三角恒等變換知識(shí)總結(jié)及基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、第四講三角恒等變形、三角恒等變形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 .兩角和與差的三角函數(shù)sin()sin coscossin；cos()cos cossinsin；tan()tantan1 mta n tan-o2 二倍角公式sin2 2sin cos；2 2 2cos 2 cos sin 2 cos 11 2sintan22ta n1 tan23 .三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等。(2 )化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量 使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1 )降幕公式1 . c- 2

2、1 cos 221 cos2sin cossin2-sin-cos22 2(2)輔助角公式其中 sin4 三角函數(shù)的求值類型有三類(1) 給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消 去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值， 解題的關(guān)鍵在于 變角”如()，2 ()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為 給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的 單調(diào)性求得角。5 三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)

3、等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一 等方法，使等式兩端化 異”為 同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或 分析法進(jìn)行證明。asinx bcosxa2b2sin,cos、典例解析【題型 1】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【例 1】已知sinsin1,coscos0，求 cos(）的值 。分析：因?yàn)椋ǎ┘瓤煽闯墒桥c的和，也可以看作是2的倍角,因而可得到下面的兩種解法。解：由已知 sin+si nd .cos +cosn. 一一| |，=0.，2+2得2+2cos()1;cos ()1_ O222得cos2+cos2 +2cos

4、 ()= =1,即 2cos (）cos()1= 1。二cos1。點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cossin 、 cos，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂觀，其錯(cuò)誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用?！纠?2】已知tan ,tan 是方程 x25x 60 的兩個(gè)實(shí)根,2ta n23ta n12 1311tan211 1原式 2sin2k -sin 2k3cos2k 31 -3。所以 tantantan5J 于是有k；k Z，1 tantan1 6解法二：由韋達(dá)定理得 tantan求2sin23s

5、incoscos的值。5, tantan 6，所以 tantantan1 tan tan2si n23si n原式2 sin51.1 6cos2cos2cos5, tantan 6，解法一：由韋達(dá)定理得tantan42242 2點(diǎn)評(píng)：（1）本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答x410本題的知識(shí) 最近發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論

6、等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對(duì)公式的逆用公式,變形式也要熟悉，如coscossinsincostan1tan tantantantantantantantantantantantantan tantan【題型 2】二倍角公式【例 3】化簡(jiǎn)：,2解：由1712又因 cos 43 ,sin5cosx coscoscos4sin x sin44J10，從而 sin x7、2,ta nx7.解：因?yàn)?22，所以cos2又因2，所以122coscossincossin，2所以，原式=sin。2點(diǎn)評(píng)：（1 ）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限

7、于2 是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意2，44三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，cos2 sin 222si n 4cos 4是常用的三角變換。（2）化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn),其中的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。（3）公式變形sin 2cos2sin2， cos1 cos2 . 2 sin 21 cos2?！纠?4】若cos3 175 1227求sin2x 2cos x的值。4，1 tan x2 -x2x,運(yùn)用二倍角公式，問題就公難為易，化42繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問題時(shí),般方法是拼角與拆角，y 取得最大值必須且只需 2x+ =

8、6+ 2knk z,即卩 x= 一 + knk Z。2 6所以當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時(shí)，自變量x 的集合為 x|x=-Fknk Z o6原式22sin xcosx 2sin x邁2遼210 101 tan x2875點(diǎn)評(píng)：此題若將cos x43-的左邊展開成5COAcosx sinsinx443-再求sin x,cos x的值，就很5等?！绢}型 3】輔助角公式【例 5】已知函數(shù)12y = cosx+223sinxcosx + 1, x R.2(1)(2)當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時(shí)，求自變量 x 的集合；y= sinx (x R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到該函數(shù)的圖象可由(1)1解：y =

9、 cos2x+23sin xcosx +12(2cos2x- 1)1, 3+(2sin xcosx) + 1441cos2x+-sin2x+4441=(cos2x in + sin2xCOS)2 6 6=g (2x +-)+5264繁瑣，把x 作為整體，并注意角的變換4要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系,(2)將函數(shù) y= sinx 依次進(jìn)行如下變換:把函數(shù) y= sinx 的圖象向左平移，得到函數(shù) y = sin (x+ )的圖象;6 -把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y= sin (2x+)的圖象;6把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的(橫坐標(biāo)不變

10、)，得到函數(shù)1尸2sin(2x+6)的圖象;把得到的圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)1y= sin (2x+) +265的圖象;綜上得到函數(shù) y=1cos2x+23sinxcosx + 1 的圖象。2點(diǎn)評(píng)：引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式asinbcos其中 tanb，或asinabcosa2b2cos，其中 tan在歷年咼考中使用頻率是相b當(dāng)咼的，應(yīng)加以關(guān)注?！绢}型 4】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)【例 6】已知函數(shù)f(x)12sin(2x -)(的第四象限的角)cosxtan4，求f ()的值。3解：因?yàn)閠an4，且是第四象限的角，所以sin34,cos535,1故f (x)-J2sin(2-)c

11、os22sin 2 cos 2coscos2cos22sin coscos【題型 5】三角函數(shù)的值及周期2(cossin )【例 7】設(shè)函數(shù)f (x). 3cos2x sin xcos x a(其中0,a R),且 f(x)的圖象在 y 軸右側(cè)的4)=( )第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(I)求3的值;(n)如果f(x)在區(qū)間5上的最小值為6,3，求 a 的值。解：f(x)子cos2si n22a sin(2 x依題意得(II )由(知,f (x) sin(x又當(dāng)6時(shí)，x0,76，故sin(x )3從而f (x)在區(qū)間n5n,上的3 6【題型 6】三角函數(shù)綜合問題【例例8】已知向量a (sin ,1),

12、b(1,cos ),(l)b,求(ll)求b的最大值。解: (1)r vago 0sin cos 0(2). a b(sin1,cos1),(sin2 21) (cos 1)sin222sin 1 cos 2cos 12(sincos ) 32 * 2 sin( 4) 3當(dāng)sin(-)=1 時(shí)a b有最大值,此時(shí)4最大值為、于2j、基礎(chǔ)訓(xùn)練、選擇題：1 已知sin 2-，則cos2(3二、填空題:12.函數(shù)y 2sin x cosx的最大值為 _- 51112A.B.-c.D .-63232.函數(shù)f(x)sxcosx子宀的最小正周期和振幅分別是()A. n,1B. n,2C.2n,1D.2n,

13、23.設(shè) sin(+1)=一，則sin2()437117A .-B.c.D.-9999f (x)與直線y 1的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的4.f(x)拆拆Sin x cos x(0), x R.在曲線y最小值為，則f (x)的最小正周期為35.6.7.8.A.22B.3C.D.2sin 47osin 17ocos30oocos17A.B.已知sincos(0，A.B.D.1函數(shù)已知f(x)(1.3 tan x)cosx的最小正周期為f(x)sin2(xA. a+b= 0才)若 a=f (Ig5),b f他)則B. a-b= 0C. a+b=1D. a-b= 19.已知tan(x7)2,則型冬的值為

14、tan2x10.已知sin11 .函數(shù)ysin一x2cosx的最大值為6三、解答題:x_13.已知函數(shù)f(x) Acos,x R，且46(1)求f (x)的定義域及最小正周期;(2)求f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間。sin2x 1 cos2x 2 sin 2x 4x | x kn,k Z ，最小正周期為n.【答案】f(x)(sin x cos x)sin 2x(sin x cosx)2sin xcosxsin xsinx2(sinx cosx)cos x(2)原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為8 kkZ,，knk z。(2)設(shè)0,f4430f 428，求cos(231735【答案】 (1)fAcosAcos2A2,