人教版八年級數(shù)學(xué)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)講義(含解析)

1、色第6講等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)蛾廊I知識定位講解用時(shí)：5分鐘A、適用范圍：人教版初二，基礎(chǔ)一般；B、知識點(diǎn)概述：本講義主要用于人教版初二新課，本節(jié)課我們要重點(diǎn)學(xué)習(xí)等腰 三角形“三線合一”的性質(zhì)。我們知道等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了 具有一般三角形所有的性質(zhì)外，還有許多特殊性，正是由于它的這些特殊性，使 得它比一般三角形的應(yīng)用更廣泛。因此，我們有必要把這部分內(nèi)容學(xué)得更扎實(shí)。!創(chuàng)知識梳理講解用時(shí)：20分鐘等腰三角形J1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另外一條 邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊和腰的夾角叫做底角。2、等腰三角形的性質(zhì)：(1

2、)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；(簡寫成“等邊對等角”)(2)等腰三角形的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(簡寫成“三線合一”)3、等腰三角形的判定方法：(1)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；(定義法)(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角對應(yīng)的邊也相等.(簡L-.1等邊三角形我們知道等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以接下來要研究等邊三角形的 性質(zhì)和判定！1、等邊三角形的概念：在等腰三角形中,有一種特殊的等腰三角形一一三條邊都相等的三角形, 我們把這樣的三角形叫做等邊三角形。2、等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三條邊都相等；(定義)(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，都等

3、于 60 ;(3)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)同樣適用于等邊三角形 .3、等邊三角形的判定方法：(1)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；(定義)(2)三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.【例題11在ABC, AB=AC / A- /B=15 ,則/ C的度數(shù)為()A. 500B. 550C. 600D. 70【答案】B【解析】根據(jù)已知可得到該三角形的為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形兩底角相 等及三角形內(nèi)角和公式即可求得/ C的度數(shù).解：v AB=AC / A / B=15. ./B=/ C, /A=/ B+150/ B+Z C+Z A=180 ./C

4、=55 .故選：B.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了三角形內(nèi)角和等腰三角形的性質(zhì)；進(jìn)行角的等量代換是解答本題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟記等腰三角形中等邊對等角，利用三角形內(nèi)角和做題 .難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)1.1 3.如圖，在 ABC, AB=AC點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，BC=BD=AD求/A的大?。俊敬鸢浮俊窘馕觥坑葿D=BC=AD知， ABED BCM等腰三角形，設(shè)/ A=/ ABD=x貝U ZC=Z CDB=2x 又由 AB=ACM知， ABCJ等腰三角形，則 / ABCW C=2x,在4 ABC中，用內(nèi)角和定理列方程求解.解：v BD=BC=AD.ABD

5、BCM等腰三角形，設(shè)/ A=/ ABD=x 則 / C=/ CDB=2x又 = AB=A(CT知，.ABE等腰三角形，丁 / ABCW C=2x,在ABC, /A+/ ABC+ C=180 ,即 x+2x+2x=180 ,解得x=36 ,即/A=36 .講解用時(shí)：3分鐘 解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是利用等腰三角形的底角相等, 外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，列方程求解.教學(xué)建議：熟記等腰三角形中等邊對等角，利用三角形內(nèi)角和做題 .難度：4適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題2】 在ABC, AB=AC那么在這個(gè)三角形中，三線重合的線段是（A. / A的平分線，AB邊上的

6、中線，AB邊上的高B. / A的平分線，BC邊上的中線，BC邊上的高C. /B的平分線，AC邊上的中線，AC邊上的高D. /C的平分線，AB邊上的中線，AB邊上的高【解析】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.解：二.在ABCt, AB=AC/A是頂角,/A的平分線，BC邊上的中線，BC邊上的高相互重合.故選：B.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì).利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì) 時(shí)，首先要找到頂角.教學(xué)建議：熟悉等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).難度：3 適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題 例題來源：無 年份：2018【練習(xí)2.1】 如圖，在 ABC中，AB=AC點(diǎn)D為B

7、C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（A. / BADW CAD B. ADL BC C . / B=/ CD. / BACW B【答案】D【解析】由在 ABC中,AB=AC點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)等邊對等角與三線合 一的性質(zhì)，即可求得答案.解：= AB=AC點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),丁 / BADW CAD ADL BC / B=/ C.故A、B、C正確，D錯(cuò)誤.故選：D.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.教學(xué)建議：熟悉等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題31 如圖，在 ABC中,AB=AC

8、AD平分/ BAC那么下列結(jié)論不一定成立的是（A. AABtDAACD B. / B=/ CC. AD是 ABC的中線 D. ABCg等邊三角形【答案】D【解析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可作出判斷.解：.在 ABCP, AB=AC AD平分/ BAC；/B=/ C, AD是 ABC的中線，高線，BD=DC / ADBW ADC=90 ,.在 RtzXABM RtzXACD中，BD=DCZadb=Zadc,AD=AE RtzXABDRtAACD(SAS ,故A、B、C都成立，只有D不一定成立.故選：D.講解用時(shí)：3分鐘底邊上的中線、2018cm解題思路：考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形

9、的頂角平分線、底邊上的高相互重合.三線合一教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份:【練習(xí)3.1】如圖，在 ABC AB=AC BC=6cm AD平分/ BAC 貝U BD=【答案】3【解析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得 BD=- BC解：v AB=AC ADF分 / BAC;BD=BC=Lx6=3cm 22故答案為：3.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【練習(xí)3.2】如圖，在

10、等邊 ABC, BD!AC于D,若AB=4則AD=.【答案】2【解析】根據(jù) ABC是等邊三角形可知AB=AC冉由BDAC可知AD=AC由 此即可得出結(jié)論.解：.ABCg等邊三角形，AB=4AB=AC=4v BDL AC,AD=-AC=-X4=2.故答案為：2講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形三線合一的性質(zhì)是 解答此題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí) 例題來源：無 年份：2018【例題4】 如圖，在 ABC, AB=AC D是BC邊上的中點(diǎn)，且 DH AB, DF，AC【解析】D是BC的中點(diǎn)，那么AD就是

11、等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等 腰三角形三線合一的特性，可知道 AD也是/ BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么 DE=DF再根據(jù)等邊對等角即可求解.證明：連接AD 二.點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn).A葉分/ BAC （三線合一性質(zhì)），. DELAB, DF AC . DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解 答本題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)4.1】如圖，在 ABC, AB=AC DB=DC 求證:(1)

12、 / BADW CAD(2) ADL BC.【答案】(1) /BADW CAD (2) ADL BC【解析】(1)利用“邊邊邊”證明 ABmACDir等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/ BADW CAD然后根據(jù)等腰三角形三線合 一證明即可.證明：(1)在ABDffizACD中,AB=ACDBDCAD 二 AD .ABD AACD (SSS,丁 / BADW CAD(2) . ABDAACD丁 / BADW CAD又AB=AC .ADL BC.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì), 求出兩個(gè)三角形全等是解題的

13、關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3 適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題5】 ABCt, AB=AC中線BD將4ABC周長分成12和9兩部分.求 ABC三邊.【答案】8, 8, 5或6, 6, 9【解析】設(shè)AB=AC=2x BC=y M AD=BD=x則有兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系解答.解：設(shè) AB=AC=2x BC=y 則 AD=BD= xAC上的中線BD等這個(gè)三角形的周長分成12和9兩部分，有兩種情況：1、當(dāng) 3x=12,且 x+y=9,解得 x=4, y=5,.，三邊長分別為8, 8, 5;2、當(dāng) x+y=12 且

14、3x=9 時(shí)，解得x=3, y=9,止匕時(shí)腰為6,三邊長分別為6, 6, 9,綜上，三角形的三邊長為 8, 8, 5或6, 6, 9.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查了等腰三角形和三角形三邊關(guān)系求解，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：學(xué)會分情況討論及掌握三角形的三邊關(guān)系.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)5.1】有一條長為21cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的3倍，那么底邊長是多少？(2)能圍成一邊長為5cm的等腰三角形嗎？說明理由.【答案】(1) 3cm； (2)底邊是5cm,腰長是8cm的等腰三角形【解析】(1)設(shè)底邊長為x

15、cm,表示出腰長，然后根據(jù)周長列出方程求解即可；(2)分5是底邊和腰長兩種情況討論求解.解：(1)設(shè)底邊長為xcm,則腰長為3xcm,根據(jù)題意得，x+3x+3x=21,解得 x=3cmi;(2)若5cm為底時(shí)，腰長卷(21-5) =8cm)三角形的三邊分別為5cmi 8cmi 8cmi,能圍成三角形，若5cm為腰時(shí)，底邊=21-5X2=11,三角形的三邊分別為 5cmi 5cmi 11cnn,5+5=10 11,不能圍成三角形，綜上所述，能圍成一個(gè)底邊是 5cm,腰長是8cm的等腰三角形.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊

16、關(guān)系進(jìn)行判斷.教學(xué)建議：熟悉等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題6】 如圖，在ABC, AB=AC點(diǎn)D E、F分另在AR BC AC邊上，且BE=CF BD=CE(1)求證： DEF等腰三角形；(2)當(dāng)/A=40時(shí)，求/ DEF的度數(shù).E【答案】(1) 4DEF是等腰三角形；(2) 700【解析】(1)由AB=AC /ABCW ACB BE=CF BD=CE利用邊角邊定理證明DB陷ACEF然后即可求證 DEF是等腰三角形.(2)根據(jù)/ A=40可求出/ ABC= ACB=70根據(jù) DB圖ACEI5利用三角形內(nèi) 角和定理即可求出/ D

17、EFffi度數(shù).證明：v AB=AC ./ABCW ACB在DBEffi ACEF 中BE-CF/ABC=/ACB,BD=CE. .DB圖 ACEFDE=EF.DE支等腰三角形；(2) . DB圖ACEF/ 1=/ 3, / 2=/4, /A+/ B+/ C=180 , / B，(180 40 ) =70 2 / 1+/ 2=110 / 3+/ 2=110丁. / DEF=70講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主 要應(yīng)用了三角形內(nèi)角和定理和平角是 180 ,因此有一定的難度，屬于中檔題.教學(xué)建議：通過證明兩個(gè)三角形全等得到角相等， 再利用等角對

18、等邊判斷為等腰 三角形是關(guān)鍵.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)6.1 J如圖，在 ABC, AB=AC /A=36 , DE是AB的垂直平分線.(1)求證： BCD1等腰三角形；(2)若4ABD的周長是a, BC=b求 BCD的周長.(用含a, b的代數(shù)式表示)【答案】(1) BCD等腰三角形；(2) a-b【解析】(1)先由AB=AC /A=36 ,可求/ B=/ACB串口:口, =72。,然后由DE是AC的垂直平分線，可得AD=DC進(jìn)而可得/ ACDW A=36 ,然后根據(jù)外 角的性質(zhì)可求：/ CDB=ACD+A=72 ,根據(jù)等角又t等邊可得：CD=CB進(jìn)而可

19、證BCD1等腰三角形；(2)由(1)知：AD=BD=CB=b由4ABD的周長是 a,可得 AB=a 2b,由 AB=AC 可得 CD=a- 3b,進(jìn)而彳4至|4 BCD的周=CD+BD+BC =a3b+b+b=a- b.(1)證明：v AB=AC / A=36 , / B=/ ACB=72 , 2，v DE是AC的垂直平分線， . AD=DC ./ACDW A=36 , CDBtADCB外角， ./CDB= ACD+ A=72 , / B=/ CDBCB=CD .BCDl等腰三角形；(2) AD=BD=CB=b4ABD勺周長是 a,AB=a- 2b,v AB=AC CD=a- 3b, BCD勺

20、周長長=CD+BD+BC=a3b+b+b=a- b.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi) 角和定理等知識.此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用，注意等腰三角形的性質(zhì)與等量代換.教學(xué)建議：熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).難度：3 適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題71如圖， ABC, AB=AC D是BC的中點(diǎn)，過 A點(diǎn)的直線EF/ BC,且AE=AF求 證：DE=DF【答案】DE=DF【解析】連接AD先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出 AD! BC再結(jié)合已 知條件EF/ BC得到ADL

21、EF,又AE=AF即AD垂直平分EF,然后根據(jù)線段垂直 平分線的性質(zhì)即可證明DE=DF證明：如圖，連接AD.ABC, AB=AC D是 BC的中點(diǎn)， .ADL BC,v EF/ BC, .ADL EF,又 AE=AFADS直平分EF,DE=DF解題思路：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)， 線段垂直平分線的性質(zhì)，難度適 中.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)并應(yīng)用難度：4適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)7.1】如圖.BD平分/ ABC點(diǎn)E在AB邊上，滿足DE=BE試判斷DE與BC的位置關(guān)系, 并證明你的結(jié)論.【答案】DE/ BC

22、【解析】根據(jù)角平分線的定義可得/ 1=/ 2,根據(jù)等邊對等角可得/ 2=/ 3,然后求出/ 1=/ 3,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答.解：DE/ BC理由如下：如圖，: BD平分/ABC/ 1=/ 2,v DE=BE /2=/ 3,/ 1=/ 3,DE/ BC.解題思路：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定，是基礎(chǔ)題，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀.教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018【例題8】在ABC, AD分/ BAC BDL AD,垂足為 D,過 D作 DE/ AC 交 AB于 E,若 AB=5求線段

23、DE的長.【解析】求出/ CADh BADW EDA推出AE=DE求出/ ABDW EDB推出BE=DE求出AE=BE根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可.解：:AD平分/BAC丁 / BADW CADv DE/ AC, ./ CADW ADE / BADW ADE . AE=DE. ACL DB, ./ADB=90 ,丁. / EAD+ABD=90 , / ADE+ BDE= ADB=90 , ./ABD= BDEDE=BEv AB=5DE=BE=aE=AB=2.5. 團(tuán)講解用時(shí)：4分鐘解題思路：本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出 DE

24、=BE=AE教學(xué)建議：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定并應(yīng)用.難度：4適應(yīng)場景：當(dāng)堂例題例題來源：無 年份：2018【練習(xí)8.1】如圖，AABC中,AB=AC AD是/BAC的平分線，交 BC于D,過點(diǎn)B作BE!AC 于E,交ADT F,又知AF=2BD 4BCE與AF%r等嗎？為什么？【答案】全等【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BC=2BDADLBC,由已知條件得到AF=BC 由垂直的定義得到/ AEF=/ BEC=90 ,推出/ EAFW CBE根據(jù)全等三角形的判 定定理即可得到結(jié)論.解：BC*4AFE全等，理由：v AB=AC AD是/ BAC的平分線，BC=2BD ADL BCv AF

25、=2BD . AF=BCBn AC于 E, /AEF4 BEC=90 , /AFE4 BFQ / EAF4CBE rZCBE=ZFAE在BCEf AFE 中， /AEF=/BEC, ,AF=BC解題思路：本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì).難度：3適應(yīng)場景：當(dāng)堂練習(xí)例題來源：無 年份：2018 二課后作業(yè)1 :【作業(yè)11如圖，已知DE/ BC AB=AC / 1=125 ,則/ C的度數(shù)是（A. 55B. 45C. 35D. 65【答案】A【解析】 首先根據(jù)/ 1=125 ,求出/ ADE

26、的度數(shù)；然后根據(jù) DE/ BG AB=AQ可得AD=AE ZC=Z AED求出/ AED的度數(shù)，即可判斷出/ C的度數(shù)是多少. 解：:/ 1=125 , ./ADE=180 T25 =55 ,v DE/ BC, AB=AC . AD=AE / C=/ AED ./AED=ADE=55 ,又. / C=/AED ./C=55 .故選：A.講解用時(shí)：3分鐘難度：3適應(yīng)場景：練習(xí)題例題來源：無 年份：2018【作業(yè)2】如圖，在 ABC中，D為AB邊上一點(diǎn).BD=BC AD=DC / B=36 .求/ ACB的度【解析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出/ BCD= BDC再根據(jù)等邊對等角和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/ACD然后相加即可.解：v BD=BC / B=36 , ./ BCDW-ZB)(180 36 ) =72VAD=DC / A=/ ACD ./ACD=/BDC=X72 =36 ./ACBW ACD廿 BCD=36 +72 =108講解用時(shí)：3分鐘 難度：3 適應(yīng)場景：練習(xí)題 例題來源：無 年份：2018【作業(yè)3】下列說法中正確的是（）A.等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行B.等腰