2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)文

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)文一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)1.已知集合A=x|2x4，B=x|x3或x5，則AB=()A.x|2x5B.x|x4或x5C.x|2x3D.x|x2或x5解析：集合A=x|2x4，B=x|x3或x5，AB=x|2x3.答案：C2.復(fù)數(shù)=()A.iB.1+iC.-iD.1-i解析：=i.答案：A3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為()A.8B.9C.27D.36解析：當(dāng)k=0時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=0，k=1，當(dāng)k=1時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=1，k=2，當(dāng)k=2時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故S=9，k=3，當(dāng)k=3

2、時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的S值為9.答案：B4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1，1)上為減函數(shù)的是()A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x解析：A.x增大時(shí)，-x減小，1-x減小，增大；函數(shù)y=在(-1，1)上為增函數(shù)，即該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.y=cosx在(-1，1)上沒有單調(diào)性，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.x增大時(shí)，x+1增大，ln(x+1)增大，y=ln(x+1)在(-1，1)上為增函數(shù)，即該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.y=2-x=()x；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，該函數(shù)在(-1，1)上為減函數(shù)，該選項(xiàng)正確.答案：D.5.圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為()A.1B.2C.D

3、.2解析：圓(x+1)2+y2=2的圓心為(-1，0)，圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為：d=.答案：C.6.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A.B.C.D.解析：從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，基本事件總數(shù)n=10，甲被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m=4，甲被選中的概率p=.答案：B7.已知A(2，5)，B(4，1).若點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，則2x-y的最大值為()A.-1B.3C.7D.8解析：如圖.A(2，5)，B(4，1).若點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，令z=2x-y，則平行y=2x-z當(dāng)直線經(jīng)過B時(shí)截距最小，Z取得最大值，可得2x-y

4、的最大值為：24-1=7.答案：C.8.某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，表中為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則()A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽解析：這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決

5、賽的有8人，故編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的學(xué)生進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽，又由同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則3，6，7號(hào)同學(xué)必進(jìn)入30秒跳繩決賽，剩下1，2，4，5，8號(hào)同學(xué)的成績(jī)分別為：63，a，60，63，a-1有且只有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽，故成績(jī)?yōu)?3的同學(xué)必進(jìn)入30秒跳繩決賽.答案：B二、填空題(共6小題，每小題5分，滿分30分)9.已知向量=(1，)，=(，1)，則與夾角的大小為 .解析：向量a=(1，)，b=(，1)，與夾角滿足：cos=，又0，=，答案：.10.函數(shù)f(x)=(x2)的最大值為 .解析：f(x)=；f(x)在2，+)上單調(diào)遞減；x=2時(shí)，f(x

6、)取最大值2.答案：2.11.某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為 .解析：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個(gè)以俯視圖為底面四棱柱，棱柱的底面面積S=(1+2)1=，棱柱的高為1，故棱柱的體積V=.答案：12.已知雙曲線=1(a0，b0)的一條漸近線為2x+y=0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a= ，b= .解析：雙曲線=1(a0，b0)的一條漸近線為2x+y=0，一個(gè)焦點(diǎn)為(5，0)，解得a=1，b=2.答案：1，2.13.在ABC中，A=，a=c，則= .解析：在ABC中，A=，a=3c，由正弦定理可得：，sinC=，C=，則B=-=.三角形是等腰三角形，B=C，則b=c，則=1.

7、答案：114.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店：第一天售出但第二天未售出的商品有 種；這三天售出的商品最少有 種.解析：設(shè)第一天售出商品的種類集為A，第二天售出商品的種類集為B，第三天售出商品的種類集為C，如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有16種；由知，前兩天售出的商品種類為19+13-3=29種，當(dāng)?shù)谌焓鄢龅?8種商品都是第一天或第二天售出的商品時(shí)，這三天售出的商品種類最少為29種.答案：16；29三、解答題(共6小題，滿分80分)15.已知an是等差

8、數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.解析：(1)設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得q=3，d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；(2)求得cn=an+bn=2n-1+3n-1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和.答案：(1)設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，由b2=3，b3=9，可得q=3，bn=b2qn-2=33n-2=3n-1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，則d=2，則an=a1+

9、(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1；(2)cn=an+bn=2n-1+3n-1，則數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為(1+3+(2n-1)+(1+3+9+3n-1)=.16.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析：(1)利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得的值；(2)直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案：(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=(sin2x+cos2x)=sin(2x+4).由T=，得=1；(2)由(1)得，f(x)

10、=sin(2x+).再由-+2k2x+2k，得-+kx+k，kZ.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+k，+k(kZ).17.某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如圖頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解析：(1)由頻率分布直方圖得：用水量在0.5，1)的頻率為0.1，用水量

11、在1，1.5)的頻率為0.15，用水量在1.5，2)的頻率為0.2，用水量在2，2.5)的頻率為0.25，用水量在2.5，3)的頻率為0.15，用水量在3，3.5)的頻率為0.05，用水量在3.5，4)的頻率為0.05，用水量在4，4.5)的頻率為0.05，由此能求出為使80%以上居民在該用的用水價(jià)為4元/立方米，w至少定為3立方米.(2)當(dāng)w=3時(shí)，利用頻率分布直方圖能求出該市居民的人均水費(fèi).答案：(1)由頻率分布直方圖得：用水量在0.5，1)的頻率為0.1，用水量在1，1.5)的頻率為0.15，用水量在1.5，2)的頻率為0.2，用水量在2，2.5)的頻率為0.25，用水量在2.5，3)的

12、頻率為0.15，用水量在3，3.5)的頻率為0.05，用水量在3.5，4)的頻率為0.05，用水量在4，4.5)的頻率為0.05，用水量小于等于3立方米的頻率為85%，為使80%以上居民在該用的用水價(jià)為4元/立方米，w至少定為3立方米.(2)當(dāng)w=3時(shí)，該市居民的人均水費(fèi)為：(0.11+0.151.5+0.22+0.252.5+0.153)4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)為10.5元.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面

13、PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說明理由.解析：(1)利用線面垂直的判定定理證明DC平面PAC；(2)利用線面垂直的判定定理證明AB平面PAC，即可證明平面PAB平面PAC；(3)在棱PB上存在中點(diǎn)F，使得PA平面CEF.利用線面平行的判定定理證明.答案：(1)PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC，DCAC，PCAC=C，DC平面PAC；(2)ABDC，DCAC，ABAC，PC平面ABCD，AB平面ABCD，PCAB，PCAC=C，AB平面PAC，AB平面PAB，平面PAB平面PAC；(3)在棱PB上存在中

14、點(diǎn)F，使得PA平面CEF.點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EFPA，PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.19.已知橢圓C：=1過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.解析：(1)由題意可得a=2，b=1，則，則橢圓C的方程可求，離心率為e=；(2)設(shè)P(x0，y0)，求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|.由SABNM= |AN|BM|，結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2.答案：(1)橢圓C：=1過點(diǎn)A(2，

15、0)，B(0，1)兩點(diǎn)，a=2，b=1，則，橢圓C的方程為=1，離心率為e=；(2)證明：如圖，設(shè)P(x0，y0)，則kPA=，PA所在直線方程為y=，取x=0，得yM=；kPB=，PB所在直線方程為y=x+1，取y=0，得xN=.|AN|=2-xN=2-=，|BM|=1-xM=.SABNM=|AN|BM|=4=2.四邊形ABNM的面積為定值2.20.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)a=b=4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；(3)求證：a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.解析：(1)求出

16、f(x)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線的方程；(2)由f(x)=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g(x)=x3+4x2+4x，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；(3)先證若f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，令f(x)=0，可得單調(diào)區(qū)間有3個(gè)，求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，運(yùn)用判別式大于0，可得a2-3b0；再由a=b=4，c=0，可得若a2-3b0，不能推出f(x)有3個(gè)零點(diǎn).答案：(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f(x)=3x2+2ax+b，可得y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線斜率為k=f(0)=b，切點(diǎn)為(0，c)，可得切線的方程為y=bx+c；(2)設(shè)a=b=4，即有f(x)=x3+4x2+4x+c，由f(x)=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g(x)=x3+4x2+4x的導(dǎo)數(shù)g(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)，當(dāng)x-或x-2時(shí)，g(x)0，g(x)遞增；當(dāng)-2x-時(shí)，g(x)0，g(x)遞減.即有g(shù)(x)在x=-2處取得極大值，且為0；g(x)在x=-處取得極小值，且為-.由函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，可得-c0，解