大一高數(shù)試題和答案與解析

1、大一高數(shù)試題及答案、填空題（每小題1分，共10分）1 .函數(shù) y uafcsinVlx的定義域?yàn)閂l x2o2 .函數(shù)y = x + e % 上點(diǎn)(0,）處的切線方程是f ( Xo+2 h) f( Xo 3 h)3 .設(shè) f( X)在 Xo 可導(dǎo)且 f ' (Xo)=A，則 limhi o4.設(shè)曲線過（0,1）,且其上任意點(diǎn)（X,Y）的切線斜率為2X,則該曲線的方程 是x5./dx= 16.lim Xsin=。XisX7. 設(shè)f (x,y)=sin(xy )，則f X (x,y)= RVR22x8.累次積分/ 。dx/f(X222 + Y2 )dy化為極坐標(biāo)下的累次積分為0 032dy

2、3d2y9.微分方程+()2 的階數(shù)為 _ 。dx 3xdx 2ss10.設(shè)級數(shù)刀 a n發(fā)散,則級數(shù)a n 。n=1 n=1000、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中, 選出一個(gè)正確的答案, 將其碼寫在題干的 （）,110每小題1分，112 0每小題2分，共3 0分)(一)每小題1分，共10分11 .設(shè)函數(shù)f (x)= , g(x)=1x，則 f g(x)=()X11 x11 +x11 xx12.xt 0 時(shí)，xsin+1是x()無窮大量無窮小量有界變量無界變量3下列說法正確的是 () 若f( X 若f( X 若f( X 若f( X在X = Xo連續(xù)， 在X = Xo不可導(dǎo), 在X = X

3、o不可微, 在X = Xo不連續(xù),則f則f( X 則f( X 則f( X在X= Xo可導(dǎo)在X= Xo不連續(xù)在X= Xo極限不存在在X= Xo不可導(dǎo)4 .若在區(qū)間(a,b )恒有f 曲線弧y= f(x )為()(x)0,f" (x)> 0,則在(a,b) 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧5 .設(shè) F '(x)= G '(x)，貝U()F(X) +G (X)為常數(shù)F(X) G (X)為常數(shù)F(X) G (X)=0dd/F(x)dx一/G(x)dxdxdx16.I x|dx= ( ) 平行于xoy面的平面 平行于oz軸的平面 過oz軸的平面 直線x則f

4、(tx, ty)=()3328. 設(shè)f (x, y)=x + y + x ytgy2 tf(x,y)t f(x,y)13t f(x,y)f(x,y)2t9 .設(shè) a n>0，且 lim=P,則級數(shù)n toan=1a n +1oo刀 a n() 在P1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散 在P>1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散 在P<1時(shí)收斂，P1時(shí)發(fā)散 在P1時(shí)收斂，P1時(shí)發(fā)散210 .方程 y' + 3xy = 6x y 是 （） 一階線性非齊次微分方程 齊次微分方程 可分離變量的微分方程 二階微分方程（二）每小題2分，共20分11.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（） y = e %y = x 3+13

5、y=x cosxy=ln|x|則至少有一點(diǎn) Z（a,b）12 .設(shè)彳（乂）在（a,b ）可導(dǎo)，ax ix 2b 使（ ） f (b)f(a)=f'(Z)(x 2 x 1) f(x 2)f(x i)=f '(Z)(b a) f(x 2)f(x i)=f '(Z)(x2x 1)13 .設(shè)f (X)在X = Xo的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f( X)在X = Xo可導(dǎo)的 () 充分必要的條件 必要非充分的條件 必要且充分的條件 既非必要又非充分的條件14.設(shè) 2f(x)cosx= f(x)，則 f(0)=1，則f (x) =()dxcosx2cosx1 + sinx1 sinx15

6、.過點(diǎn)(1，2)且切線斜率為4x3的曲線方程為y=()4x x 4+c x 4+1x 411 x16.lim/ 3tgt dt=()xt 0x 3 01 013 gxy17.lim xy= ( )sinxt0x222y 2yt0 01 g sn118 .對微分方程y "=f(y，y ')，降階的方法是()設(shè)y ' =p，貝Uy " = pdp設(shè)y ' =p，貝UyIIdydp=pII=Pdy1dp=pIIdyoo9.設(shè)幕級數(shù)o（x。工0）收斂，貝U E an x n 在 |x|x 0 |n=on=o絕對收斂條件收斂發(fā)散收斂性與an 有關(guān)0.設(shè)D域由x

7、,y = xDsinx2所圍成，則/db=()s inxdyinx三、計(jì)算題Vxinxinx（每小題5分，共4 5分）x1設(shè) y= /Vx(x + 3)sin(9x22 16)2 .求 limxt 4/33x 4dx1e xo)24u,求.設(shè) x =cosu)arctgudu,y = /(sinu)arctgu5.6.7.0求過點(diǎn) A（2,1,-1),B(1,1,2 ）的直線方程。設(shè) u = e +Vy +sinz,x asin計(jì)算/00rsin0drd0du 。y+18.求微分方程 d2dx 通解 。9.x)四、應(yīng)用和證明題共15分）x1展成的冪級數(shù) 。1-x)(2x)1.（8分）（比例常數(shù)

8、為k設(shè)一質(zhì)量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度0 ）求速度與時(shí)間的關(guān)系。借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x1時(shí)，2"x3-附：高數(shù)（一）參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)、填空題（每小題1分，共10分）1(-1,1)2.2x y+l = O3.5A24. y = x +l125. arctgx +c26.17. ycos(xy)n 12n8. / d0 /f(r 2)rdr0 09. 三階10 .發(fā)散、單項(xiàng)選擇題(在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的(),110每小題1分，1120每小題2分，共30分)(一)每小題1分，共10分1.2 .3 .4.5 .6 .7.8.9

9、 .10 .二)每小題2分，共20分11 .12 .13 .14.15 .16 .17.18 .19.2 0.三、計(jì)算題(每小題5分，共45分)11 .解：lny= ln(x1)lnxln(x + 3)(2分)2）x3（2分）231 / xl /2 V x（x3）xll）x（l分）2l8xcos（9x l6）解：原式=li蟲 xt 4/33l8（4/3）cos9（4/3）2l6=83分）2分）xxle e解：原式=/dxx2（le x）2dx2分）le x ）（l分）解：tgtdt2分）解：解：xlexxe ex2le x）2ldx（l分）xln（l因?yàn)?dx=（cos（3分）dy所以 =dx

10、et）ax）retxle cle x（l分）gtdt,dy=（sint）arc（sint）arctgtdt tgtcost）arctgtdt所求直線的方向數(shù)為l,0,3xlyl所求直線方程為 =（3分）z 22分）3du = ex + Vy + si nz,/d（x+vysinx）3分）二課程代碼：00020、單項(xiàng)選擇題（本大題共 20小題，每小題2分，共40分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號。錯(cuò)日選、多選或未選均無分。1.設(shè)函數(shù)f）-x，則f(2x)()Xx 1A 1r2A.B. 21 2x1 xC 2(x 1)D 2(x1)2xx2.已知 f

11、(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,則 f(x)=()A.x+3B.x-3C.2xD.-2x3. lim (x )x()xx 1A.eB.e-1C.D.14.函數(shù)yx3的連續(xù)區(qū)間是（)(x 2)(x1)A. (, 2)( 1,)B. (, 1) ( 1,)C. (, 2)( 2,1)(1,)D. 3,5.設(shè)函數(shù)f（x）(x1)ln(x 1)2, x1 在 x=-1連續(xù),則a=（）a, x1A.1B.-1C.2D.06.設(shè) y=lnsinx,貝U dy：=( )A.-cotx dxB.cotx dxC.-ta nx dxD.ta nx dx、廠x7.設(shè) y=a (a>0,

12、a1),則 y(n)x 0()A.0B.1C.l naD.(lna) n8.設(shè)一產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量x的函數(shù)C（x）,貝性產(chǎn)X。個(gè)單位時(shí)的總成本變化率（即邊際成本）是（）B. C(x)x x0A3XC dC(x)dxD dC(x).dx xx。9. 函數(shù) y=e-x-x 在區(qū)間(-1,1)()A. 單調(diào)減小B.單調(diào)增加C.不增不減D.有增有減10. 如可微函數(shù)f(x)在xo處取到極大值f(x o),則()A. f (x0) 0B. f (x0) 0C. f (xo) 0D. f (x°)不一定存在11. f (x) xf (x)dx ()A.f(x)+CB. xf (x)dxC. xf

13、(x)+CD. x f (x)dx12. 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是 x ,則xf (x)dx ()3A. C3C. 2x3 C383 -13. e xdx8A.02C. exdx214.下列廣義積分中,發(fā)散的是(A. 1空0 xC.1 dx03 x15.滿足下述何條件5B.x +CD.5 x1583 -B. 2 e xdx0D. 3x2exdx2)1B.0dxx1D.0dx 1 x),級數(shù) U n 一定收斂(n 1nA. U 有界B. lim Un 0ni 1C. lim 仏n Un16.幕級數(shù) (x 1)n的收斂區(qū)間是()A. 0,2B.(0,2)17.設(shè) ze T,則上yx2x22xC.

14、e y18.函數(shù) z=(x+1) +(y-2)A.(1,2)C.(-1,-2)的駐點(diǎn)是(19.cosx cosydxdyA.0B.11D. eyx2)B.(-1,2)D.(1,-2)C.-1D.2y(0)=2的特解是(20. 微分方程 也1 sinx滿足初始條件 dxB.y=x+cosx+2D.y=x-cosx+34分，共20分)A.y=x+cosx+1C.y=x-cosx+2二、簡單計(jì)算題(本大題共5小題，每小題21. 求極限 lim (、n 3. n)、n 1.n122. 設(shè) y x匚，求y (1).23. 求不定積分空空一 dx.1 sin x cosx24. 求函數(shù)z=ln(1+x 2

15、+y2)當(dāng)x=1,y=2時(shí)的全微分.25.用級數(shù)的斂散定義判定級數(shù)三、計(jì)算題(本大題共4小題，每小題6分，共24 分)26.設(shè) z xy xF(u),u,F(u)為可導(dǎo)函數(shù)，求x xx27.計(jì)算定積分IIn . xdx.28.計(jì)算二重積分Icos(x2D2y )dxdy ,其中D是由x軸和y所圍成的閉區(qū)域29.求微分方程x -dxyex0滿足初始條件y(1)=e的特解四、應(yīng)用題(本大題共 2小題，每小題8分，共16分)30. 已知某廠生產(chǎn)x件某產(chǎn)品的成本為 C=25000+200x+丄x2.問40(1) 要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2) 如產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)

16、多少件產(chǎn)品？31. 求由曲線y , x ,直線x+y=6和10. 設(shè)函數(shù)y=In x,則它的彈性函數(shù) Ey =Ex11. 函數(shù)f (x)=x2e-x的單調(diào)增加區(qū)間為 dx12. 不定積分 =.2x 3xoo13. 設(shè) f (x)連續(xù)且 o f(t)dt x2 cos2 x，則 f(x)=14. 微分方程 xdy-ydx=2dy的通解為15.設(shè) z=xexy,則三、計(jì)算題(一)(本大題共5小題，每小題5分，共25分)16.設(shè)函數(shù)f(x)=3x 10在x=0處連續(xù)，試求常數(shù) k.017.求函數(shù)f(x)=xe2 +x arcta n sin x18.求極限xm02xx xe sin x219. 計(jì)算

17、定積分2 sin . 2xdx .01 x20. 求不定積分2 dx.1 x2四、計(jì)算題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)3221. 求函數(shù)f (x)= x -6 x +9x-4在閉區(qū)間0，2上的最大值和最小值.3X522. 已知 f(3x+2)=2xe-,計(jì)算？ f (x)dx.23. 計(jì)算二重積分x2 ydxdy，其中D是由直線y=x, x=1以及x軸所圍的區(qū)域D五、應(yīng)用題(本大題 9分)24. 已知矩形相鄰兩邊的長度分別為x,y，其周長為4.將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體(如圖).問當(dāng)x,y各為多少時(shí)可使旋轉(zhuǎn)體的體積最大？21-3/222-eA-123x- arctgx +

18、 C243/225y + 2 = 026tA2f(x,y)27-1/(2sqrt(x)sqrt(y)282pi/3291/230(c_1x + c_2 ) eA(4x)31解:原式=曲彎丹-蓋):一 ln(l 千昭_ 卅= Litti "j“ 爭 tun 吊mt 3TY sin* X132.解八了訂J 一門忙）=©工巧廠33.鮮】原式一(1* y)F(l + y)'血二鄴十寫旳=Cl+jPln(l +y)dt +x(l +yyldyu E 齋h I J l<4kNz四36.=爪工）一g（QhM -=/（d）-（t）Q hQ、=fSm）= Q :*對aS 往心初

19、7上應(yīng)用羅爾定理得在（皮血內(nèi)至少有一點(diǎn)使褂hg = 0而 h1 （工）f工）gr（H）從而 g =如3乳證:V0 CQ51 J < 1:£ 總 5 + 3cos?x 8從面占 M ,c, V,-"Lz''' M 吉85 + 3eor± 5由定和分性質(zhì)得：L診態(tài)L 5+扛護(hù)奩L寺血即塀可：卻二?嚴(yán)w磊、DCACABCCBADABADADBDA21 -3/222 -eA-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 tA2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y)28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) eA(4x)3L解:原或=皿小”卞工 ' '苓-)Ijtwn 工rr x1k ILTD"'； iUTl , h-hy sin* j：1施解人了 (巧=嚴(yán)33、解 1除式='土“氣J a 6(斗玄£ITi2j?) | 丁K=T茲石西考血 V :3解=(1 + y)x(l 4二鄴+埶=(1 +j/)JlnCl + >)dr +r(l + ydy四二對丘S 往4琦上應(yīng)用羅爾宦理得在（"內(nèi)套少有一點(diǎn)5使褂%、