1-定積分與微積分基本定理(理)含答案版

1、定積分與微積分基本定理(理)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.求曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是()A.S=1(x2-x)dx0c. S=1(y2-y)dy0B. S=1(xx2)dx0D. S=1(y；y)dy0答案B分析根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù).解析兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0) , (1,1),故積分上限是 1,下限是 0,由于在0,1上，xx2,故函數(shù)y=x2與y=x所圍成圖 形的面積S=1(xx2)dx.0答案c解析圖中陰影部分面積為S=1(3 X2 2x)dx= (3x X3x2)|-3=罟.-34x2dx=()B. 2nC.n答案C解析 令y= 4 x2

2、，貝 Sx2+y2= 4（y0） ,由定積分的幾何意義知所求積分為圖中陰影部分 的面積，S= Tnx2=n.44. 已知甲、 乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， 并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對(duì)于圖中給定的to和ti，下列判斷中一定正確的 是（）A. 在ti時(shí)刻，甲車在乙車前面B. 在 ti時(shí)刻，甲車在乙車后面C. 在 to時(shí)刻，兩車的位置相同D. to時(shí)刻后，乙車在甲車前面 答案A解析判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實(shí)際上是判斷 在to,ti時(shí)刻，甲、乙兩車行駛路程的大小問題.根據(jù)定積分的幾何 意義知：車在某段時(shí)間內(nèi)行駛的路程就是該時(shí)間段內(nèi)

3、速度函數(shù)的定積 分，即速度函數(shù)v(t)的圖象與t軸以及時(shí)間段圍成區(qū)域的面積.從 圖象知：在10時(shí)刻，v甲的圖象與t軸和t= 0,t=to圍A.4n成區(qū)域的面積 大于v乙的圖象與t軸和t= 0,t=to圍成區(qū)域的面積，因此，在to時(shí)刻，甲車在乙車的前面，而且此時(shí)乙車的速度剛剛趕上甲車的速度， 所以選項(xiàng)C,D 錯(cuò)誤；同樣，在ti時(shí)刻，v甲的圖象與t軸和t=ti圍 成區(qū)域的面積，仍然大于v乙的圖象與t軸和t=ti圍成區(qū)域的面積， 所以，可以斷定：在ti時(shí)刻，甲車還是在乙車的前面.所以選 A.nn5.向平面區(qū)域Q= (x,y)| wx-4, 0y 1內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在曲線y= cos2x下方的概

4、率是()1答案Dn解析 平面區(qū)域Q是矩形區(qū)域，其面積是 2，在這個(gè)區(qū)域中曲線=COS2T下方區(qū)域的面積星亡葢 cos2xd.r =亠42 總匚 052*工=2(+初 2 I# =1.故所求的概率是丄=Z1TT2t*故選 u兀6.的值是()A. 0C. 2D. 2答案D12 112 23 3=(X+ 2X)10+ (3x2X)11= 2+ 2 = 3.9.已知a= ；(sinx cosx)dx，則二項(xiàng)式(不尺一的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是_.答案192_n解析 由已知得a=02(sinx cosx)dx= ( cosx+ sinx)| 0=nn(sin i cosy) (sinO cos0) =

5、2,(2,x：)6的展開式中第r+ 1 項(xiàng)是Tr+1= ( 1)rXC6X26rxx3一r，令 3r= 2 得，r= 1,故其系數(shù)為(1)1XC6X25=192.10.有一條直線與拋物線y=x2相交于A B兩點(diǎn)，線段AB與拋4物線所圍成圖形的面積恒等于 3,求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.7.2(2 |1 x|)dx=.0答案31+x0 x1解析丁y= c3x1x22(2 - |1x|)dx=1(1+x)dx+2(3x)dx解析(cosx sinx)=(cosx sinx) = 2.220 0 1解析設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(a,a1 2),B(b,b2),不妨設(shè)avb.b2a2則直線A

6、B的方程為ya2=a(xa),即y= (a+b)xab.則直線AB與拋物線圍成圖形的面積為S=b(a+b)xaba2a+b2xb1,xdx= (_2xabx -)|a= (ba),134二 6(ba)=3,解得ba=2.設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為Rx,y),x=a+1,將ba=2代入得y=a2+2a+ 2.消去a得y=x2+ 1.線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為y=x2+ 1.能力拓展提升11.等比數(shù)列an中，as= 6,前三項(xiàng)和S3=34xdx，則公比q的0值為()1A. 1B.1 1c. 1 或D.1 或a+bX=2，其中2亡a+by=T答案C1得 2qq 1 = 0,解得q= 1 或q=，故選

7、C.12 .已知(xlnx) = Inx+1,貝卩elnxdx=()1A. 1 B .eC .e 1 D .e+ 1答案A解析 由(xlnx) = lnx+1,聯(lián)想到(xlnxx) = (Inx+ 1)1 = lnx,于是elnxdx= (xlnxx)|1= (elnee) (1xln1 1)=11.13.拋物線y3= 2x與直線y= 4 x圍成的平面圖形的面積為答案183選y作為積分變量x=、解析因?yàn)镾3=34xdx=0衣歸18,所以q+q2+6=18化簡解析由方程組y=2x,y=4x,解得兩交點(diǎn)A(2,2)、B(8， 4),已知函數(shù)f(x) =ex- 1，直線11：x= 1,12：y=d1

8、(t為常數(shù), 且owt 1).直線li,丨2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域H所示，其面積用S表示.直線l2,y軸與函數(shù)f(x)的圖象圍成的封閉圖形如圖中區(qū)域I所示，其面積用S表示.當(dāng)t變化時(shí)，陰影部分的面積的最小值為 _ .答案(e 1)2 S=2-414.o區(qū)域H解析由題意得S+S2=t(et-1 e+ 1)dx+4(ex- 1 et+0ttztx1zx tt x t z xt11)dx=(ee)dx+(ee)dx= (xee)|。+ (exe)|t= (2tot-3)et+e+1,令g(t) = (2t-3)et+e+1(0t 1),則g(t) = 2et1 1 + (2t-

9、3)et= (2t-1)et，令g(t) = 0, 得t=夕二當(dāng)t 0 ,刁1時(shí)，g(t)0,g(t)是增函數(shù)，因此g(t)的最小值為g(1) =e+1-2e1= (-e-1)2.故陰影 部分的面積的最小值為 C_e1)2.15.求下列定積分.(1)1 1|x|dx;(2)ncos dx;01 /e+1xdx.解析(1)1-112 11|x|dx= 2xdx=2X * |0= 1.0(2)ncos2|dx=0n1+ COSX .1 ,n1 .,n兀2dx=2x|0+2sinx|0=2.04(3) /e+1xdx= ln(x 1)|e+1= 1.16.已知函數(shù)f(x) = x3+ax2+bx(a

10、,b R)的圖象如圖所示,它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為g,求a的值.f(x) = x3+ax2, 令f(x) = 0,得x= 0 或x=a(a0).320 ( x+ax)dxa=(1x41ax3)|a=ga4=右,-a0,. a= 1.1. 已知函數(shù)f(x) = sin5x+1,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、積分的性質(zhì)和積分的幾何意義，探求f(x)dx的值，結(jié)果是()n+B. nC. 1 D . 0答案B解析f(x)dx=fsin5xdx+ 1dx，由于函數(shù)y=sin5x2 2 2n n是奇函數(shù)，所以 2_ sinxdx=0,而1dx=x|2=n,故選 B.二S陰影

11、=0|解析0,二b= 0,2 22 20 x 1 Kx02.若函數(shù)f(x) =nCOSX0 x2，C. 1答案D1n1n3解析 由圖可知a=+；cosxdx= q+sinx| 0 = 203.對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a、b,若a?b的運(yùn)算原理如圖所示，貝卜 2?的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的封閉圖形的面積為a,則a的值為（八y0sinxdx=4.設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+c(az0)，若1f(x)dx=f(x。) , OWx 1,0則Xo的值為3i_12ax1aaf(x)dx=(ax+c)dx= ( +cx)|o= 3+c, 故 3+c0 0ax0=a，又az0,所以x2=扌,又 0 xo 2,0nsinxdx=y/2?