指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì).doc

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1 .根式(1)根式的概念根式的概念符號表示備注如果xn a ,那么x叫做a的n次方根一n 1 且 n N當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)V零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)(a0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根(2 ).兩個重要公式a牛小a( a 0)1 a 1 a (a0)(%q)n a (注意a必須位2 .有理數(shù)指數(shù)鬲(1)幕的有關(guān)概念 m正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲：a 11 m正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲:a n0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0注：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式可以互化(2 )有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)aa

2、s=a r+s (a>0,r、s £ Q);(a r)s=a rs (a>0,r > se Q)；(ab) r=a rb s (a>0,b>0,r eQ)；.n為奇數(shù)n為偶數(shù)!心有意義)。(a 0, m> n N ,且 n 1);士(a 0, m、n N,且 n 1)a " n am的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.,通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)累進(jìn)行根式的運(yùn)算。23 .指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=a 'a>l0<a<l圖象(0,11/ 1一小士>.4kT卜 土定義域R值域(0, + )性質(zhì)（1 ）過定點(diǎn)（0, 1）(2 )當(dāng) x&

3、gt;0 時，y>l;x<0 時,0<y<l(2)當(dāng) x>0 時，(Ryvl;x<0 時，y>l在（，+）上是增函數(shù)（3）在（，+ ）上是減函數(shù)注：如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（1 ） y=a x, （ 2） y=b x，（ 3 ） ,y=c x （ 4 ） ,y=d x的圖象，如 何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系？提示：在圖中作直線x=l ,與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1 >d 1 >l>a 1 >b 1 , A c>d>l>a>b 。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大

4、。（二）對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)的定義如果a* N（a 。且a 1）,那么數(shù)x叫做以a為底,N的對數(shù)，記作x log aN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。（2 ）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a a 。，且a 110g a N常用對數(shù)底數(shù)為10IgN自然對數(shù)底數(shù)為eIn N2、對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1 )對數(shù)的性質(zhì)(a 0,且 a l)：k)galo,logaa 1， aiN N,log a aN N O(2 )對數(shù)的重要公式：N換底公式：logb N Oga (a,b均為大于零且不等于1,N 0) ； loga b log a bl logb(3 )對數(shù)的運(yùn)算法

5、則：如果a 0,且a 1 , M 0,N0那么 log a (MN ) log a M log a N ;M log a log a M log a N ; log a M " n 10g a M ( n R);n log am bn bg a b。注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a, b, c, d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=l ,該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。lgoV Ig呂鋁/.0<c<d<l<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。（三）幕函數(shù)1、幕函數(shù)的定義形如y=x

6、0 （ a £ R）的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)注：鬲函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，幕函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、事函數(shù)的圖象注：在上圖第一象限中如何確定y=x 3 , y=x 2 , y=x , y x 2 , y=x"方法：可畫出x=x o ；當(dāng)xo>l時，按交點(diǎn)的高低，從高到低依次為y=x 3 , y=x 2 , y=x , y x 2 , y=x-1 ；當(dāng)Ovxovl時，按交點(diǎn)的高低，從高到低依次為y=x -1 , y x2 , y=x , y=x 2 , y=x 3。3、幕函數(shù)的性質(zhì)您N數(shù)y=x2

7、y=x3 y=x .一2y x.1 y=x定義域RRR0 ,)X 1 X R 且 X 0值域R0 ,)R0 ,)R且y1 y y°奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x e（o ,）時，增；x e （,0時，減增增x e（o,+）時，減；x e（- ,0）時,減定點(diǎn)(1, 1)三：例題詮釋，舉一反三知識點(diǎn)1:指數(shù)幕的化簡與求值例1.(2007 育才A)（1）計(jì)算:3 2 4(3_ )r(5 Z)0 589211(0.008)-3 ( 0.02) -2 (0.32/0.0625 0 25(2 )化簡:4b32(a 32rb16變式：（2007執(zhí)信A ）化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）(aT

8、 b 1) 2 a 2_h2_ ;(1) 6 廠 r“a b1121-3- b2 ( 3a)b】)(4a3 b3P.(2)611.5-3(3)-7)0 go”6/2 (” «3)知識點(diǎn)2 ：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2.（2009 廣附A）已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式 （T ）51 （T0，下列五個關(guān)系式： OVbVa;aV 23( )D.4個b V 0;0 V a V b;b V a V 0;a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有A.1個B.2個C,3個變式：（2010 華附A）若直線y 2a與函數(shù)y I a x 1 I （a 0且a 1）的圖象有兩個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.知識點(diǎn)3 ：指數(shù)函數(shù)

9、的性質(zhì)2X b例3. （2010省實(shí)B）已知定義域?yàn)?R的函數(shù)f（X） 是奇函數(shù)。2X 1 2（I）求b的值；（H）判斷函數(shù) f x的單調(diào)性；（III）若對任意的R ,不等式f（t22t） f（2t2 k） 0恒成立，求k的取值范圍.Xe_ax 變式：（2010東莞B ）設(shè)a >O,f（x）=a e 是R上的偶函數(shù).（1 ）求a的值;(2 )求證：f(x)在(0 , +°°)上是增函數(shù) 知識點(diǎn)4 ：對數(shù)式的化簡與求值例4. (2010云浮A)計(jì)算：(1 )年2：(2(2 ) 2(1g 石)2 +lg Q lg5+ 也 W 1g 2 1 ;14(3) _ 愴 32 _

10、1g 肉 +lg ?23一 2 493變式：(2010惠州A)化簡求值.(1)log 2 iZJ+log 2 12- Ilog 2 42-1; 482(2 ) (lg2) 2 +lg2 lg50+lg25;(3 ) (log 3 2+log 9 2) (log 4 3+log 8 3).知識點(diǎn)5 ：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例5. ( 2011深圳A)對于01 log a (1 a) log a (a )； aa 1,給出下列四個不等式：1 log a (1 a) log a (1 )；aal a a a；©aD.- a a a； 其中成立的是()(A )與(B )與(C)與(D )與變式：(2

11、011 韶關(guān) A )已知 0 V aV l,b > l,ab > 1 ,則 log a A Jog a b, log b 4» 的大小關(guān)系是 bb( )A.log a -L loga b log b -LB. log a b log a -t log bbbb bC. log a b log b 4- log a 4-D. log b 4- log a+ log a bb bb b例6. ( 2010廣州B )已知函數(shù)f(x)=log aX(a>0,aWl),如果對于任意x£ 3, +8)都有 lf(x)l 21成立，試求a的取值范圍.變式：(2010廣雅

12、B )已知函數(shù)f (X) =k)g 2 *ax-a)在區(qū)間(-0° ,1- 4 上是單調(diào)遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.知識點(diǎn)6 ：幕函數(shù)的圖象及應(yīng)用例7.(2009 佛山B)已知點(diǎn) 仁2)在幕函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn) ，在鬲函數(shù)g (x)的圖4象上.問當(dāng) x 為何值時有：(1) f (x) g ( x) ； ( 2 ) f (x) g( x) ； ( 3 ) f (x) g ( x).變式：(2009揭陽B )已知幕函數(shù)f(x)=x m2 2m 3 ( m e Z )為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0, +8). b上是單調(diào)減函數(shù).(1)求函數(shù)f(x);( 2 )討論F ( x)d=a 一丁(x

13、)的奇偶性.xf X四：方向預(yù)測、勝利在望1 X1 . (A)函數(shù)f(X)1g的定義域?yàn)?)x 4A. (1, 4) B. 1 , 4) C. ( 8, 1)U(4 , +°° ) D . ( 0°, 1 U (4, +00 ) 2. ( A)以下四個數(shù)中的最大者是()(A) (ln2) 2(B) ln(ln2)(C) In 2(D) ln2(D) 40 x 1 時，f (x) 1g x.設(shè))(C ) c b a ( D )3 ( B )設(shè)a>l ,函數(shù)f(x)=log a x在區(qū)間a,2a 上的最大值與最小值之差為(A) VT (B ) 2(0 2 24.

14、 ( A)已知f(X)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)635a f(_)，b f(_),c "_),則( 522(A ) a b c ( B ) b a c2ex I x 2,5. ( B )設(shè) f(x)=Og3(X1 1), X(A) ( 1 , 2 )( 3, +8)(C) ( 1 , 2 ),則不等式f(x )>2的解集為( 2,(B) (V10 , +8)+ 8)(D) (1, 2)6. (A)設(shè) Plog 2 3, Q log 3 2 , R log2 (log 3 2),則(A. RQPB. PRQC. QRPD. RPQ7 . (A)已知 log i b log i a22

15、A. 2b 2a 2c B .22a 2b2C C. 2C 2b2a2b8 . ( B )下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是()1O.(A)已知函數(shù)y1A . 一4log ! x與y kx的圖象有公共點(diǎn)A , 4111B - C 一D 一422且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2 ,則k (11 . ( B )若函數(shù) f (x) a * bl(a 。且a 1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定(A ) f ( x) sin x(B) f ( x)(C) f ( x) J-(a x a x)(D) f ( x)29. (A)函數(shù)yJog(3x萬的定義域是：()12 . (B)若函數(shù) f ( X)

16、log a X(013.(A)已知 0 < xV yV a V 1 ,則有(A. 0 a 1 且 b 0C. 0 a 1 且b 01)在區(qū)間a, 2a上的最大值是最小值的3倍，則a=(A) log a ( xy) 0(B) 0 log a ( xy) 1(C) 1 log a ( xy) 2(D) loga(xy) 21(D )-214 . (A)已知 f(x6) log 2 x ,那么 f(8)等于()4(A ) -(B ) 8(C) 18315 . ( B )函數(shù) y= Iglxl ()A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一80)上單調(diào)遞增B .是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8, 0)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)

17、，在區(qū)間(0+ 8 )上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0 , +8 )上單調(diào)遞減4 x)16. ( A )函數(shù)y -乙的定義域是 x 317 . ( B )函數(shù) ymx ny 1 0(mn18 . ( A )設(shè) g(x)a1 x(a 0, a 1)的圖象恒過定點(diǎn) A,若點(diǎn)A在直線 1 10)上，則日勺最小值為m nex , x 0.1則 g(g(一) Inx, x 0.2(B )若函數(shù)f(X)= "2” 2ax a 1的定義域?yàn)镽 ,則a的取值范圍為(B)若函數(shù) ()log (一2 2)是奇函數(shù)，則.f X a X x aX21.(B)已知函數(shù)J，求函數(shù)f(x)的定義域，并討論它的奇

18、偶性和單調(diào)f ( X) X log 2 1 x性.參考答案：三：例題詮釋，舉一反三例 1.解：(I ) .2,93； ：5；：5b (ab - ) a - b -)i44例2.解：B1變式：解：(0,)；2例 3.解：(I ) b(2 ) a 21sTab(2.0-(3)i ioab4ab1 (II)減函數(shù)。(in) k變式：解：(1 ) a=l. ( 2 )略例4.解：(1 )(2) 1.(3L1.27 1213Go5bgz 變式：斛2(1) _ .-(3)-4842 22 224例5.解：選Do變式：解：C例 6.解：(1, 3 U L，1)3變式：解：a 12-2 石 W a <2)例 7.解：(1 )當(dāng) x 1 或 x 1 時，f (x) g ( x)；(2 )當(dāng) x 1 時，f(x) g( x)；(3)當(dāng)且 時,1 x 1 x 0 變式：解：(1 ) f(x)=x ".f ( X) g (