完整版恒定電場(chǎng)習(xí)題解答

1、習(xí)題33-1半徑為a的均勻極化介質(zhì)球以它的一條直徑為軸勻速旋轉(zhuǎn),角速度 ,該軸平行于 球的極化強(qiáng)度P,求：(1)由于旋轉(zhuǎn)形成的面電流密度分布；(2)通過(guò)球面上 =0的半圓周也即球的一條“經(jīng)線的總電流；(3)通過(guò)這條“經(jīng)線的上半段( 0W w /2 )和下半段(/2< < )的電流分別是 多少解：由于介質(zhì)球均勻極化,極化強(qiáng)度為常矢量,可設(shè) P azP.(1)介質(zhì)球外表的極化面電荷密度為ppsP ? nazP ?ar Pcos球面上任一點(diǎn)的線速度為v 3 r az ara a a sin旋轉(zhuǎn)時(shí)介質(zhì)球外表的極化電荷形成面電流,其密度為1JSPSv a asin Pcos a - P a

2、sin 2(2)通過(guò)球面上 =0的半圓周的總電流為冗1D 冗I Js?a ad 1P a2 sin2 d 00 S20(3)通過(guò)上半段(0W w /2 )的電流為TTI - P a2 2sin 2 d - P a2202通過(guò)下半段(/2w w )的電流為1P 2是常數(shù),一ax b (a、b為12 7t-P a sn 2 d223-2如題3.2圖所示的平行板電容器中充滿線形介質(zhì),常數(shù)).假設(shè)電容器中恒定漏電流為 Jx,求電容器中的電荷密度題3-2圖解：由導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可知,兩極板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為于是可得電位移矢量ax Jx ax(ax b)Jx電容器中的電荷密度為?D aJx3-3內(nèi)、外導(dǎo)體

3、半徑分別為 a和b的同軸電纜,內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層電容率分別為和2、電導(dǎo)率分別為 1和2的介質(zhì),介質(zhì)分界面半徑為 co當(dāng)外加電壓為 中的電場(chǎng)及分界面上的自由電荷密度.U時(shí),求兩種介質(zhì)解：由同軸電纜的軸對(duì)稱特點(diǎn)可知,電位、電場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度僅是半徑流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度沿半徑 上電流連續(xù),因此可寫出a方向.設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的漏電流為I,的函數(shù),電 由于在媒質(zhì)分界面Ji1E1,J2Ei于是可得E2內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為cE1daE2dcln-a1nb c解得ln±1 a11nb2 c最后得出兩種媒質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為Ei(ac)"11nb 21a 2 c(cb)兩種媒質(zhì)分界面上的自由

4、電荷密度為S 2E2(C)1E1 (c)LnC 11nbe1 a 2 c3-4內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為 a和b的同軸電纜,內(nèi)外導(dǎo)體之間以過(guò)軸線的平面為分界面,半填充電容率為1、電導(dǎo)率為1的媒質(zhì),一半填充電容率為2、電導(dǎo)率為2的媒質(zhì),求該電纜單位長(zhǎng)度的電容和漏電導(dǎo)以及單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的電能和損耗功率.的函數(shù),電解：由該同軸電纜的對(duì)稱特點(diǎn)可知,電位、電場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度僅是半徑流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度沿半徑 a方向.設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的漏電流為I,由于在媒質(zhì)分界面上電場(chǎng)處于切向,應(yīng)滿足切向連續(xù),因此有E1 E2 E.由可得內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為J1J22E2冗(J1bEdaGo由靜電比較關(guān)系可得單位

5、長(zhǎng)度的電容量為Co7t1nb a12)E2)2)2)1nba2)1nb a單位長(zhǎng)度的靜電能為1122E2d211b |2 12 2 a /2 2( 1 257T2)U221nB a單位長(zhǎng)度的損耗功率為G0U22)U21nba3-5設(shè)半徑為R1和R2的兩個(gè)同心球面之間填充著o(1 區(qū))的材料,K為常數(shù),R求兩球面之間的電阻.解：利用靜電比較原理,可設(shè) 0(1 K)r設(shè)R1球帶電量為 q,那么兩球面間的電場(chǎng)為二 qqEr2,.一4 冗 r 4 冗 or(r K)兩球面間電壓為R2q R2 11U Edrq(- )drR14 7to K & r r KMr 1n(K)R2q 1n &

6、(R K)4 冗 0KR(R2 K)兩球面間電容為4冗0K1n R2(Ri K)R1(R2 K)由靜電比較原理可得兩球面間電阻為K)4冗 0K R1(R2 K)3-6如題3.6圖所示的平行板電容器,極板面積為S,板間距離為do兩極板之間正中間三分之一的空間填充電容率為、電導(dǎo)率為的介質(zhì),兩邊各三分之一的空間是空氣.當(dāng)外加電壓為U時(shí),求該電容器的電容和漏電導(dǎo).Tu,00題3-6圖解：由介質(zhì)分界面的邊界條件可知,電容器內(nèi)各局部電場(chǎng)強(qiáng)度均勻分布,即于是,極板外表各局部的電荷密度分別為0E、 E、0E,極板上的總電量為Q S( oEE 0E) -|U(2 0)33d該電容器的總電容為 Q (2 0 )S

7、C U 3d漏電導(dǎo)為S3d3-7如題3.7圖所示的扇形薄金屬片,電導(dǎo)率為,厚度為,扇角為,內(nèi)外半徑分別為門和2.分別求沿厚度方向的電阻R.、兩弧面間的電阻R和兩個(gè)直邊之間的電阻R'.(1)(2)題3-7圖解：(1)沿厚度方向的電導(dǎo)可用平板電容比較,上下加電壓U時(shí),金屬片中的電場(chǎng)為極板上帶電量為U 22qsS DS ES M ri )2九電容量為C q(r2 ri )c U2由靜電比較原理,可得上下方向的電阻即為R0222(2A )(2)沿兩弧面方向的電導(dǎo)可用同軸電纜的電容比較,在兩弧面間加電壓 中的電場(chǎng)為U時(shí),金屬片內(nèi)導(dǎo)體弧面帶電量為U,2In 一1兩弧面間電容為QsSE(ri) ri

8、In - riIn巨r(nóng)1由靜電比較原理,可得沿半徑方向的電阻即為1In(r2/r1)R - G(3)沿兩直邊方向的電導(dǎo)可用旋轉(zhuǎn)電容器比較,在兩直邊上加電壓 滿足拉普拉斯方程：U,金屬片內(nèi)電位解得C1C2代入邊界條件(0)U,0,解得于是得到電位解為直邊上電荷密度為兩直邊之間的電容量為sdSr2 4r1In0r1由靜電比較原理,可得兩直邊之間的電阻即為/In上r13-8閃電在t0時(shí)刻擊中一個(gè)半徑為a 0.1m的有耗介質(zhì)球(把1mC的電荷散落在球上. 假設(shè)t 0時(shí)刻時(shí)電荷在球內(nèi)均勻分布, 外表上的暫態(tài)過(guò)程中任意時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和電流密度分布.解：由題意,t 0時(shí)刻時(shí),球內(nèi)的電荷密度為=10S/m ,

9、 r = 1.2), 求電荷從體積內(nèi)擴(kuò)散到3 10 303 _3.4舊 /34 冗(0.1)4 冗_(dá)3(C/m 3)電荷密度隨時(shí)間變化的規(guī)律可由電流連續(xù)性方程、媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系即高斯定律確定, 即 ?J t?( E)-toe103rrVe4冗解方程得39.42 1011te4冗由任意時(shí)刻的高斯定律可得任意時(shí)刻球內(nèi)任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為dEar-24冗rar24 冗 0i.2r1ar4.8 冗 09.42 1011t _ _rear7.5ii99.42 i0ii ti0 re(V/m)任意時(shí)刻的電流密度分布為109.42 1011tJ E ar7.5 10 re(A/m2)3-9在電導(dǎo)率為的無(wú)限大均勻

10、漏電介質(zhì)里有兩個(gè)導(dǎo)體小球,半徑分別為ri和2,小球間距d d >>ri, d >>2,即兩球之間的靜電感應(yīng)可以忽略,求兩小球間的電阻 Ro解：導(dǎo)體小球?yàn)榈葎?shì)體,設(shè)兩球分別帶q和-q,由于d >>ri, d >>r2,因此,在求解球表面和球外的電位時(shí), 于是可求得可忽略兩球間的靜電感應(yīng),把q和-q看作是各自位于球心的點(diǎn)電荷,4 冗(d ri)4 冗24 冗d 2兩球之間電壓為(i - rid 六d 七于是得兩球之間電容為1dr114冗一ri由靜電比較原理,可得兩球之間電阻為六d23-10 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球接地器埋入地下, 球心距地面hh>

11、a,考慮到地面的影響, 求該接地器的接地電阻,設(shè)土壤的電導(dǎo)率為.a原系統(tǒng)b鏡像系統(tǒng)c靜電比較系統(tǒng)題3-10圖解：考慮地面的影響,可采用鏡像法來(lái)求解下半空間的電位,鏡像系統(tǒng)如題3-10 b圖所示.需要注意的是1構(gòu)造鏡像系統(tǒng)時(shí)使用了恒定電場(chǎng)的邊界條件J1n J2n 0,EtE2t,因此其鏡像電流應(yīng)如圖b中所示,而與圖b對(duì)應(yīng)的靜電比較系統(tǒng)中鏡像 電荷應(yīng)是Q而不是-Q; 2要使圖b的下半空間電流分布與圖a相同,注入的總電 流須是圖a的2倍；而鏡像系統(tǒng)和原系統(tǒng)在求解區(qū)域電位必相同,因此,求得的電導(dǎo)必 是原系統(tǒng)電導(dǎo)的2倍.由圖b的靜電比較系統(tǒng)圖c可求出土壤中導(dǎo)體球?qū)o(wú)窮遠(yuǎn)處零參考的電位為qqA,、4 冗

12、a 4 冗2h a注意：兩個(gè)導(dǎo)體球是連在一起的,因而電位相等.4：ta2h ah于是可得兩個(gè)導(dǎo)體球?qū)o(wú)窮遠(yuǎn)的電容為2114 冗 a 4 冗2h a由靜電比較原理,可得原接地導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為c G 2 兀 a2h aG - 接地電阻為G 2 冗 a(2h a)3-11厚度為d的無(wú)限大均勻?qū)щ娒劫|(zhì)板上垂直地插有兩根無(wú)限長(zhǎng)金屬圓柱形電極,兩 圓柱的軸線相距 D,半徑為a, D >>a;兩電極間電壓為 U,求兩電極之間的電流.|一,I題3-11圖解：由于媒質(zhì)板與兩平行圓柱的電場(chǎng)強(qiáng)度平行,根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)的邊界條件,媒質(zhì)板內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位分布相同.因此,先求沒(méi)有媒質(zhì)板時(shí)的電位.設(shè)兩

13、圓柱導(dǎo)體單位帶電量分別為i和-i,取兩圓柱軸線的中分面為電位零參考,那么兩圓柱間電壓為2 (a)解得兀oUlnD厚度為d的導(dǎo)體圓柱外表的帶電量為oUdq ld 11 D ain a又由于 D >>a,因此,兩電極之間的電流根據(jù)靜電比較原理,q與I是一比照較變量, 為| 冗Ud,D aina的土壤中,管口與地面平齊,考3-12半徑為a,長(zhǎng)為1的管形接地器直立于電導(dǎo)率為 慮地面影響,求該接地器的接地電阻R.(c)靜電比較系統(tǒng)(a)原系統(tǒng)(b)鏡像系統(tǒng)題3-12圖解：考慮地面的影響,可用鏡像法來(lái)求解下半空間的電位,其鏡像系統(tǒng)如題3-12 (b)圖所示,其中利用了邊界條件JinJ2n( 0

14、), EitE2t.而圖(b)的電位解可用靜電比擬法求解,其靜電比較系統(tǒng)如圖( c)所示.設(shè)導(dǎo)體管單位長(zhǎng)度帶電量為i,可視為位于軸(,z)dzl4：tR14 7t . (z z)22dZ線上,取無(wú)窮遠(yuǎn)為零參考,于是,管外任一點(diǎn)電位為l .(z l)22(z l)ln 22 4 九 (z l) (z l)管外表單位( a, z 0 )為(a,0)2l2a221T a24aa ,取l2 a2 l2,那么導(dǎo)體管外表電位近似為2/、 i , (2l)2i , 2l(a) In In 該管的電容為4冗 a 2冗 a _2L_l(a) , 2IIna由靜電比較原理,可得原接地導(dǎo)體管的接地電導(dǎo)為接地電阻為1 , 2iR in 2兀i a3-13在很深的湖底上方高 h處懸浮著一本半徑為 a的極長(zhǎng)的直導(dǎo)線,導(dǎo)線平行于湖底,h>>a.假設(shè)湖底為良導(dǎo)體平面,湖水電導(dǎo)率為,求單位長(zhǎng)度的導(dǎo)線與湖底之間的電阻.2a77/7/7777(a)原系統(tǒng),.-i(b)鏡像系統(tǒng)題3-13圖解：