(完整版)離散數(shù)學(xué)[屈婉玲版]第一章部分習(xí)題匯總

1、專業(yè)整理第一章習(xí)題1.1&1.2判斷下列語句是否為命題，若是命題請指出是簡單命題還是復(fù)合命題.弁將命題符號化，弁討論它們的真值.(1)，2是無理數(shù).是命題，簡單命題.p:，2是無理數(shù) 真值:1(2) 5能被2整除.是命題，簡單命題.p:5能被2整除.真值:0(3)現(xiàn)在在開會嗎？不是命題. x+5>0.不是命題.(5)這朵花真好看呀！不是命題.(6) 2是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)三角形有3條邊.是命題，復(fù)合命題.p:2是素?cái)?shù).q:三角形有3條邊.p q真值:1(7) 雪是黑色的當(dāng)且僅當(dāng)太陽從東方升起.是命題,復(fù)合命題.p:雪是黑色的.q:太陽從東方升起.p q真值：0(8) 2008年10月1

2、日天氣晴好.是命題,簡單命題.p:2008年10月1日天氣晴好.真值唯(9) 太陽系以外的星球上有生物.是命題,簡單命題.p:太陽系以外的星球上有生物.真值(10) 小李在宿舍里.是命題,簡單命題.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全體起立！不是命題.(12) 4是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù).是命題,復(fù)合命題.p:4是2的倍數(shù).q:4是3的倍數(shù).p Vq真值:1(13) 4是偶數(shù)且是奇數(shù).是命題,復(fù)合命題.P:4是偶數(shù).q:4是奇數(shù).p A q真值:0(14) 李明與王華是同學(xué).是命題,簡單命題.p:李明與王華是同學(xué).真值唯一.(15) 藍(lán)色和黃色可以調(diào)配成綠色.是命題,簡單命題.p:藍(lán)色和黃色

3、可以調(diào)配成綠色.真值:11.3判斷下列各命題的真值.(1)若 2+2=4,則 3+3=6.(2)若 2+2=4,則 3+3 豐 6.(3)若 2+2 中 4,則 3+3=6.若2+2中4,則3+3中6.2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3+3=6.(6)2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3+3中6.(7)2+2中4當(dāng)且僅當(dāng)3+3=6.(8)2+2中4當(dāng)且僅當(dāng)3+3中6.答案：設(shè)p:2+2=4,q:3+3=6,則p,q都是真命題.(1)p - q,真值為1.(2)p I q,真值為 0.1 pq,真值為1.1 p q,真值為1.(5)p q,真值為1.(6)p I q,真值為0.p q,真值為0.(8) 1 p 1 q,真值為

4、 1.1. 4將下列命題符號化，弁討論其真值。(1)如果今天是1號，則明天是2號。p:今天是1號。q:明天是2號。符號化為：p q真值為：1(2)如果今天是1號，則明天是3號。p:今天是1號。q:明天是3號。符號化為：p q 真值為：01.5將下列命題符號化。(1) 2是偶數(shù)又是素?cái)?shù)。(2)小王不但聰明而且用功。(3)雖然天氣很冷，老王還是來了。(4)他一邊吃飯，一邊看電視。(5)如果天下雨，他就乘公共汽車上班。(6)只有天下雨，他才乘公共汽車上班。(7)除非天下雨，否則他不乘公共汽車上班。(意思為：如果他乘公共汽車上班，則天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽車上班)(8)不經(jīng)一事，不長

5、一智答案：(1)設(shè)p 設(shè)P設(shè)p (4)設(shè)p(5)設(shè)p (6)設(shè)p2是偶數(shù)，q： 2是素?cái)?shù)。符號化為：pAq 小王聰明，q：小王用功。符號化為：pA q 天氣很冷，q：老王來了。符號化為：pA q 他吃飯，q：他看電視。符號化為：pAq 天下雨，q：他乘公共汽車。符號化為：pq 天下雨，q：他乘公共汽上班。符號化為：qp或q p設(shè)p：天下雨,q：他乘公共汽車上班。符號化為：qp(8)設(shè)p：經(jīng)一事，q：長一智。符號化為：p q1.6設(shè)p,q的真值為0; r,s的真彳1為1,求下列各命題公式的真值。(1) pV (qA r)(2) (p? r)A(?pVs)(pA(q Vr) (pVq)A (rAs

6、)(4) ?(pV(q-(rA?p) 7 (rV?s)解：(1) p V (q A r)pqrq A rpV(qAr)00100(2) (p? r)A(?pVs)pqrsP r?P?pV s(p r) A (?p Vs)0o110110(3)(p A(q Vr)(pVq)A (r As)pqrsq V rp A (q Vr)p V qr A s(p V q) A (r A s)(p A (q V r) (pVq)A(r A s)0011100101(4) ?(p V (q- (r A ?p) (r V ?s)pqrs?pr A ?pqf (r A ?p)(p V (q-(r A?p)(r V

7、?s)?(p V (q-(r A ?p)- (rV?s)00111111111. 7判斷下列命題公式的類型。(1) P (P q r)解：pqrp qp q rp (p q r)00000100101101I。1 :11011111100111101111110111111111由真值表可知，該命題公式為重百式。(p f 1 p) f 1 pp1 pp f 1 p(p f 1 p) f 1 p01111001由真值知命題公式的類型是：重言式(3)(qp)A ppqqp1 (qp)1 (qp) A p00100010101010011100此命題公式是矛盾式。(4)(p7 q) (q-p)解：其

8、真值表為:pqp-qpqqf-p(pq)(q")001111101 110r 11110 1010011100111由真值表觀察，此命題為重言式(5)(pq) (q-p)解：其真值表為:pqp-p 7qq p(pq)(q fp)001011011111100111110100由真值表觀察，此命題為非重言式的可滿足式(pV p) f (q A q) A r) 解：pqrpv pqA qr(q A q) A r(pV p)- (q A q) A r)00010100001100000101010001110000100101001011000011010101111000結(jié)論：此命題為矛

9、盾式1.7(8)(P q) -(p V q).pq(p q)(p Vq)(p V q)(pq) -(pVq)00101101r 01011100101111100由此可以知道，上式為非重言式的可滿足式(9) ( P f q ) A ( q f r ) ( P f r )解:pqrP - qq - r(p q ) A (q f r )P - rA0001111110011111101010011011111111:°001001 :10101011111 1010001 111111111該命題為永真式(10) (pV q) f r) s解:pqrsPV q(pVq) - r(pVq)

10、 - r) s0000010000101100100100011011010010101011000110110011111111111111110110110110011001011001100101011010111111000101結(jié)論：此命題為非重言式可滿足式1.8用等值演算法證明下列等值式(1) (pA q) V (pAq) p證明：(pA q) V(pAq)(分配律)pA(qVq)(排中律)pA 1(同一律)p(pq)( ( p q )證明： (pq)(p q ) (q(p q )(p q )(p q ) ( q (p q ) q ) (p q ) ( q (p q ) 1) (1

11、 (p q ) ( q (p q )( pp )q p )q p )p )(pq ) p )q ) ) ( ( p p ) ( q(qp)p)q )p)1.9用等值演算法判斷下列公式的類型。(1) (p q)p).解：(1)(p q) p)(p q) p)蘊(yùn)含等值式(p q) p 德.摩根律p qp雙重否定律pp q交換律0 q矛盾律0零律即原式為矛盾式.(2) (pq)(qp)(pq)解：(pq)(qp)(pq)(p q) (p q)(p q) (p q) (p q) (p q)(P q) (p q) (p q) (p q)1即(p q) (q p) (p q)是重言式。(3) ( p-q)

12、f(qf p). 解：(pq)f(qf p)(pVq) V ( qV p)(pA q) V( qV p)(pV( pA q) A( qV( qV p)(pV p) V q) A( qV q) V p(pV q) A( pV q)(pV q)或 (p-q)f(qf p)(pVq) V ( qV p)(pA q) V( qV p)(pA q) V q) V p結(jié)合律pV q吸收律結(jié)論：該公式為可滿足式。1.12(1)求下面命題公式的主析取范式、主合取范式、成真賦值、成 假賦值。(pV (qA r) ( pAqA r)(p V (q A r) V (p A q A r)(?pA(?qV?r) V (

13、p A q A r)(?pA?q) V(?pA?r) V(p AqAr)(?pA?q) A (r V?r) ) V (?pA ?r) A (q V ?q) V (p A q A r) (?pA?qAr) V(?pA?qA?r) V(?pA?qA?r) V(?pAqA?r)V (p AqAr)(?pA?qAr) V(?pA?qA?r) V(?pAqA?r) V (p A q A r) (?pA?qA?r) V(?pA?qA r) V(?pAqA?r) V(p AqAr) m0 V m1V m2V m7E(0,1,2,7)故其主析取范式為(pV(qAr)- (pAqAr) E(0,1,2,7) 由

14、最小項(xiàng)定義可知道原命題的成真賦值為 (0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) 成彳矍賦值為(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0) 由主析取范式和主合取范式的關(guān)系即可知道主合取范式為(pV(qAr)- (pAqAr)11(3,4,5,6)(3) (p q)q r解： (p q)q r(p q) q rp q q r 0既 (p q) q r是矛盾式。(p q) q r的主合取范式為M M M M3 M M M M,成假賦值為：000, 001, 010, 011, 100, 101, 111.13.通過求主析取范式判斷下列各組命題公式是否等值。(1) p-

15、(qr); q(pr).解：p(q r) p (q r)-p ( -q r)p q r(-p (q -q) (r r) ) (p p) q (r r) ) (p -p) (q -q) r)(-p q r) (p qr) (pq r) (pqr) (p-q r) (p qr) (p q r)12(0,1,2,3,4,5,7)q(p r)q (p r)p q r 12(0,1,2,3,4,5,7) 所以兩式等值。(2) p q(p Aq)(p A (q V q) V (q A (p Vp)(p A q) V ( pAq) V (qA p) V ( p A q)(pAq) V( pA q) V (p

16、 A q)m V mo V m2E (0,1,2)(p A q)處原為(q A p),不是極小項(xiàng)令A(yù) = p qB= (p A q)C=( pA q) V (pAq) V (p A q)D = p J q則 B*= (p V q) p J q=D且A B C所以DA* C*C* = ( p Vq) A ( p V q) A (p V q) n (0, 1, 2)E(3)所以！1.15某勘探隊(duì)有3名隊(duì)員，有一天取得一塊礦樣，3人判斷如下：甲說：這不是鐵，也不是銅；乙說：這不是鐵， 是錫；丙說：這不是錫，是鐵；經(jīng)實(shí)驗(yàn)室鑒定后發(fā)現(xiàn)，其中一人兩個(gè)判斷都正確，一個(gè)人判對一半，另一個(gè)人全錯了。根據(jù)以上情況

17、判斷礦樣的種類。解：p：是鐵q：是銅 r：是錫由題意可得共有6種情況：1）甲全對，乙對一半，丙全錯：（pAq） A （pAr） V （pAr） A （r Ap）2）甲全對，丙對一半，乙全錯：（pAq） A （rAp） V （rA p） A （p Ar）3）乙全對，甲對一半，丙全錯：（pA r） A （pA q） V（qA p） A （r Ap）4）乙全對，丙對一半，甲全錯：（pA r） A （rAp） V （rA p） A （p A q）5）丙全對，甲對一半，乙全錯：（rAp） A（ （pAq） V （p Aq） A （p Ar）6）丙全對，乙對一半，甲全錯：（rAp） A（pAr） V （p

18、 Ar） A （p A q）則VVVVV1 （pAqApArArAp） V（pAqApArArAp） 0V0 0 （pAqArApApAr） V（pAqArApApAr） 0V0 0（p A r ApA q A r Ap） V pArA qApArA p）（pAqAr） V 0pAqAr（pA r Ar Ap A p A q） V （ pA r A r A p A pA q）0V0 0 （rApApAqApAr） V （rApApAqApAr） 0V （pAqAr） pAqAr （rApApArApAq） V （rAp ApArApAq） 0 V0 0所以VVVVV（pAqAr） V （pAq

19、Ar）而這塊礦石不可能既是銅又是錫，所以只能是1.16判斷下列推理是否正確，先將命題符號化，再寫出前提和結(jié)論， 讓后進(jìn)行判斷。3如果今天是1號，則明天是5號。今天是1號，所以明天是5號。q：明天是5號(pq)A p)-q前提引入前提引入假言推理p：今天是1號解：前提：pq ,p結(jié)論：q推理的形式結(jié)構(gòu)為:證明：p q p q此命題是正確命題1.16 判斷下列推理是否正確，先將命題符號化再寫出前提和結(jié)論，然后進(jìn)行判斷如果今天是1號，則明天是5號。明天是5號，所以今天是1號。解 設(shè)p:今天是1號,q:明天是5號，則該推理可以寫為(pq) Aq)-p前提p q, q結(jié)論p判斷證明(pq) A q) p

20、( (pq) A q) V p(pq)V qVp(pVq) V qVp(p A q) V q V pq Vp此式子為非重言式的可滿足式，故不可以判斷其正確性所以此推理不正確1.16 (3)如果今天是1號，則明天是5號，明天不是5號，所以今天 不是1號。解：p:今天1號.q:明天是5號.(pq) A?q)?p前提:pq, ?q.結(jié)論：？p.證明：pq前提引入？q前提引入？p拒取式推理正確1.17 (1)前提：( pAq) ,qVr,r 結(jié)論：p.證明：qVr前提引入rqCD -1 (p A q)p Vqp即推理正確。前提引入析取三段論前提引入置換析取三段論(2)前提：p(qs),q, pVr 結(jié)

21、論：r s.證明：pVrrp p (qs)q f sqs由附加前提證明法可知，結(jié)論正確。前提引入 附加前提引入 析取三段論 前提引入假言推理 前提引入 假言推理(3):前提：pq.證明：pq.pA q(4)前提：q p,q s,s前提引入附加前提引入假言推理合取引入規(guī)則 t,t r.結(jié)論：p7(pA q).結(jié)論：p q s r.證明：1) t r；前提引入2) t ;1)的化簡3) s t;前提引入4) (st)(t s); 3)的置換5) t s 4)的化簡6) s；2),5)的假言推理7) qs；前提引入8) (q s) (s q)； 7)置換9) sq8)的化簡10) q； 6),9)的

22、假言推理11) q p;前提引入12) p； 10),11)的假言推理13) r 1)的化簡14) p q s r 6),10),12),13)的合取所以推理正確。1. 18如果他是理科學(xué)生，他必學(xué)好數(shù)學(xué)。如果他不是文科學(xué)生，他必是理科學(xué)生。他沒學(xué)好數(shù)學(xué)。所以它是文科學(xué)生。判斷上面推理是否正確，弁證明你的結(jié)論。解：p:他是理科學(xué)生q:他學(xué)好數(shù)學(xué) r:他是文科學(xué)生前提：p q , 1 r p , q結(jié)論：rp前提引入pq前提引入1p拒取式rp前提引入r拒取式1.19 給定命題公式如下：p (q r)。求命題公式的主析取范式、主合取范式、成真賦值、成假賦值。解： p (q r)(p q q) (r

23、 r) (q r) (p p)p q r) p q r) (p q r) (p q r) (pq r) ( p q r)m7 m6 m5vm4 m6 m2m7 m6 m5vm4 m22、 4、 5、 6、 7. p (q r)0、1、3既 010、100、101、110、111 是成真賦值，000、001、011是成假賦值1.20給定命題公式如下：(p q) r。求命題公式的主析取范式、主合取范式、成真賦值、成假賦 值。解： (p q) r(p q) r(p q) (r r) ) (p p) (q q) r)(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) (

24、p q r)m7 m6 mr m5mmm 7 m6 mi m3 m1、 3、 5、 6、 7(p q) r 0、2、4既 001、011、101、110、111 是成真賦值,000、010、100是成假賦值。例題例1.25給定命題公式如下，用等值演算判斷公式類型(1)(p Aq) (pVq)解： (p A q) V (p V q)p Vq V p V q(pV p) V (qV q)1 V 11所以為重言式(2) (p? q) ? (p-q)A(q-p)解：(p? q) ? (pq)A (q-p)(p? q) ? (? q)(p? q)-(p? q) A (p? q)-(p? q)(p? q)(p? q)?(p? q) V(p? q)?(pq) A(q-p) V(pq) A(q-p