南開中學初中數(shù)學競賽輔導資料

1、初中數(shù)學競賽輔導資料第一講數(shù)的整除一、容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B （BHO）所得的商A/B是整數(shù)朝B么叫做A被B整除.被 所有非零的整數(shù)整除.一些數(shù)的整除特征除數(shù)能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8 或 125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被 3或9整除（如771, 54324）11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減，其差能被11整除（如 143.1859,1287.908270 等）7,11,13從右向左每三位為一段，奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減?M差能被 7 或 11 或 13 整除.（如 1001, 22743, 175

2、67, 21281 等）能被7整除的數(shù)的特征：抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)的2倍其差能被7整除。如1001100-2=98 （能被7整除）又如 7007700-14 = 686, 68-12 = 56 （能被 7 整除）能被11整除的數(shù)的特征：抹去個位數(shù)減去原個位數(shù)其差能被11整除如 1001 又 100-1=99 （能 11 整除）如 102851028-5=1023102-3 = 99 （能 11 整除）二、例題例1已知兩個三位數(shù)328和2x9的和仍是三位數(shù)5y7且能被9整除。求x.y 解：x.y都是0到9的整數(shù)，V5/7能被9整除，？汀二6?328+2x9 =567,x=3例2已知五位數(shù)123

3、4x能被12整除，求天解：？五位數(shù)能被12整除，必然同時能被3和4整除,當 l+2+3+4+x 能被 3 整除時，x=2, 5, 84x 能被 4 整除時，x=0, 4, 8?x=8例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234,但 （ 1+2+4） （ 0+3） =4,不能被 11 整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30, 41, 52, 63,均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習一1、分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的輾的連乘積）756 1859 1287 3276 10101 102962. 若四位數(shù)987"能

4、被 3整除，那么a=_3. 若五位數(shù)12x34 能被 11 整除，那么x =4. 當 時， 35/7/5 能被 25 整除5、當滬.時， 9610/2 能被 7 整除6、 能 被 11 整除的最小五位數(shù)是最大五位數(shù)是7、 能 被 4 整除的最大四位數(shù)是 ，能被 8整除的最大四位數(shù)是。8、8個數(shù)：125，756，1011，2457，7855，8104,9152，70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號）：6 , 8 .9 , 11 9、 從 1 到 100 這 100個自然數(shù)中，能同時被2和 3整除的共個，能被3整除但不是 5 的倍數(shù)的共個。10、 由 h 2, 3, 4, 5 這五個自然數(shù)

5、，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3第 3頁（共65 頁）整除的數(shù)共有幾個？為什么？11、已知五位數(shù)1234 A 能被 15 整除 , 試求 A 的值。12、求能被9 整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13. 在十進制中，各位數(shù)碼是0或 1,并能被225整除的最小正整數(shù)是（ 1989年全國初中聯(lián)賽題）一、容提要1. 兩個整數(shù)八和B （ BHO） ,如果 B 能整除 A （記作 B I A） ,那么A 叫做 B 的倍第 3 頁（共 65 頁）數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如3 I 15, 15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2、因為0除以非0的任何數(shù)都得0,所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整 數(shù)的

6、倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、整數(shù)A (AHO)的倍數(shù)有無數(shù)多個，弁且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，0, A,i2A,都是A的倍數(shù),例如5的倍數(shù)有 圻10,。4、整數(shù)A (AHO)的約數(shù)是有限個的，弁且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其 中必 包括土和土 A。例如6的約數(shù)是土，43,仕。5、通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾個正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最大的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)(例如15與28互質(zhì))。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)=除數(shù)X商數(shù)十余數(shù)。若用字母表示可記作：A =BQ+R,當A, B, Q, R都是整數(shù)且BHO時，A-R能被B整除。

7、例如23=3X7 + 2,貝U 23-2能被3整除。二、例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，弁統(tǒng)計其個數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應用：2, 22, 2 3, 32, 3 34,2 X 3,22 X 3,22 X 32。解：列表如下正 整 數(shù)正約數(shù)個數(shù) 計正 整 數(shù)正約數(shù)個 數(shù) 計正 整數(shù)正約數(shù)個 數(shù)計21, 2231, 322X31, 2,3, 64221, 2, 43321, 3, 3 廠322X31, 2,人4, 6, 12621, 2,4, 8433h 3,32, 3342八X3'1, 2, 3,4, 6, 9,12, 18, 369211, 2, 4,8, 1653'1,：人

8、33, 315其規(guī)律是：設 A=alb" (a, b是質(zhì)數(shù)？ m, n是正整數(shù))，那么合數(shù)A的正約數(shù)的個數(shù) 是 (m+1) (n+1)例如求360的正約數(shù)的個數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：360=23X32X5,360的正約數(shù)的個數(shù)是(3+1) X (2+1) X (1 + 1)=24 (個)例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求 24, 90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：V24=2 3X3, 90=2X3 2X5最大公約數(shù)是2X3，記作(24, 90) =6最小公倍數(shù)是23X32X5=360，記作24.901=360例3已知32, 44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2,求7解 ： ?.?322, 44-2都能被 N

9、整除，. N 是 30, 42的公約數(shù)?(30, 42) =6,而6的正約數(shù)有1, 2, 3, 6經(jīng)檢驗 1 和 2不合題意，.?.N=6, 3例 4 一個數(shù)被10 除余 9,被 9除余&被8除余 7,求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1,則能同時被10, 9, 8整除，所以所求的數(shù)是10, 9, 8的最小公倍數(shù)減去 1。解 : V 10,9,8=360,. ?. 所以所求的數(shù)是359練習二1 、 12的正約數(shù)有 ,16的所有約數(shù)是2、 分解質(zhì)因數(shù)300= ,300的正約數(shù)的個數(shù)是3、 用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20 和 250 的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4、 一個三位數(shù)能被

10、7, 9, 11 整除，這個三位數(shù)是5、 能同時被3, 5, 11 整除的最小四位數(shù)是, 最大三位數(shù)是6、 已知 14和 23各除以正整數(shù)A 有相同的余數(shù)2,則人=7、 寫出能被2 整除 . 且有約數(shù)5,又是 3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。8、一個長方形的房間長1? 35 丈，寬1.05丈，要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數(shù)寸作為邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？第 7頁 （ 共 65 頁 ）9、一條長階梯，如果每步跨2 階，那么最后剩1 階；如果每步跨3 階，那么最后剩2階；如果每步跨4階，那么最后剩3階；如果每步跨5階，那么最后剩4階； 如果每步跨 6階，那么最后

11、剩5階；只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？第三講質(zhì)數(shù)合數(shù)一、容提要1、 正整數(shù)的一種分類:1質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)的定義：如果一個大于I 的正整數(shù)，只能被1 和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)）。合數(shù)的定義：一個正整數(shù)除了能被1 和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。2、 根據(jù)質(zhì)數(shù)定義可知 質(zhì)數(shù)只有1 和本身兩個正約數(shù)。 質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)2。如果兩個質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個是2； 如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個是2。3、 任何合數(shù)都可以分解為幾個質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例 1 兩個質(zhì)數(shù)的和

12、等于奇數(shù)a 25） ,求這兩個數(shù)。解：?兩個質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)?必有一個是2所求的兩個質(zhì)數(shù)是2和 a-2o第 6 頁（共 65 頁）例2已知兩個整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m.求這兩個數(shù)。解：？. ？質(zhì)數(shù)m只含兩個正約數(shù)1和m,又 T ( 1)( -m) =m所求的兩個整數(shù)是1和m或者一 1和一 m.例3已知三個質(zhì)數(shù)a.b.c它們的積等于30,求適合條件的a,b,c的值。解：分解質(zhì)因數(shù): 30=2X3X5u 二二 2a =2a 二二 3a =3"=5a 二二 5適合條件的值共有：?b 二: 3、<b =5 , <b 二: 2, ?b =5 , <b = 2、b 二二 3二 5c

13、=3二 5c =2c = 3二 2c =c =c =應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為 4個質(zhì)數(shù)a.b.c.d它們的積等 于210，即abcd=2X3X5X7,那么適合條件的a, b, c, d值共有24組，試把它寫 出來。例4試寫出4個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。解：(本題答案不是唯一的)設N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即 N=2X3X5那么N+2, N+3, N+4, N+5就是適合條件的四個合數(shù)即32, 33, 34, 35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n個。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么 N+2,N+3, N+4,N4- (n+1)就是所求的合數(shù)。練習三1、小于1

14、00的質(zhì)數(shù)共一個，它們是2、已知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11,則P=_Q=3、已知兩個素數(shù)的差是 41,那么它們分別是4、如果兩個自然數(shù)的積等于19,那么這兩個數(shù)是 ;如果兩個整數(shù)的積等于 73,那么它們是；如果兩個質(zhì)數(shù)的積等于 15,則它們是。5、兩個質(zhì)數(shù) x 和 y,已知 xy=91，那么 x=,y=，或x= 一, y=.6、三個質(zhì)數(shù)a.b.c它們的積等于1990，那么=c = 7、能整除3" +領最小質(zhì)數(shù)是 A R8、已知兩個質(zhì)數(shù) A和B適合等式A+B=99, AB=1,求M及一十 一的值。B A9、試寫出6 個連續(xù)正整數(shù)，使它們個個都是合數(shù)。10、具備什么條件的最簡正分數(shù)可化為有

15、限小數(shù)？11. 求適合下列三個條件的最小整數(shù)：大于1沒有小于10的質(zhì)因數(shù) 不是質(zhì)數(shù)30 到 50 之間 ,12. 某質(zhì)數(shù)加上6 或減去 6 都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個質(zhì)數(shù)均在那么這個質(zhì)數(shù)是13. 個質(zhì)數(shù)加上10 或減去14 都仍是質(zhì)數(shù)，這個質(zhì)數(shù)是第四講零的特性一、容提要（一）零既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是介于正數(shù)和負數(shù)之間的唯一中性數(shù)。是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1、零是表示具有相反意義的量的基準數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高第9頁(共65頁)第 8 頁（共 65 頁）收支平衡可記作結(jié)存0 元。2、 零是判定正、負數(shù)的界限。若a >0則a是正數(shù)，反過來也成立，若 a是正數(shù)，則a&

16、gt;0記作a>0 O a是正數(shù) 讀彳a>0等價于a是正數(shù)b<0 O b 是負數(shù)cMO O c是非負數(shù)（即c不是負數(shù)，而是正數(shù)或 0）dWO O d是非正數(shù)（即d不是正數(shù)，而是負數(shù)或 0） e* 0 O e不是0 （即e不 是 0,而是負數(shù)或正數(shù)）3、 在一切非負數(shù)中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數(shù)都是非負數(shù)，它們的最小值都是0。記作：|a| 20，當a=0時，lai的值最小，是 0,a2>0, /有最小值0 （當a=0時）。4、 在一切非正數(shù)中有一個最大值是0。例如 一 |x|%當x=0時，一值最大，是0 （?.?尤工0時都是負數(shù)）。-（x-2尸WO,當x =2時

17、，一（x 2） 2的值最大，是0。（二） 零具有獨特的運算性質(zhì)1、 乘方：零的正整數(shù)次幕都是零。2、 除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0 沒有倒數(shù)，分數(shù)的分母不能是0。3、 乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即aX0=0,反過來，如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。要使等式xy=0 成立，必須且只需x=0 或 y=0o4、 加法：互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。反. 過來也成立。即 a、 b 互為相反數(shù)Oa+b=05、減法：兩個數(shù)a和b的大小關系可以用它們的差的正負來判定，若 a-b=0,則 a=b；若 a-b>0則 a>b；若 a-b<0,則 aVb。

18、反過來也成立，當 a=b時，a-b=0；當a>b時,a-b>0；當a<b時,a-b<0.（三） 在近似數(shù)中，當0 作為有效數(shù)字時，它表示不同的精確度。例如 近似數(shù) 1.6米與 1.60米不同，前者表示精確到0.1 米（即 1 分米），誤差不超過 5 厘米；后者表示精確到0.01 米（即 1 厘米），誤差不超過5亳米?？捎貌坏仁奖硎酒渲祰缦拢?.55 W 近似數(shù) 1. 6<1. 651. 595W 近似數(shù) 1. 60<1605二、例題例 1.兩個數(shù)相除，什么情況下商是1?是一1?第 9 頁（共 65 頁）答：兩個數(shù)相等且不是 0時，相除商是1;兩數(shù)互為相反數(shù)

19、且不是 0時，相除商 是一 1。例2.絕對值小于3的數(shù)有幾個？它們的和是多少？為什么？答：絕對值小于3的數(shù)有無數(shù)多個，它們的和是 0。因為絕對值小于3的數(shù)包括 大于 一3弁且小于3的所有數(shù)，它們都以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，而互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。例3?要使下列等式成立x. y應取什么值？為什么？ ?x ( y 1) =0, I x -3 I + ( y +2)' =0答：根據(jù)任何數(shù)乘以0者B得0,可知當x=0時，y可取任何數(shù);第 14頁 (共 65頁 )當y=l時,x取任何數(shù)等式x ( y 1) =0都是能成立。？互為相反數(shù)相加得零，而|乳一 3 I $0, (丁 +2)空0 ,它們

20、都必須是0,即兀- 3=0且y+2=0,故當x =3且y = 2時，等式I X -3 I + ( y 4-2) ' =0成立。練習四1、有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示：b0 a比較下列左邊各數(shù)與0的大小(用>、V、二號連接)2aa*ab0. -3b1 0.-ao.-b;0. a+b20.a 0.2 0.-b0? a -ba0,0.b一 b2、a表示有理數(shù)，下列四個式子，正確個數(shù)是幾個？答：0個，|t/|>a,a> aa>a,a+l>a3、x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：句。(x-2) $有最小值0,一 I x+3|有最大值0,2-x2有最大值

21、2,3+ I x-1 I有最小值3。4、絕對值小于5的有理數(shù)有幾個？它們的積等于多少？為什么？5.要使下列等式成立，字母 y應取什么值? =0, x(x-3) =0, 卜 -1| + (y + 3)2 =06、下列說確嗎？為什么？13a 的倒數(shù)是一方程(a-1) x=3 的解是兀= aa 1 n 表示一切自然數(shù)，2n l 表示所有的正奇數(shù) 如果a>b,那么m'a>m2b (a、b . m都是有理數(shù))7、x取什么值時，下列代數(shù)式的值是正數(shù)? x (x-1) 兀 (x+l) (x+2)( 的個位數(shù)一、容提要1. 整數(shù)a的正整數(shù)次幕an,它的個位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次輾的個位數(shù)字

22、相同。例如2002:,與 2?的個位數(shù)字都是8。2. 0, 1, 5, 6,的任何正整數(shù)次幕的個位數(shù)字都是它們本身。例如5的個位數(shù)是5, 620的個位數(shù)是6。3. 2, 3, 7的正整數(shù)次幕的個位數(shù)字的規(guī)律見下表指數(shù)12345678910底2248624862433971397139數(shù)77931793179其規(guī)律是：2的正整數(shù)次幕的個位數(shù)是按 2、4、8、6四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即 2啦與2*, 2吟2與22, 2中與2 ； 2"小與2'的個位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也 有類似的 性質(zhì)。4. 4, 8, 9的正整數(shù)次輾的個位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4=21 8=2&#

23、39;, 9=32轉(zhuǎn)化為以2、3為底的幕。5. 綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次幕的個位數(shù)有如下的一般規(guī)律： a*"與寸的個位數(shù)相同 （k,m都是正整數(shù)）。二、例題例1 2OO32003的個位數(shù)是多少？解：2OO32003與3日也的個位數(shù)是相同的，V2003=4X500+3,?產(chǎn)與3$的個位數(shù)是相同的,都是7,A2003的個位數(shù)是7。例2試說明63沁+147沁的和能被10整除的理由解：72000=4X500, 2002=4X500+2.?.632000與3'的個位數(shù)相同都是h 1472002與7,的個位數(shù)相同都是9,.?.6-200 + 1472002的和個位數(shù)是0, .?.63咖

24、+147沁的和能被10整除。例3 k取什么正整數(shù)值時，3k+2k是5的倍數(shù)？ 解：列表觀察個位數(shù)的規(guī)律k =12343的個位數(shù)39712的個位數(shù)24863k+2k的個位數(shù)55從表中可知，當k = l, 3時，3k+2k的個位數(shù)是5,?. ?與J*0的個位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）?.當k為任何奇數(shù)時，3k+2k是5的倍數(shù)。練習五1、在括號里填寫各麻的個位數(shù) （k是正整數(shù)）2 知的個位數(shù)（）330 的個位數(shù)（）7U， *的個位數(shù)是（）216X3H的個位數(shù)（）72k-32k的個位數(shù)是（）45的個位數(shù)（）87的個位數(shù)（）3" + 79的個位數(shù)（）321+721 的個位數(shù)（）7-_

25、6 咧的個位數(shù)（）77,OX33，5X222OX5525 的個位數(shù)是（2、目前知道的最大素數(shù)是22人L它的個位數(shù)是3、說明如下兩個數(shù)都能被10 整除的理由。 53* 一 33” 1987 侶一 1993 呻4、正整數(shù)m 取什么值時，3“ +1 10 的倍數(shù)？5. 設 n 正整數(shù)，試說明6、若的個位數(shù)5,若的個位數(shù)1,若J 的個位數(shù)6,2“ +嚴能被5 整除的理由。那么整數(shù)a的個位數(shù)是那么整數(shù)3 的個位數(shù)那么整數(shù)a 的個位數(shù)第 13頁（共 65 頁）若I的個位數(shù)是7,那么整數(shù)a的個位數(shù)是7、 12+22+32+3的個位數(shù)是，12+22+32+ .+19'的個位數(shù)是，12+22+32+ .

26、+29'的個位數(shù)是。8、 3,b,c是三個連續(xù)正整數(shù)，a2= 14884,C2= 15376，那么b是()(A) 15116, (B) 15129, (C) 15144, (D) 15321第六講數(shù)學符號一、容提要數(shù)學符號是表達數(shù)學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學符號一般可分為：1、元素符號：通常用小寫字母表示數(shù)，用大寫字母表示點，用。和表示圓和三角形等。2、關系符號：如等號，不等號，相似 s,全等今，平行，垂直，等。3、運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4、邏輯符號：略5、約定符號和輔助符號：例如我們約定

27、正整數(shù)a和b中如果a除以b的商的第15頁(共65頁)整數(shù)部分記作Z (-)，而它的余數(shù)記作R (-)，那么bX的最大整數(shù)，那么5.2Z ( ) =3,R (一)=1;又如設x表示不大于I=0, 3 = _3正確使用符號的關健是明確它所表示的意義(即定義)對題設中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具 到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確 定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。二、例題例1設Z表示不大于Z的最大整數(shù).<n>為正整數(shù)n除以3的余數(shù)計算:34? 07+ -2A -(13> +2004(14.7) +&l

28、t;34>2解：原式=4+ (-3) 1+0=0原式=<14> +例2求1987踴1的個位數(shù)I=2+0=2第15頁(共65頁) 說明1987晦_1993踴能被10整除的理由解：設N (x)表示整數(shù)x的個位數(shù) N (1987 屈")=N (7，x，97) =N (71)=1 TN ( 1987 隔)-N (1993 咧)=N (7txW41) N (3* xw+3) =N (71) -N (33) =7-7 =0? ? 1987嗣一 1993向能被io整除由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明了。例3定義一種符號的運算規(guī)則為：a*b=2a+b試計算：5*3(1*7) *

29、4解： 5*3=2X5+3=13 (1*7) *4= (2X1 + 7) 4=9*4=2X9+4=22 例 4 設 b=a(ab+7) ?求等式 3探*二2探(-8)中的x解：由題設可知：等式 3 孤乂二 2(-8)就是 3 (3x + 7) =2 (2X (-8) +7)A9x+21=-18練習六1、設Q<x表示有理數(shù)x的整數(shù)部分，那么 Q<2. 15>=Q<-12. 3>= , Q<0? 03>=, Q<->=2、設n表示不小于n的最小整數(shù)，那么4.3 =, -2.3= 2 =, 0. 3 + 0. 3 = o 3、設加表示不大于 m的

30、最大整數(shù) 若m=2則/?= 若n= -3. 5,貝U ”卜7<b<8則/?=.若一 IVyVO, M y= 若 若x =4.則Wx V 若 nAC<n+ 1 則c=4、正整數(shù)3和b中，設a除以b的商的整數(shù)部分記作 Z (-)余數(shù)記作bR(-), J的個位數(shù)記作n (J) ?寫出下列各數(shù)的結(jié)果：b33233O+Z (-)?R( )+R()=()n(1989麗尸5、設n!表示自然數(shù)由1到n的連乘枳，例如5! =1X2X3X4X5=120計算：120 3!5!3!(5 3)!a. b.6、設=I /a2仇:aib2 a2bi t 計算：Q3-1J2 4j107、定義一種符號#的運算

31、法則為a#b二匕絲，那么2a+ h 3#2 = 2#3 =(1#2) #3= (-3) # (1#0)=8、a,b都是正整數(shù)，設a十b表示從a起b個連續(xù)正整數(shù)的和。例如 2 十 3=2+3+4, 5十4 = 5+6+7 + 8已知x十5=2005，求x9、設 x 表示不大于x 數(shù)的最大整數(shù)且x = x x ,求 "+ 10、設冷表示不大于數(shù)3的最大整數(shù)，例如血=1, -V2 =-2,那么 3x+l =2x-i 的所有的根的和是 (1987年全國初中聯(lián)賽題)2第七講用字母表示數(shù)容提要和例題1、 、 用 字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關系簡明而普遍地表達出來，從具體的數(shù)字計算到用抽

32、象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。2、 用 字母表示數(shù)時，字母所取的值，應使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實際問題有意義。例如寫出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)解：當aHO時，a的倒數(shù)是，a 設 n 為整數(shù)，2n 可表示所有偶數(shù)。3、 命 題中的字母，一般要注明取值圍，在沒有說明的情況下，它表示所學過的數(shù)，并且能使題設有意義。例題 化簡： (I) I X -3 I (x<3) (2)1 x+5|解 : (l)Vx<3, Ax-3<0,/. I x 3 I = (x 3) = x+3當 x八-5 時，I x+5 I =x + 5,當X <-5時，|x+5|=-x-5(本題X

33、表示所有學過的數(shù))例 已知十位上的數(shù)是乳個位數(shù)是b,試寫出這個兩位數(shù)解：這個兩位數(shù)是10a+b( 本題字母a、 b 的取值是默認題設有意義，即a 表示1 到 9 的整數(shù)，b 表示0到 9的整數(shù) )4、 用 字母等式表示運算定律、性質(zhì)、法則. 公式時，一般左邊作為題設，所用的字母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對變形到右邊所增加的字母的取值加以說明。例如用字母表示：分數(shù)的基本性質(zhì)分數(shù)除法法則解：分數(shù)的基本性質(zhì)是-=（mHO）a ama a ma 作為左邊的分母不另說明aHO；八八=-x- （dAO） d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。 a c a d5、 用 字母等式表示運算定律、性質(zhì)、法

34、則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時字母取值圍有變化時應加說明。例如：乘法分配律，順用a（ b+c） =ab+ac, -（ 16 -24x ） =28171717 17 17逆用5a+5b=5（ a+b） ,6. 25X3. 14-5. 25X3. 14=3. 14（ 6. 25-5. 25） =3. 14Ss路程 S二速度 VX 時間 T, V 二（THO） , T- （YHO）6、 用 因果關系表示的性質(zhì)、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號法則如果 3>O, b>0,那么a+b>0,不可逆 絕對值性質(zhì) 如果a>0,那么|a|二a也不

35、可逆（若|a|二a則2八0）7、 有 規(guī)律的計算，?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果，或概括成公式。例 1 ： 正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個？不同的n 位數(shù)呢？解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999 減去最小五位數(shù)10000 前的所有正整數(shù)，即99999-9999二 90000?推廣到 n 位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù)，從1 到 9 共 9 個， 記作 9X1 二位正整數(shù)從10 到 99 共 90 個， 記作 9X10 三位正整數(shù)從100 到 999 共 900 個， 記作9X102 四位正整數(shù)從1000到 9999共 9000個，記作9X103（ 指數(shù) 3=4-1）位正整數(shù)共9X10"

36、個例2在線段 AB 上加了 3 個點C、 D. E 后，圖中共有幾條線段？加n 點呢 ? 解：以 A 為一端的線段有：以C為一端的線段有以D為一端的線段有以E為一端的線段有共有線段1+2+3+4=10AC. AD 、 AE. AB 共 4條（除 CA 外） CD、 CE. （除 DC. DA 外） DE、（除 ED、 EC、 EA 外）CB共 3 條DB共 2條EB 共 1 條 是從 1 加到 4,因此第 18 頁（共 65頁）如果是 n 個點，則共有線段 1+2+3+n+l= 1 + /? + 1 （n + l） =（/? + 1）"? + 2）條 22練習七1、右邊代數(shù)式中的字母

37、應取什么值？4s正方滬孑 3的倍數(shù)3nx-22、用子母表不：一切奇數(shù)；所有正偶數(shù)；一個三位數(shù) n個3相乘的結(jié)果； 負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。3.寫出：從1開始，n個自然數(shù)的和是從11開始到2n+l連續(xù)奇數(shù)的和（n>5） *m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數(shù)是 4、已知999二10一 1. 9999=10 -1,那么各位數(shù)都是 9的n位數(shù)999 - 95.計算 112=_, 111= _ , 111-12 =6、寫出圖中所有三角形弁計算其個數(shù),如果線 段上有個點呢？第八講抽屜原則一、容提要K 4個蘋果放進3個抽屜，有一不常嗡喝吉為:春一個抽屜放進的蘋果不少于第（MS9 邪）蟲6L2個（即等于或多

38、于2個）；如果7個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少于3個（即等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2、如果用<mn表示不小于1的最小整數(shù)，例如u n-1 = 2。那么抽屜3原則可定義為：m個元素分成n個集合（叭n為正整數(shù)m>n）,則至少有一個集合里元素不少于彳個。3、根據(jù)的定義,已知m、n可求則可求竺的圍，例如已知nk fIn已知才=2,則IV W2,即3VxW6, x有最小整數(shù)值4。3二、例題例1某校有學生2000人，問至少有幾個學生生日是同一天？分析：我們把2000名學生看作是蘋果，一年 365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m （2000）個元素，分成n

39、 （366）個集合，至少有一個集合的元素不少于2000366二6.2OOO=5JL.ofr ? ? u ?<366366答：至少有6名學生的生日是同一天例2從1到10這十個自然數(shù)中，任意取出 6個數(shù)，其中至少有兩個是倍數(shù)關系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為 5個集合，它們是：（1, 2, 4, 8, 3, 6, 5, 10, 7, 9。?.硬在5個集合里取出6個數(shù)，至少有兩個是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個數(shù)都是倍數(shù)關系。（本題的關鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種直（色的小球各6個，

40、請你從袋中取出一些球，要 求至少有3個顏色相同，那么至少應取出幾個才有保證。分析：我們可把4種球看成4個抽屜（4個集合），至少有3個球同顏色，看成是至 少 有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于 3個）。解：設至少應取出 X個，用-表示不小于，的最小整數(shù)，那么44- =3,.2< - W3,即 8Vx W12,最小整數(shù)值是 9o44答：至少要取出9個球，才能確保有三個同顏色。2個點它們的距離小于1,例4等邊三角形邊長為2,在這三角形部放入5個點，至少有 試說明理由。解：取等邊三角形各邊中點，弁連成四個小三角形，（如圖）它們邊長等于1,?介點放入4個三角形，?至少有2個點放在同一個三角

41、形，而同一個三角形的2個點之間的距離必小于邊長 1。練習八1、初一年新生從全縣17個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有 人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2、任取30個正整數(shù)分別除以7,那么它們的余數(shù)至少有 個是相同的。3、在20031中，指數(shù)m任意取10個正整數(shù)，那么這10個皋的個位數(shù)中相同的至少有 個.4、暗室里放有四種不同規(guī)格的襪子各 30只，為確保取出的襪子至少有 1雙（2只同規(guī)格為1雙），那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5、袋子里有黑、白球各一個，紅、藍、黃球各 6個，請你拿出一些球，要確保至少 有4個同顏色，那么最少要取幾個？6、任意取11個正整數(shù)，至少有兩個它們的差能被10整除，這是為什么？第21頁6

42、5 頁）第 20 頁（共 65 貞）7、右圖有3行9列的方格，若用紅.藍兩種顏色涂上，則至少有 2列的涂色方式是 一樣 的，試說明這是為什么。8、任意取3個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說明理由9、90粒糖果分給13個小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多,這是為什么？10. 11個互不相同的正整數(shù)，它們都小于 20,那么一定有兩個是互質(zhì)數(shù)。（最大公約數(shù)是 1 的兩個正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11、任意 6個人中，或者有3個人他們之間都互相認識，或者有3個人他們之間都互不相識，兩者必居其一，這是為什么？第九講一元一次方程解的討論一、容提要1 、 方程的解的定義：能使方程左

43、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x + 6=0t x（ x-l ） =0, x =6, 0x=0, 0x=2 的解分別是x=-3fx=0或 x=l, x= ±6,所有的數(shù)，無解。2、關于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當aHO 時，有唯一的解x-；當a=0且bHO時，無解；當a=0且b=O時，有無數(shù)多解。（?.杯論x取什么值，0x=0都成立）3、求方程ax=b（aO）的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當 a lb 時，方程有整數(shù)解；當a I b,且a、b同號時，方程有正整數(shù)解；當 a、 b 同號時，方程的解是正數(shù)

44、。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax=b二、例題第 31頁（共65 頁）例1 a取什么值時，方程a(a-2)x=4(a-2)有唯一的解？無解？ 有無數(shù)多解？是正數(shù)解？4解：當aHO且aH2時，方程有唯一的解，x- a 當a=0時，原方程就是0滸-8,無解； 當滬 2 時，原方程就是0x=0 有無數(shù)多解41 士可知當aHO且獰2時，方程的解是x 一，？ ？貝要a與4同號， a即當a0且a八2時，方程的解是正數(shù)。例 2 k 取什么整數(shù)值時，方程 k(x+l)=k-2 (x-2) 的解是整數(shù)？ (1-x) k=6 的解是負整數(shù)？解：化為最簡方程(k+2) x=4當 k+2 能整

45、除4,即 k+2=± l, 2±, ±4時，方程的解是整數(shù)k= 1, 3, 0, 4, 2, 6 時方程的解是整數(shù)。 化為最簡方程kx=k-6,_k-66當 kHO 時 x二一 =1-, kk只要k能整除6,即k=±l,在3, 6時，x就是整數(shù)當 k=l,2,3 時，方程的解是負整數(shù)一5, -2, 一 1。例3已知方程a(x-2)=b(x+l)-2a無解。問a和b應滿足什么關系？解：原方程化為最簡方程： (a-b)x=b?. ?方程無解，.懸一匕二0且bHOAa 和b 應滿足的關系是a=bHO。例 4 a、 b 取什么值時，方程( 3x-2) a+ (2

46、x-3) b=8x-7 有無數(shù)多解？解：原方程化為最簡方程： ( 3a+2b-8) x=2a+3b-7,根據(jù) 0x=0 時，方程有無數(shù)多解，可知 + %-8 = 0當時，原方程有無數(shù)多解。2a + 3b-7 = 0解這個方程組得V答：當滬2且b二1時，原方程有無數(shù)多解。練習九1、根據(jù)方程的解的定義，寫出下列方程的解: |x|二 9, |x|二一3.(x+1)二 0, ?x2=9, 3x+l 二 3x1. x+2=2+x2、關于x的方程ax=x+2無解，那么33、在方程a(a-3)x=a中，當a取值為一時，有唯一的解；當 a無解；當a 時，有無數(shù)多解；當a 時，解是負數(shù)。4、k取什么整數(shù)值時，下

47、列等式中的 x是整數(shù)？2P + 332k5、k取什么值時，方程x-k=6x的解是正數(shù)？是非負數(shù)？6、m取什么值時，方程3 (m+x)二加一 1的解 是零？是正數(shù)？ 第25頁(共65頁)7、已知方程寧+ U字的根是正數(shù)，那么冬 b應滿足什么關系？Y-/ 的解是整數(shù)?9、已知方程*2）一尹有無數(shù)多解，gb的值。第 #頁（共65 頁）第十講二元一次方程的整數(shù)解一、容提要1、二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by二c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b） |c則方程ax+by=c有整數(shù)解 顯然a,b互質(zhì)時一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=l.5x-2y=7?9

48、x+3y二6都有整數(shù)解。反過來也成立，方程 9x+3y=10和4x-2yR都沒有整數(shù)解，? （9, 3） =3,而3不能整除10;（4, 2） =2,而2不能整除1。 一般我們在正整數(shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。2、二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by二c有整數(shù)解，一般都有無數(shù)多個，常引入整數(shù)k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一：整除法：求方程 5x+lly二1的整數(shù)解設二二比伙是整數(shù)），則y=l-5k （2）,把（2）代入（1）得 x=k-2 （l-5k） = llk-2I ik 2.?源方程所有白整數(shù)解是；（k是整數(shù)）x = XQ+bk方法

49、二：公式法：設ax+by=c有整數(shù)解則通解是v（xo.yo可用觀察法）y = y0-ak3.求二元一次方程的正整數(shù)解： 求出整數(shù)解的通解，再解 x,y的不等式組，確定k值用觀察法直接寫出。二、例題例1求方程5x-9y=18整數(shù)解的通解解：牛叱 I + l （" + 3-y=3 + 2y + U 5553 ¥設'.=k （k為整數(shù)），y二3 一5k.代入得x二9一9kx = 9-9k?原方程整數(shù)解是v, （k為整數(shù)）卜=3-5斤第#頁（共65頁）又解：當x=o時，y=2,?歷程有一個整數(shù)解二2它的通解是“為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達方式不是唯一的o例2求方程5

50、x+6y=100的正整數(shù)解“100-6y v角區(qū):x= - - = 20 _ y _ g '設=k （k為整數(shù)），則y=5k, （2）把（2）代入（1）得 x=20-6k,b解不等式組V20 6 £05k>0得0 Vk卻，k的整數(shù)解是1, 2, 3,6x = 14 x = 8 x = 2?正整數(shù)解是 口J =5 '尸y = 15例3甲種書每本3元， 乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本?解：設甲種書買X本，乙種書買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38 （x,y都是正整數(shù)）Vx=l 時，y=7,<% = 1 + 5八（k為整數(shù)）?通珈正£ y = 1

51、 -3k1 + 5"得解集是一整數(shù) k二解不等式組？ 7 3?>05。，1, 23把k二0.1.2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解Vx = 1J=7）=6 fx = ll*y = 4 y = 1第37頁（共65頁）答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。練 習十1、求下列方程的整數(shù)解公式法：x+7y 二 4, 5x-lly=3 整除法：3x+10y=l,11 x+3y=42、求方程的正整數(shù)解： 5x+7y 二 87 5x+3y 二 1103、一根長10000 毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300亳米, 乙種毛坯長250米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？歲數(shù)。5. 下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個？答：4x+2y=l 1,10x-5y=70.18x-9y 二 9&4、兄弟三人，老大20 歲，老二年齡的2 倍與老三年齡的5 倍的和是97,求兄弟三人的（填編號） 9x+3y=l 11, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6、一試卷有20道選擇題，選對每題得 5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小 軍同學得 48 分，他最多得幾分？7、用觀察法寫出方程 3x+7y二1幾組整數(shù)解:y=14-21 -7y x=-= 3第十一講二元一次方程組解的討論、容提要1.二元一次方程組/&