直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b,斜邊長為c. 若a,b,c均為正整數(shù)，且，求滿足條件的直角三角形的個數(shù)？3. 判別式

2、法 在一個二元不定方程中，若把其中一個未知數(shù)當作參數(shù)后，該方程變?yōu)殛P于另一個未知數(shù)的一元二次方程，于是，可利用0，求出參數(shù)的范圍，然后求解。例4 關于x,y的方程的整數(shù)解（x,y）有幾組？4. 放縮法 是指根據(jù)已知條件將不定方程中某些未知數(shù)放大或縮小，從而確定某個未知數(shù)的取值范圍，進而確定該未知數(shù)的整數(shù)解，然后將其代入原方程求其他未知數(shù)的整數(shù)解一種解題方法。例5 當時，求方程的正整數(shù)解。5. 利用整除和同余例6 關于x,y的方程的所有正整數(shù)解為多少？6. 參數(shù)法 在一個二元不定方程中，若把其中一個未知數(shù)當作參數(shù)后，該方程變?yōu)殛P于另一個未知數(shù)的一元二次方程，則可利用設參數(shù)法，即設=，然后求出方程

3、的解，再利用數(shù)論的相關知識求解，或通過因式分解，直接從=求解例7.設a為質數(shù)，b為正整數(shù)，且。求a,b的值。練習題1. 求方程的整數(shù)解。2. 求滿足方程的整數(shù)對（x,y）的組數(shù)有多少？3. 方程的非負整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為幾組？4. 求方程的正整數(shù)解。5.關于m,n的方程是否存在整數(shù)解？若存在，請寫出一組解；若不存在，請說明理由。初中數(shù)學競賽中與質數(shù)有關的問題1常用知識與結論 （1）除2以外所有的質數(shù)均為奇數(shù)。 （2）因子分解唯一性定理。 （3）已知p,q均為質數(shù)，若pq,則p=q. （4）已知p為質數(shù)，a,b為整數(shù)，若pab，則pa,或pb. 推論 若p，則pa.2例題 1. 連續(xù)的n個正

4、整數(shù)，在每個數(shù)寫成標準的質因數(shù)乘積分解式后，每個質因數(shù)都是奇數(shù)次冪，這樣的n個連續(xù)正整數(shù)稱為一個“連n奇異組”(如n=3時，則22,23,24就是一個連3奇異組)則連n奇異組中n的最大可能值是多少？2. 滿足方程的質數(shù)對（a,b）的個數(shù)是幾對？3. 已知a,b,c,d都是質數(shù)（允許a,b,c,d相同），且abcd是35個連續(xù)正整數(shù)的和。則求a+b+c+d的最小值。4. 求滿足的所有質數(shù)p和正整數(shù)m.5. 求大于2的質數(shù)p，使得拋物線上有點滿足為正整數(shù)，為質數(shù)的平方。6. 已知正整數(shù)a,b滿足a-b是質數(shù)，且ab是完全平方數(shù)，當a2012時，求a的最小值。練習題1. 若a,b都是整數(shù)，方程的相異兩根都是質數(shù)，則求的值。2. 能否將2010寫出k個互不相等的質數(shù)的平方和?如果能，求k的最大值；如果不能，請簡述理由。3設p與5p2-2同為質數(shù)。求p的值。4.設a為質數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2a+b)2=509（4a