完整版恒定電場習題解答

1、習題33-1半徑為a的均勻極化介質(zhì)球以它的一條直徑為軸勻速旋轉(zhuǎn),角速度 ,該軸平行于 球的極化強度P,求：(1)由于旋轉(zhuǎn)形成的面電流密度分布；(2)通過球面上 =0的半圓周也即球的一條“經(jīng)線的總電流；(3)通過這條“經(jīng)線的上半段( 0W w /2 )和下半段(/2< < )的電流分別是 多少解：由于介質(zhì)球均勻極化,極化強度為常矢量,可設(shè) P azP.(1)介質(zhì)球外表的極化面電荷密度為ppsP ? nazP ?ar Pcos球面上任一點的線速度為v 3 r az ara a a sin旋轉(zhuǎn)時介質(zhì)球外表的極化電荷形成面電流,其密度為1JSPSv a asin Pcos a - P a

2、sin 2(2)通過球面上 =0的半圓周的總電流為冗1D 冗I Js?a ad 1P a2 sin2 d 00 S20(3)通過上半段(0W w /2 )的電流為TTI - P a2 2sin 2 d - P a2202通過下半段(/2w w )的電流為1P 2是常數(shù),一ax b (a、b為12 7t-P a sn 2 d223-2如題3.2圖所示的平行板電容器中充滿線形介質(zhì),常數(shù)).假設(shè)電容器中恒定漏電流為 Jx,求電容器中的電荷密度題3-2圖解：由導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可知,兩極板之間的電場強度為于是可得電位移矢量ax Jx ax(ax b)Jx電容器中的電荷密度為?D aJx3-3內(nèi)、外導體

3、半徑分別為 a和b的同軸電纜,內(nèi)外導體之間填充兩層電容率分別為和2、電導率分別為 1和2的介質(zhì),介質(zhì)分界面半徑為 co當外加電壓為 中的電場及分界面上的自由電荷密度.U時,求兩種介質(zhì)解：由同軸電纜的軸對稱特點可知,電位、電場強度和電流密度僅是半徑流密度和電場強度沿半徑 上電流連續(xù),因此可寫出a方向.設(shè)內(nèi)外導體間單位長度的漏電流為I,的函數(shù),電 由于在媒質(zhì)分界面Ji1E1,J2Ei于是可得E2內(nèi)外導體間的電壓為cE1daE2dcln-a1nb c解得ln±1 a11nb2 c最后得出兩種媒質(zhì)中的電場強度分別為Ei(ac)"11nb 21a 2 c(cb)兩種媒質(zhì)分界面上的自由

4、電荷密度為S 2E2(C)1E1 (c)LnC 11nbe1 a 2 c3-4內(nèi)、外導體半徑分別為 a和b的同軸電纜,內(nèi)外導體之間以過軸線的平面為分界面,半填充電容率為1、電導率為1的媒質(zhì),一半填充電容率為2、電導率為2的媒質(zhì),求該電纜單位長度的電容和漏電導以及單位長度儲存的電能和損耗功率.的函數(shù),電解：由該同軸電纜的對稱特點可知,電位、電場強度和電流密度僅是半徑流密度和電場強度沿半徑 a方向.設(shè)內(nèi)外導體間單位長度的漏電流為I,由于在媒質(zhì)分界面上電場處于切向,應滿足切向連續(xù),因此有E1 E2 E.由可得內(nèi)外導體間的電壓為單位長度的漏電導為J1J22E2冗(J1bEdaGo由靜電比較關(guān)系可得單位

5、長度的電容量為Co7t1nb a12)E2)2)2)1nba2)1nb a單位長度的靜電能為1122E2d211b |2 12 2 a /2 2( 1 257T2)U221nB a單位長度的損耗功率為G0U22)U21nba3-5設(shè)半徑為R1和R2的兩個同心球面之間填充著o(1 區(qū))的材料,K為常數(shù),R求兩球面之間的電阻.解：利用靜電比較原理,可設(shè) 0(1 K)r設(shè)R1球帶電量為 q,那么兩球面間的電場為二 qqEr2,.一4 冗 r 4 冗 or(r K)兩球面間電壓為R2q R2 11U Edrq(- )drR14 7to K & r r KMr 1n(K)R2q 1n &

6、(R K)4 冗 0KR(R2 K)兩球面間電容為4冗0K1n R2(Ri K)R1(R2 K)由靜電比較原理可得兩球面間電阻為K)4冗 0K R1(R2 K)3-6如題3.6圖所示的平行板電容器,極板面積為S,板間距離為do兩極板之間正中間三分之一的空間填充電容率為、電導率為的介質(zhì),兩邊各三分之一的空間是空氣.當外加電壓為U時,求該電容器的電容和漏電導.Tu,00題3-6圖解：由介質(zhì)分界面的邊界條件可知,電容器內(nèi)各局部電場強度均勻分布,即于是,極板外表各局部的電荷密度分別為0E、 E、0E,極板上的總電量為Q S( oEE 0E) -|U(2 0)33d該電容器的總電容為 Q (2 0 )S

7、C U 3d漏電導為S3d3-7如題3.7圖所示的扇形薄金屬片,電導率為,厚度為,扇角為,內(nèi)外半徑分別為門和2.分別求沿厚度方向的電阻R.、兩弧面間的電阻R和兩個直邊之間的電阻R'.(1)(2)題3-7圖解：(1)沿厚度方向的電導可用平板電容比較,上下加電壓U時,金屬片中的電場為極板上帶電量為U 22qsS DS ES M ri )2九電容量為C q(r2 ri )c U2由靜電比較原理,可得上下方向的電阻即為R0222(2A )(2)沿兩弧面方向的電導可用同軸電纜的電容比較,在兩弧面間加電壓 中的電場為U時,金屬片內(nèi)導體弧面帶電量為U,2In 一1兩弧面間電容為QsSE(ri) ri

8、In - riIn巨r(nóng)1由靜電比較原理,可得沿半徑方向的電阻即為1In(r2/r1)R - G(3)沿兩直邊方向的電導可用旋轉(zhuǎn)電容器比較,在兩直邊上加電壓 滿足拉普拉斯方程：U,金屬片內(nèi)電位解得C1C2代入邊界條件(0)U,0,解得于是得到電位解為直邊上電荷密度為兩直邊之間的電容量為sdSr2 4r1In0r1由靜電比較原理,可得兩直邊之間的電阻即為/In上r13-8閃電在t0時刻擊中一個半徑為a 0.1m的有耗介質(zhì)球(把1mC的電荷散落在球上. 假設(shè)t 0時刻時電荷在球內(nèi)均勻分布, 外表上的暫態(tài)過程中任意時刻的電場強度和電流密度分布.解：由題意,t 0時刻時,球內(nèi)的電荷密度為=10S/m ,

9、 r = 1.2), 求電荷從體積內(nèi)擴散到3 10 303 _3.4舊 /34 冗(0.1)4 冗_3(C/m 3)電荷密度隨時間變化的規(guī)律可由電流連續(xù)性方程、媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系即高斯定律確定, 即 ?J t?( E)-toe103rrVe4冗解方程得39.42 1011te4冗由任意時刻的高斯定律可得任意時刻球內(nèi)任意點的電場強度為dEar-24冗rar24 冗 0i.2r1ar4.8 冗 09.42 1011t _ _rear7.5ii99.42 i0ii ti0 re(V/m)任意時刻的電流密度分布為109.42 1011tJ E ar7.5 10 re(A/m2)3-9在電導率為的無限大均勻

10、漏電介質(zhì)里有兩個導體小球,半徑分別為ri和2,小球間距d d >>ri, d >>2,即兩球之間的靜電感應可以忽略,求兩小球間的電阻 Ro解：導體小球為等勢體,設(shè)兩球分別帶q和-q,由于d >>ri, d >>r2,因此,在求解球表面和球外的電位時, 于是可求得可忽略兩球間的靜電感應,把q和-q看作是各自位于球心的點電荷,4 冗(d ri)4 冗24 冗d 2兩球之間電壓為(i - rid 六d 七于是得兩球之間電容為1dr114冗一ri由靜電比較原理,可得兩球之間電阻為六d23-10 一個半徑為a的導體球接地器埋入地下, 球心距地面hh>

11、a,考慮到地面的影響, 求該接地器的接地電阻,設(shè)土壤的電導率為.a原系統(tǒng)b鏡像系統(tǒng)c靜電比較系統(tǒng)題3-10圖解：考慮地面的影響,可采用鏡像法來求解下半空間的電位,鏡像系統(tǒng)如題3-10 b圖所示.需要注意的是1構(gòu)造鏡像系統(tǒng)時使用了恒定電場的邊界條件J1n J2n 0,EtE2t,因此其鏡像電流應如圖b中所示,而與圖b對應的靜電比較系統(tǒng)中鏡像 電荷應是Q而不是-Q; 2要使圖b的下半空間電流分布與圖a相同,注入的總電 流須是圖a的2倍；而鏡像系統(tǒng)和原系統(tǒng)在求解區(qū)域電位必相同,因此,求得的電導必 是原系統(tǒng)電導的2倍.由圖b的靜電比較系統(tǒng)圖c可求出土壤中導體球?qū)o窮遠處零參考的電位為qqA,、4 冗

12、a 4 冗2h a注意：兩個導體球是連在一起的,因而電位相等.4：ta2h ah于是可得兩個導體球?qū)o窮遠的電容為2114 冗 a 4 冗2h a由靜電比較原理,可得原接地導體球的接地電導為c G 2 兀 a2h aG - 接地電阻為G 2 冗 a(2h a)3-11厚度為d的無限大均勻?qū)щ娒劫|(zhì)板上垂直地插有兩根無限長金屬圓柱形電極,兩 圓柱的軸線相距 D,半徑為a, D >>a;兩電極間電壓為 U,求兩電極之間的電流.|一,I題3-11圖解：由于媒質(zhì)板與兩平行圓柱的電場強度平行,根據(jù)電場強度切向連續(xù)的邊界條件,媒質(zhì)板內(nèi)外的電場強度和電位分布相同.因此,先求沒有媒質(zhì)板時的電位.設(shè)兩

13、圓柱導體單位帶電量分別為i和-i,取兩圓柱軸線的中分面為電位零參考,那么兩圓柱間電壓為2 (a)解得兀oUlnD厚度為d的導體圓柱外表的帶電量為oUdq ld 11 D ain a又由于 D >>a,因此,兩電極之間的電流根據(jù)靜電比較原理,q與I是一比照較變量, 為| 冗Ud,D aina的土壤中,管口與地面平齊,考3-12半徑為a,長為1的管形接地器直立于電導率為 慮地面影響,求該接地器的接地電阻R.(c)靜電比較系統(tǒng)(a)原系統(tǒng)(b)鏡像系統(tǒng)題3-12圖解：考慮地面的影響,可用鏡像法來求解下半空間的電位,其鏡像系統(tǒng)如題3-12 (b)圖所示,其中利用了邊界條件JinJ2n( 0

14、), EitE2t.而圖(b)的電位解可用靜電比擬法求解,其靜電比較系統(tǒng)如圖( c)所示.設(shè)導體管單位長度帶電量為i,可視為位于軸(,z)dzl4：tR14 7t . (z z)22dZ線上,取無窮遠為零參考,于是,管外任一點電位為l .(z l)22(z l)ln 22 4 九 (z l) (z l)管外表單位( a, z 0 )為(a,0)2l2a221T a24aa ,取l2 a2 l2,那么導體管外表電位近似為2/、 i , (2l)2i , 2l(a) In In 該管的電容為4冗 a 2冗 a _2L_l(a) , 2IIna由靜電比較原理,可得原接地導體管的接地電導為接地電阻為1 , 2iR in 2兀i a3-13在很深的湖底上方高 h處懸浮著一本半徑為 a的極長的直導線,導線平行于湖底,h>>a.假設(shè)湖底為良導體平面,湖水電導率為,求單位長度的導線與湖底之間的電阻.2a77/7/7777(a)原系統(tǒng),.-i(b)鏡像系統(tǒng)題3-13圖解：