專題一：等腰三角形地存在性問題

1、專題練習(xí)一等腰三角形的存在性問題專題攻略如果 ABC是等腰三角形,那么存在 AB=AC,BA= BC,CA = CB三種情況.腰長兩定一動：分別以兩腰的頂點(diǎn)為圓心,腰長為半徑畫圓；底邊兩定一動：畫底邊的垂直平分線.解等腰三角形的存在性問題,有幾何法和代數(shù)法,把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合, 可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長,分類列方程,解方程并檢驗(yàn).針對練習(xí)1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3, 4),點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn),如果 DOP是等腰三角形,求點(diǎn) P的坐標(biāo).2、如圖,直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),過

2、A、B兩點(diǎn)的拋物線交 x軸于另一點(diǎn)C3,0).求A、B的坐標(biāo)；(2)、求拋物線的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使4ABQ是等腰三角形假設(shè)存在,求出符合條件的 Q點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由.3、如圖,在矩形 ABCD中,AB=6, BC=8,動點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn) A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移 動,同時(shí)動點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn) C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn) 時(shí)如此停止運(yùn)動.在 P、Q兩點(diǎn)移動過程中,當(dāng) PQC為等腰三角形時(shí),求 t的值.PQ4、如圖,直線y=2x+ 2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn),直線 與直線

3、AB垂直,交y軸于點(diǎn)Q,如果 APQ是等腰三角形,求點(diǎn) P的坐標(biāo).5、如以下圖,矩形 ABCD中,AB=4 , BC=4 <3,點(diǎn)E是折線段A D C上的一個(gè)動點(diǎn)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合,點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn).在點(diǎn) E運(yùn)動的過程中,使 PCB為等腰三角形的點(diǎn) E的位置共有個(gè).A、2 B、3 C、4 D、56、如圖,在 ABC中,AB=AC=10, BC=16, DE = 4.動線段 DE端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動,當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動停止.過點(diǎn)E作EF/AC交AB于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E 與點(diǎn)C重合時(shí),EF與CA重合,聯(lián)結(jié)DF,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒t>0.1直接寫

4、出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；2在這個(gè)運(yùn)動過程中, DEF能否為等腰三角形假設(shè)能,請求出t的值；假設(shè)不能,請說明理由；3設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn),求整個(gè)運(yùn)動過程中,MN所掃過的面積.7、如圖,點(diǎn) A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點(diǎn).順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；3在此拋物線的對稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形假設(shè)存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由.5.11某某24如圖1,正方形OABC的邊長為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn).P(0,m)是線段OC

5、上一動點(diǎn)C點(diǎn)除外,直線PM交AB的延長線于點(diǎn) D.1求點(diǎn)D的坐標(biāo)用含m的代數(shù)式表示；2當(dāng) APD是等腰三角形時(shí),求 m的值；3設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與 x軸正半軸交于點(diǎn) 巳過點(diǎn)O作直線ME的垂線,垂足為H如圖2.當(dāng) 點(diǎn)P從.向C運(yùn)動時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動.請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長不必寫解答過程.圖1圖26.10某某27如圖,在矩形ABCD中,AB=m m是大于0的常數(shù),BC=8, E為線段BC上的動點(diǎn)不與 B、C重合.連結(jié)DE ,作EFDE, EF與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE=x, BF = y.1求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;2假設(shè)m=8,求x為何值時(shí),y的值最大,最大值是多少?兩年模擬123假設(shè)

6、y ,要使 DEF為等腰三角形,m的值應(yīng)為多少?7.2021年某某市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題如圖,在 ABC中,AB = AC=10, BC=16, DE = 4.動線段 DE端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿 BC以每秒1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動,當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動停止.過點(diǎn) E作EF/AC交AB于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E 與點(diǎn)C重合時(shí),EF與CA重合,聯(lián)結(jié)DF,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒t>0.1直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；2在這個(gè)運(yùn)動過程中, DEF能否為等腰三角形假設(shè)能,請求出t的值；假設(shè)不能,請說明理由；3設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn),求整個(gè)運(yùn)動過程中,MN所掃過的面積.8.某某七

7、中2021屆保送生推薦測試第 26題如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,矩形ABCD的邊AB在x且 AB = 3, BC=2J3 ,直線y= Ex 2中3經(jīng)過點(diǎn)c,交y軸于點(diǎn)G.1點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C,D匚；2求頂點(diǎn)在直線 y= v'3x 27與上且經(jīng)過點(diǎn)c、D的拋物線的解析式；3將2中的拋物線沿直線 y= <3x 2/3平移,平移后的拋物線交 y軸于點(diǎn)F,頂點(diǎn)為點(diǎn)E頂點(diǎn)在y軸右側(cè).平移后是否存在這樣的拋物線,使EFG為等腰三角形假設(shè)存在,請求出此時(shí)拋物線的解析式；假設(shè)不存在,請說明理由.自編原創(chuàng)9.如圖,4ABC中,AB=AC=6, BC=8,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn), 點(diǎn)E在

8、AC邊上,/ADE = /B.設(shè) BD的長為x, CE的長為y.1當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí),求CE的長；2求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出 x的取值X圍；參考答案：31.由于 D3, 4,所以 OD = 5, COS DOP 一.5如圖1,當(dāng)PD=PO時(shí),作PELOD于E.在 RtAOPE 中,cos DOP OE OE 5 ,所以 OO 型.OP 526 25此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為£5,0.6如圖2,當(dāng)OP=OD=5時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為5, 0.如圖3,當(dāng)DO=DP時(shí),點(diǎn)D在OP的垂直平分線上,此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為6, 0.第1題圖2第1題圖32.在 RHABC 中,AC Tab"BC7 V

9、6282 10.因此 cos ACB 4.5在 APQC 中,CQ=t, CP=10-2t.第2題圖1第2題圖2第2題圖310 如圖1,當(dāng)CP CQ時(shí),t 10 2t,解得t 一秒.3 1如圖2,當(dāng)QP QC時(shí),過點(diǎn)Q作QMLAC于M,如此CM= PC 5 t 2» 人 ,4 CM 5 t ,25在RtQMC中,cos QCM ,解得t 一秒.5 CQ t911如圖3,當(dāng)PQ PC時(shí),過點(diǎn)P作PNLBC于N,如此=-QC - t1t,一 4 CN 0 t -在 RtPNC 中,COS PCN 2一,解得 t 5 CP 10 2t綜上所述,當(dāng)t為10秒、空秒、80秒時(shí),APQC為等腰三

10、角形.39213 .由 y=2x+ 2 得,A(-1 , 0), B(0, 2),所以 OA=1, OB=2.如圖,由 AOBAQOP 得,OP : OQ = OB : OA=2 ： 1 .設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0, m),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m, 0).因此 AP2=(2m+1)2, AQ2=m2+1, PQ2= m2+(2m)2= 5m2.4P不存當(dāng)AP = AQ時(shí),AP2 = AQ2,解萬程(2m+ 1)2=m2+1,得m 0或m -,所以符合條件的點(diǎn)3在.當(dāng) PA= PQ 時(shí),PA2=PQ2,解方程(2m + 1)2=5m2,得 m 2 J5 .所以 P(4 275,0).1當(dāng) QA=QP

11、時(shí),QA2=QP2,解萬程 m2+1=5m2,得 m 一.所以 P(1,0).2第3題圖4 .12 某某 261如圖,過點(diǎn) B作BCy軸,垂足為C.在 RtOBC 中,/ BOC=30° , OB = 4,所以 BC=2, OC 273.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 273).2由于拋物線與 x軸交于O、A(4, 0),設(shè)拋物線的解析式為 y=ax(x-4), 代入點(diǎn)B( 2, 2相),2底 2a (6).解得a 理.6所以拋物線的解析式為yY3x(x 4)43x2 2Ax.6633拋物線的對稱軸是直線 x=2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y).當(dāng) OP=OB=4時(shí),OP2=16.所以 4+y2

12、=16.解得 y2J3 .當(dāng)P在(2,2圾時(shí),B、O、P三點(diǎn)共線.當(dāng) BP=BO=4 時(shí),BP2=16.所以 42 (y 2面 16 .解得 y y22百.當(dāng) PB=PO 時(shí),PB2=PO2.所以 42 (y 2曲)2 22 y2 .解得 y 2G綜合、,點(diǎn) P的坐標(biāo)為(2, 2辨).第4題圖5 .11 某某 241由于 PCDB,所以 CP -PM MC 1 .因此 PM = DM , CP=BD=2 m.所以 AD BD DM MB=4m.于是彳#到點(diǎn) D的坐標(biāo)為(2, 4-m).2在AAPD 中,AD2 (4 m)2 , AP2 m2 4, PD2 (2PM )2 4 4(2 m)2.當(dāng)

13、AP = AD時(shí),(4 m)2 m2 4.解得m -如圖.2當(dāng) PA= PD 時(shí),m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4如圖2或m 4不合題意,舍去.3當(dāng) DA=DP 時(shí),(4 m)2 4 4(2 m)2.解得m 2如圖3或m 2不合題意,舍去.3綜上所述,當(dāng) APD為等腰三角形時(shí),m的值為3, 3或2.233第5題圖1第5題圖2第5題圖3另解第2題解等腰三角形的問題,其中、用幾何說理的方法,計(jì)算更簡單: 如圖1,當(dāng)AP=AD時(shí),AM垂直平分 PD,那么 PCMA MBA.所以巴MB 1.因此pc 1, m 3.CMBA 222如圖2,當(dāng)PA=PD時(shí),P在AD的垂直平分線上.所以DA = 2

14、PO.因此 4 m 2m .解得 m 433點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為吏.思路是這樣的:4如圖4,在RtAOHM中,斜邊OM為定值,因此以 OM為直徑的.G經(jīng)過點(diǎn)H,也就是說點(diǎn) H在圓弧上運(yùn)動.運(yùn)動過的圓心角怎么確定呢如圖5, P與O重合時(shí),是點(diǎn)H運(yùn)動的起點(diǎn),/ COH = 45° , / CGH= 90° .第5題圖4第5題圖6 .10 某某 27(1)由于/ EDC與/ FEB都是/ DEC的余角,所以/ EDC = / FEB.又由于/ C = Z B= 90 ,所以DCEA EBF.m 山 DC EB 口. m因此,即一CE BF x整理,得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為,y 一一

15、1(2)如圖1,當(dāng)m=8時(shí),y -x88x .m1(x 4)28因此當(dāng)x=4時(shí),y取得最大值為2.(3)假設(shè)y 12 ,那么這整理,得x2 8x 12 0.解得x = 2或x = 6.要使 DEF為等腰三角形,只存在 ED = EF的情況. 由于 DCEs EBF,所以 CE=BF,即 x = y.將x=y =2代入y 12,得m=6如圖2；m57 .1BE t 4, EF 秋 4) 2ADEF 中,/ DEF=/C 是確定的.5 (t 4) 如圖1,當(dāng)DE=DF時(shí),匹空,即色8 解得t I56.AB BC 101625如圖2,當(dāng)ED=EF時(shí),4 5(t 4).解得t .855 (t 4) 如

16、圖3,當(dāng)FD = FE時(shí),H.,即8 !£.解得t 0 ,即D與B重合.DE BC416第7題圖1第7題圖2第7題圖33MN是4FDE的中位線,MN/DE, MN = 2, MN掃過的形狀是平行四邊形. 如圖4,運(yùn)動完畢,N在AC的中點(diǎn),N到BC的距離為3;如圖5,運(yùn)動開始,D與B重合,M到BC的距離為9.4所以平行四邊形的高為 3 g 9,面積為9 2 9 .4 4428 .1C(4,2 肉,D(1,2肉.2頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線上,橫坐標(biāo)為5,代入直線y= J3x 2J3,得y 走. 22設(shè)拋物線的解析式為所以物線的解析式為y ax 2,c4,2環(huán)可得a3由頂點(diǎn)E在直線y= 7

17、3x 2«上,可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為0, 2代,直線與y軸正半軸的夾角為y23 (x m)2 413m 2亮.所以點(diǎn)F即/ EGF = 30°設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m7r3m 2狗,那么EG=2m,平移后的拋物線為的坐標(biāo)為0,22叵m2有m 2串.3如圖 1,當(dāng) GE=GF 時(shí),yF-yG=GE=2m,所以" m2 73 m 2m.3解得m=0或3. m = 0時(shí)頂點(diǎn)E在y軸上,不符合題意.2此時(shí)拋物線的解析式為2.33 23 (x 3 2)7,32如圖2,當(dāng)EF=EG時(shí),FG = 2/Xe,所以也 m2第m 26m.解得m= 0或3. 32此時(shí)拋物線的解析式為 y獨(dú)X 32昱. 322當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí),/ FEG為鈍角,因此不存在 FE=FG的情況.第8題圖1第8題圖289 .1當(dāng) D 為 BC 的中點(diǎn)時(shí),ADXBC, DEXAC, CE 一.32如圖 1 ,由于/ ADC =/ ADE + / 1, / ADC = Z