利用分塊矩陣求逆

1、利用分塊矩陣求逆求解矩陣的逆的時(shí)候,我們可以采用初等變換,伴隨矩陣等方法解決,然而 對于較高階矩陣,此類運(yùn)算方法的運(yùn)算量較大,因此,對于某類矩陣可以適當(dāng)?shù)?將其分塊,再進(jìn)行運(yùn)算,大大減少了運(yùn)算工作.以下我們以 2X2分塊矩陣為例.A 0引理1:0是一個(gè)分塊矩陣,其中A, D分別為n階可逆矩陣,那么0 Di1A 0 A 101.0 D 0 D 1引理2: A B是一個(gè)分塊矩陣,其中A, B, D分別為n階可逆矩陣,0D而 A B 1 A 1 A 1BD 1那么d .0 D 0 D引理3:是一個(gè)分塊矩陣,其中A, C, D分別為n階可逆矩陣,A0C AD 0 1 A 10那么八111.C DD 1

2、CA 1 D 1AB命題：將2n階萬陣T分塊為,其中A, B, C, D分別為n階萬陣.CD(1)當(dāng)A可逆時(shí),丁-1_I 一(2)當(dāng)B可逆時(shí),T-1 =A-1+A-1B D-CA-1B -1CA1 -A-1B D-CA1B -1f -1 f -1 -1f -1- 1?-D-CA 1B CA 1D-CA 1B-C-DB-1A -1 DB-1C-DB-1A -11-111-1；B 1 B 1A C-DB-1A DB 1 -BA C-DB-1A-1-1-C-1D B-AC-1DC-1 C-1D B-AC-1DAC-1(3)當(dāng)C可逆時(shí),T-1 =1-11-11B-AC-1D- B-AC-1D AC-1

3、1-11-11A-BD 1C- A-BD 1C BD 1(4)當(dāng)D可逆時(shí),T-1=11-D 1C A-BD-1C -1 D 1 D 1C A-BD-1C -1 BD證實(shí):A0C D-CA-1B(1)分塊矩陣T及方陣A可逆, A B En A 1BC D 0 En -1且上式右端可逆,故 D-CA -1B 存在,由上引理3可得A 01A-10-1_i-1-1C D-CA B - D-CA 1B CA 1 D-CA 1B因此T-11ABCDEnA 1B0 EnEnA 1BA-1-10En- D-CA 1B CA1A0C D-CA-1B01-1D-CA -1B-1-1-1-1-1-1A +A B D

4、-CA B CA -A B D-CA B-D-CA-1B -1CA-1D-CA -1B(2) (3) (4)同理可得證.例3：矩陣A= (aj)稱為上(下)三角形矩陣,如果ij (ij)時(shí)有aij =0.證 明可逆的上(下)三角形矩陣的逆仍是上(下)三角形矩陣.證實(shí)：用分塊矩陣及歸納法.又tn作歸納法,n=1,顯然.設(shè)n-1階上三角陣的逆矩陣是上三角陣.對 A是n 階上三角陣來證實(shí)它的逆也是上三角的.將 A寫成如下的分塊矩陣A= a11,其中加0, A1是n-1階上三角可逆陣.O A1 1 一由歸納假設(shè),Ai仍是上三角的.作如下乘積a1-11OOA 1-1a11O A11a1-11O En-11-a1- 1O En