帶電粒子在磁場中運(yùn)動極值問題

1、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動一、 極值問題1、（速度方向 相同下的極值 問題）一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū)域的左邊界ad寬為L，現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v0方向與ad邊夾角為30°，如圖所示。已知粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計(jì)）。（1）若粒子帶負(fù)電，且恰能從d點(diǎn)射出磁場，求v0的大?。唬?）若粒子帶正電，使粒子能從ab邊射出磁場，求v0的取值范圍以及該范圍內(nèi)粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間t的范圍。2、（周期性）邊長為100cm的正方形光滑且絕緣的剛性框架ABCD固定在光滑的水平面上，如圖內(nèi)有垂直于框架平面B=0.5

2、T的勻強(qiáng)磁場一質(zhì)量m =2×10-4 kg，帶電量為q =4×10-3 C小球，從CD的中點(diǎn)小孔 P處以某一大小的速度垂直于CD邊沿水平面射入磁場，設(shè)小球與框架相碰后不損失動能求：(1)為使小球在最短的時(shí)間內(nèi)從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v1是多少?(2)若小球以v2=1ms的速度入射，則需經(jīng)過多少時(shí)間才能由P點(diǎn)出來? 答案：經(jīng)t=1.8(s)粒子能從P點(diǎn)出來。 3、（有界磁場區(qū)域的極值問題）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)垂真于AC邊飛出該三角形，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里、磁

3、感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場若此磁場僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力，試求：（1）畫出正三角形區(qū)域磁場的邊長最小時(shí)的磁場區(qū)域及粒子運(yùn)動的軌跡 （2）該粒子在磁場里運(yùn)動的時(shí)間t（3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長答案：（2） （3）4、(磁場區(qū)域的確定) 8一勻磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示。不計(jì)重力的影響。求磁場的磁感強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R

4、。 5、（磁場區(qū)域的極值）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從點(diǎn)b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為300.粒子的重力不計(jì)，試求: (1)圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積.(2)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間.(3)b到O的距離. 6、（磁場區(qū)域極值）.如圖所示，紙平面內(nèi)一帶電粒子以某一速度做直線運(yùn)動，一段時(shí)間后進(jìn)入一垂直于紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域(圖中未畫出磁場區(qū)域)，粒子飛出磁場后從上板邊緣平行于板面進(jìn)入兩面平行的金屬板間，兩金屬板帶等量異種電荷，粒子在兩板間經(jīng)偏轉(zhuǎn)后恰從下板右邊緣

5、飛出已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電量為q，其重力不計(jì)，粒子進(jìn)入磁場前的速度方向與帶電板成60°角勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電板板長為l，板距為d，板間電壓為U試解答：(1)上金屬板帶什么電?(2)粒子剛進(jìn)入金屬板時(shí)速度為多大?(3)圓形磁場區(qū)域的最小面積為多大?答案：（1）在磁場中向右偏轉(zhuǎn)，所以粒子帶負(fù)電；在電場中向下偏轉(zhuǎn)，所以上金屬板帶負(fù)電。（2）設(shè)帶電粒子進(jìn)入電場的初速度為v，在電場中偏轉(zhuǎn)的有(3)如圖所示，帶電粒子在磁場中所受洛倫茲力作為向心力，設(shè)磁偏轉(zhuǎn)的半徑為R，圓形磁場區(qū)域的半徑為r，則RrR由幾何知識可得 r=Rsin30°圓形磁場區(qū)域的最小面積為8、（周期性）在

6、受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)的裝置中溫度極高，因而帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場將帶電粒子的運(yùn)動束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。現(xiàn)有一個(gè)環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)圓半徑R1= m，外圓半徑R2=1.0m，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（如圖所示）。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B1.0T，被束縛帶正電粒子的荷質(zhì)比為=4.0×107C/kg，不計(jì)帶電粒子的重力和它們之間的相互作用若中空區(qū)域中的帶電粒子由O點(diǎn)沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度vo.、若中空區(qū)域中的帶電粒子以中的最大速度vo沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，求帶電粒子從剛進(jìn)入磁場某點(diǎn)開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間。9、真空中有一半徑為r的

7、圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界O點(diǎn)的切線，如圖所示，從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為vo的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m。（1）速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場中的運(yùn)動時(shí)間分別為多少？（2）所有從磁場邊界射出的電子，速度方向有何特征？（3）設(shè)在某一平面內(nèi)有M、N兩點(diǎn)，由M點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為vo的電子。請?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場，使得由M點(diǎn)發(fā)出的所有電子都能夠會聚到N點(diǎn)。所有的電子射出圓形磁場時(shí)，速度方向均與Ox軸相同 如圖所示，在區(qū)域足夠大的空間中充滿磁感應(yīng)

8、強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場,其方向垂直于紙面向里.在紙面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的等邊三角形框架DEF, ，DE中點(diǎn)S處有一粒子發(fā)射源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下，如圖（a）所示.發(fā)射粒子的電量為+q，質(zhì)量為m，但速度v有各種不同的數(shù)值.若這些粒子與三角形框架碰撞時(shí)均無能量損失，且每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊.試求：（1）帶電粒子的速度v為多大時(shí)，能夠打到E點(diǎn)？（2）為使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，且運(yùn)動時(shí)間最短，v應(yīng)為多大？最短時(shí)間為多少？（3）若磁場是半徑為 的圓柱形區(qū)域，如圖（b）所示(圖中圓為其橫截面)，圓柱的軸線通過等邊三角形的中心O，且a=L.要使

9、S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，帶電粒子速度v的大小應(yīng)取哪些數(shù)值？Bv（b）SLDEFO1、（全國卷）26如圖，在區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在t=0 時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=時(shí)刻剛好從磁場邊界上P(,a)點(diǎn)離開磁場。求：（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑R及粒子的比荷q；（2）此時(shí)刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與軸正方向夾角的取值范圍；（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時(shí)間【答案】 速度與y軸的正方向的夾角范

10、圍是60°到120°從粒子發(fā)射到全部離開所用 時(shí)間 為【解析】 粒子沿y軸的正方向進(jìn)入磁場，從P點(diǎn)經(jīng)過做OP的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為圓心，根據(jù)直角三角形有解得，則粒子做圓周運(yùn)動的的圓心角為120°，周期為粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，化簡得仍在磁場中的粒子其圓心角一定大于120°，這樣粒子角度最小時(shí)從磁場右邊界穿出；角度最大時(shí)從磁場左邊界穿出。角度最小時(shí)從磁場右邊界穿出圓心角120°，所經(jīng)過圓弧的弦與中相等穿出點(diǎn)如圖，根據(jù)弦與半徑、x軸的夾角都是30°，所以此時(shí)速度與y軸的正方向的夾角是60°。

11、角度最大時(shí)從磁場左邊界穿出，半徑與y軸的的夾角是60°，則此時(shí)速度與y軸的正方向的夾角是120°。所以速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場的右邊界相切，RRR在三角形中兩個(gè)相等的腰為，而它的高是，半徑與y軸的的夾角是30°，這種粒子的圓心角是240°。所用 時(shí)間 為。所以從粒子發(fā)射到全部離開所用 時(shí)間 為。2、(全國卷)26圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V;兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁場應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EF

12、G(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域。不計(jì)重力EFGH（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量。（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為，求離子乙的質(zhì)量。（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)?！敬鸢浮窟吷蠌牡近c(diǎn)。邊上從到?！窘馕觥浚?）由

13、題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動，它所受到的向上的磁場力和向下的電場力平衡，有 式中ks5u，v是離子運(yùn)動的速度，E0是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度，有ks5u由式得：ks5u 在正三角形磁場區(qū)域，離子甲做勻速圓周運(yùn)動。設(shè)離子甲質(zhì)量為m，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有： EFGHOKI/ks5u ks5u式中，r是離子甲做圓周運(yùn)動的半徑。離子甲在磁場中的運(yùn)動軌跡為半圓，圓心為O：這半圓剛好與EG邊相切于K，與EF邊交于I/點(diǎn)。在EOK中，OK垂直于EG。由幾何關(guān)系得 ks5uks5u由式得ks5u ks5u聯(lián)立式得,離子甲的質(zhì)量為ks5u（2）同理，有洛侖茲力公式和牛頓第二定律

14、有ks5uEFGHO/Iks5u式中，和分別為離子乙的質(zhì)量和做圓周運(yùn)動的軌道半徑。離子乙運(yùn)動的圓周的圓心必在E、H兩點(diǎn)之間，又幾何關(guān)系有ks5uks5u由式得ks5uks5u聯(lián)立式得，離子乙的質(zhì)量為 （3）對于最輕的離子，其質(zhì)量為，由式知，它在磁場中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動。因而與EH的交點(diǎn)為O，有ks5uks5u當(dāng)這些離子中的離子質(zhì)量逐漸增大到m時(shí)，離子到達(dá)磁場邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊變到點(diǎn)；當(dāng)離子質(zhì)量繼續(xù)增大時(shí)，離子到達(dá)磁場邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊趨向于點(diǎn)。點(diǎn)到點(diǎn)的 距離為ks5u ks5u所以，磁場邊界上可能有離子到達(dá)的區(qū)域是：邊上從到I/點(diǎn)。邊上從到。4、（新課標(biāo)卷）25如圖所示，在0xa、oy范圍內(nèi)有垂直手xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)0處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的 (1)速度的大小