2017-2018學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1導數(shù)的概

1、第一課時歸納推理問題 1 我們知道銅、鐵、鋁、金、銀都是金屬，它們有何物理性質(zhì)？提示：都能導電.問題 2:由問題 1 你能得出什么結(jié)論？提示：一切金屬都能導電.問題 3:最近中國健康報報道了人的血壓和年齡一組數(shù)據(jù)，先觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用 適當?shù)臄?shù)填入表中年齡(歲)3035404550556065收縮壓(水銀柱/毫米)110115120125130135145舒張壓(水銀 柱/毫米)70737578808388提示：14085問題 4:由問題 3 中的數(shù)據(jù)你還能得出什么結(jié)論？提示：隨著人的年齡增長，人的血壓在增高.問題 5：數(shù)列an的前五項為 1,3,5,7,9 試寫出an.提示：an= 2n

2、1(nN).1. 推理(1) 推理的定義從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.(2) 推理的組成任何推理都包含前提和結(jié)論兩個部分,前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么：結(jié)論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推岀的知識是什么.2. 歸納推理(1)歸納推理的定義從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理.2(2)歸納推理的思維過程如圖3實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論（3）歸納推理的特點1歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2由歸納推理得到的結(jié)論具有猜狽面性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過

3、邏輯證明和實踐檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具.3歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.歸納升華領(lǐng)悟-1 歸納推理是從特殊到一般，具體到抽象的推理形式因此，由歸納得到的結(jié)論超越 了前提所包容的范圍.2歸納是根據(jù)若干已知的條件（現(xiàn)象）推斷未知結(jié)論（現(xiàn)象），因而，結(jié)論（現(xiàn)象）具有猜 測的性質(zhì).3歸納的前提是特殊現(xiàn)象，歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或?qū)嶒灥幕A(chǔ)上的.4.觀察和實驗是進行歸納推理的最基本條件，是歸納推理的基礎(chǔ)，通過觀察和實驗， 為知識的總結(jié)和歸納提供依據(jù).5 由歸納推理所得到的結(jié)論未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具

4、體到抽象的認 識功能，對于科學的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的，是進行科學研究的最基本的方法之一.丨、刁高頻琴點題組化名師一點就通對應(yīng)學生用書 P13例 1已知數(shù)列an的第 1 項ai= 1，且an+1=（n= 1,2，），求出a2，a3，a4,并推測an思路點撥數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列 根據(jù)已知的遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，觀察出an 的第n項an與序號n之間的對應(yīng)關(guān)系,n與an的關(guān)系即可解決.歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用4精解詳析當n= 1 時，a1= 1；當n= 2 時，a2=占=1；5觀察可得，數(shù)列的前 4 項等于相應(yīng)序號的倒數(shù)由此猜想，這個數(shù)列的通項公式為一點通在求數(shù)列的通項與前n項和時，經(jīng)常用歸納

5、推理得出結(jié)論.這就需要在進行 歸納推理時要先轉(zhuǎn)化為一個統(tǒng)一的形式，分出變化部分和不變部分，重點分析變化規(guī)律與n的關(guān)系，往往會較簡捷地獲得結(jié)論.1.已知正項數(shù)列an的前n項和為S,且滿足 S=1an+ .求出 a,屯a3,a4,并推2、an/測an.1( 1、a1+a2+a3+a4= a4+2 .a4? . 3+ a4=藥，-a4= 2,3;觀察可得，an=n-,n 1.an+1+an 1當n= 3 時,當n= 4 時，14.1a+ a2=2a2+a，即1 11+ 2a2=紜， a2= 2- 1 ；即,2+尹=丄2a3,丄a3，-a3= 叮 3 2 ；121+2131 +31又an0,.a1=

6、1 ；62.已知數(shù)列an中，32= 6, -=n.an+1an+ 1(1)求a1,a3,a4；7猜想數(shù)列an的通項公式.a2+ai 1解：由a2= 6,= 1,得ai= 1.a2ai+ Ia3+a2 1由=2,得a3= 15.a3a2+1a4+a3 1/ 冃由040+1 =3,得a4=28.故a1= 1,a3= 15,a4= 28.(2)由a1=1=1x(2x11)；a2=6=2x(2x21)；a3=15=3x(2x31);a4=28=4X(2x41),猜想an=n(2n 1).1 1歸納推理在不等式中的應(yīng)用例 2 對任意正整數(shù)n,試歸納猜想 2n與n2的大小關(guān)系.精解詳析當n= 1 時，21

7、12； 當n= 2 時，22= 22;當n= 3 時，2352;當n= 6 時，2662.歸納猜想，當n= 3 時，2nn2.一點通對于與正整數(shù)n有關(guān)的指數(shù)式與整式的大小比較，不能用作差、作商法比較， 常用歸納、猜想、證明的方法，解題時對n的取值的個數(shù)要適當，太少易產(chǎn)生錯誤猜想，太多增大計算量，凡事恰到好處.對有些復(fù)雜的式子的大小比較，往往通過作差后變形（通分、因式分解等），變成比較兩個簡單式子的大小，即化繁為簡.思路點撥給n從小到大賦值計算各式的值83觀察下列式子：1311511171+ 222，1+ 22+亍3，1+夕+亍+ 424，猜想第n個不等式為12X1+1解析：第 1 個不等式：1

8、+2；第 2 個不等式：112X2+11 +尹2+2 2+1；第 3 個不等式：1112X3+11 +22+孑+； + 2 3+1；故猜想第n個不等式為11112n+11 + 亍+2+2+2.23 4n+n+1答案：1112n+11 +藝+S2+n+12n+ 14對任意正整數(shù)n,猜想nn+1與(n+ 1)n的大小關(guān)系. 解：n= 1 時，1221；n= 2 時，2343;n= 4 時，455：n= 5 時；56.據(jù)此猜想，當n3 時，nn+1(n+ 1)MLS歸納推理在圖形推理中的應(yīng)用例 3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖:由于圖中 1,3,6,10 這些數(shù)能夠表示成三角形

9、，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形 的數(shù)的特點，歸納第n個三角形數(shù).1X22X33X44X5思路點撥將 1,3,6,10 分別寫成一廠，一廠，一廠，一廠,據(jù)此可完成本題的求解.精解詳析觀察項與項數(shù)的關(guān)系特點如下:項1234項數(shù)1X22X33X44X52222分析：項的各分母均為 2,分子分別為相應(yīng)項數(shù)與相應(yīng)項數(shù)與1 和的積.9n n+ 丨*歸納：第n個三角形數(shù)應(yīng)為-2-(n N).一點通此類圖形推理問題涉及的圖形構(gòu)成的元素一般為點.題目類型為已知幾個圖形,圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化，這種數(shù)量變化存在著簡單的規(guī)律性，如點的數(shù)目的遞增關(guān)系或遞減關(guān)系，依據(jù)此規(guī)律求解問題，一般需轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通

10、項公式或前n項和等.5下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:設(shè)第n個圖有an個樹枝，則an+1與an(n1)之間的關(guān)系是 _ .解析：由圖可得，第一個圖形有 1 根樹枝，ai= 1,第 2 個圖形有 3 根樹枝，即a2= 3,同理可知：a3= 7,a4= 15,a5= 31.歸納可知：a2= 3 = 2x1+ 1 = 2a+ 1,a3=7=2x3+1=2a2+1,a4=15=2x7+1=2a3+1,a5=31=2x15+1=2a4+1,由歸納推理可猜測：an+1= 2an+ 1.答案：an+1= 2an+ 16根據(jù)下圖中 5 個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第n個圖中點的個數(shù)解析：圖中

11、點的個數(shù)依次為：1,3,7,13,21.又 1=1+0X1；3=1+1X2;7=1+2X3,13=1+3X4,21=1+4X5.結(jié)合項數(shù)與項的關(guān)系猜想第n個圖中點的個數(shù)為：1 + (n1)n,即為n2-n+1(n N).10答案：n2n+1(n N)歸納推理在數(shù)陣中的應(yīng)用思路點撥由楊輝三角的前 5 行總結(jié)各行數(shù)字的規(guī)律， 由此尋找第8 行的數(shù)字，整體觀察楊輝三角可得到多個有趣的規(guī)律.精解詳析 第 8 行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般規(guī)律：(1) 每行左、右的數(shù)字具有對稱性；(2) 兩斜邊的數(shù)字都是 1,其余數(shù)字等于它肩上兩數(shù)字之和；(3) 奇數(shù)行中間一項最大，偶數(shù)行中間兩項相等

12、且最大.一點通解決此類數(shù)陣問題時，通常利用歸納推理，其步驟如下：(1) 明確各行、各列數(shù)的大小；(2) 分別歸納各行、各列中相鄰兩個數(shù)的大小關(guān)系；(3) 按歸納出的規(guī)律寫出一個一般性的結(jié)論.%龜霾第執(zhí)7.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如圖所示，則數(shù)陣中第n(n3)行的從左至右的第 3 個數(shù)是_ .解析：第 1 行，第 2 行，第 3 行，分別有 1,2,3，個數(shù)字,78910II 12131415且每個數(shù)字前后差 1,則第n 1 行的最后一個數(shù)字加3 即為第n(n3)行的從左至右的第3個數(shù)，前n 1 行共有數(shù)字 1+ 2+ 3+-+ (n 1)=“，則第n(n3)行的從左至右的第 3 個數(shù)為

13、2小nn+ 62并歸納、猜想一般規(guī)律.例 4如圖是楊輝三角的前11答案：2nn+ 628.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了右邊所示的三 角形數(shù)表，設(shè)aj(i,jN)是位于這個三角形數(shù)表 中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j行.如a42= 8,若aij= 2 009.則i和j的和為_.解析：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列， 2 009 = 2X1 005 1,所以 2 009為第 1 005 個奇數(shù)，又前 31 個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的 個數(shù)的和為 961，前 32 個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1 024，故 2 009 在第 32個奇數(shù)行內(nèi)，所以i= 63,因為第 63 行的第一個數(shù)為 2X9

14、62 1 = 1 923,2 009 = 1 923+ 2(m 1)，所以m 44,即j= 44，所以i+j= 107. 答案：107方法規(guī)律小結(jié)二1歸納推理的一般步驟(1) 通過觀察某類事物個別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì).(2) 對這些性質(zhì)進行歸納整理，得到一個合理的結(jié)論.(3) 猜想這個結(jié)論對該類事物都成立.2.歸納推理應(yīng)注意的問題歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過嚴格的理論證明.益.衛(wèi)燔澄嵐上鄉(xiāng)在軌羔考庇對應(yīng)學生用書 P15一、填空題1.(陜西高考)觀察下列等式(1+1)=2X12(2+1)(2+2

15、)=2X1X33(3+1)(3+2)(3+3)=2X1X3X5照此規(guī)律，第n個等式可為_ .解析：觀察規(guī)律可知，左邊為n項的積，最小項和最大項依次為(n+ 1), (n+n)，右邊 為連續(xù)12435768101291113 151714 16 18 20 222412奇數(shù)之積乘以 2n，則第n個等式為：(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+n)= 2nx1x3X5X x(2n 1).答案：(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) (+n) = 2nx1x3x5x x(2n 1)2. 已知f1(X)= cosx,f2(x) =f1(x) ,f3(x)=f2(x),f4(x) =f3(X)，fn(

16、x)=fn1(x)，貝yf2 014(x)= _.解析：(x) = cosx,f2(x) =f1(x) = sinx,f3(x) =f2(x) = cosx,f4(x) =f3(x) = sinx,f5(x)=f4(x) = cosx,再繼續(xù)下去會重復(fù)出現(xiàn)，周期為 4,f2 014(x) =f2(x) = sinx.答案：sinx3.根據(jù)三角恒等變換，可得到如下等式：cos0 =cos0 ；cos 220 =2cos01；cos 330 =4cos03cos0;cos 440 =8cos028cos0+1;cos 550 =16cos0 -20cos30 +5cos0642依照規(guī)律猜想 cos

17、 60= 32cos0+mcos0+ncos0 1. 貝 Un=.解析：根據(jù)三角恒等變換等式可知，各項系數(shù)與常數(shù)項的和是1,即 32 +n 1= 1. n= 30.答案：30(1、n4已知an= 3n，把數(shù)列an的各項排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9記A(s,t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12) =_13解析：每行對應(yīng)的元素個數(shù)分別為1,3,5，那么第 10 行最后一個數(shù)為aioo,則第 11行的第 12 個數(shù)為 an2， 即卩A(11,12) = an2=.答案:f1!1122 丿5 .經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式：2 + 18210, - 4 + T552 To ,3

18、 + .*一 2+17 ：22_10,，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a,b都成立的條件不等式：_ .解析：2 + 18= 20,4.5 + 15.5 = 20,3 +2+ 17 2= 20，即各不等式左邊兩根號內(nèi)的數(shù)之和等于 20,右側(cè)均為 2 10.答案：當a+b= 20,a,b (0 ,+)時，有，a+, b210二、解答題解：由前面三個等式，推測歸納被開方數(shù)的整數(shù)部分與分數(shù)部分的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.由三個等式，知整數(shù)部分和分數(shù)部分的分子相同,而分母是這個分子的平方減1,7.在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2 條對角線，凸五邊形有 5 條對角線，凸六邊形有對角線由此猜出凸n邊形有幾條對角線?解：凸四邊形有 2 條對角線，凸五邊形有 5 條對角線，比凸四邊形多 3 條；凸六邊形有 9 條對角線，比凸五邊形多 4 條；于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n1 邊形多n2 條對角線，由此凸n邊形對角線1*條數(shù)為 2 + 3+ 4