南開中學初中數學競賽輔導資料

1、初中數學競賽輔導資料第一講數的整除一、容提要：如果整數A除以整數B （BHO）所得的商A/B是整數朝B么叫做A被B整除.被 所有非零的整數整除.一些數的整除特征除數能被整除的數的特征2或5末位數能被2或5整除4或25末兩位數能被4或25整除8 或 125末三位數能被8或125整除3或9各位上的數字和被 3或9整除（如771, 54324）11奇數位上的數字和與偶數位上的數和相減，其差能被11整除（如 143.1859,1287.908270 等）7,11,13從右向左每三位為一段，奇數段的各數和與偶數段的各數和相減?M差能被 7 或 11 或 13 整除.（如 1001, 22743, 175

2、67, 21281 等）能被7整除的數的特征：抹去個位數減去原個位數的2倍其差能被7整除。如1001100-2=98 （能被7整除）又如 7007700-14 = 686, 68-12 = 56 （能被 7 整除）能被11整除的數的特征：抹去個位數減去原個位數其差能被11整除如 1001 又 100-1=99 （能 11 整除）如 102851028-5=1023102-3 = 99 （能 11 整除）二、例題例1已知兩個三位數328和2x9的和仍是三位數5y7且能被9整除。求x.y 解：x.y都是0到9的整數，V5/7能被9整除，？汀二6?328+2x9 =567,x=3例2已知五位數123

3、4x能被12整除，求天解：？五位數能被12整除，必然同時能被3和4整除,當 l+2+3+4+x 能被 3 整除時，x=2, 5, 84x 能被 4 整除時，x=0, 4, 8?x=8例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位數解：五位數字都不相同的最小五位數是10234,但 （ 1+2+4） （ 0+3） =4,不能被 11 整除，只調整末位數仍不行調整末兩位數為30, 41, 52, 63,均可，五位數字都不相同的最小五位數是10263。練習一1、分解質因數：（寫成質因數為底的輾的連乘積）756 1859 1287 3276 10101 102962. 若四位數987"能

4、被 3整除，那么a=_3. 若五位數12x34 能被 11 整除，那么x =4. 當 時， 35/7/5 能被 25 整除5、當滬.時， 9610/2 能被 7 整除6、 能 被 11 整除的最小五位數是最大五位數是7、 能 被 4 整除的最大四位數是 ，能被 8整除的最大四位數是。8、8個數：125，756，1011，2457，7855，8104,9152，70972中，能被下列各數整除的有（填上編號）：6 , 8 .9 , 11 9、 從 1 到 100 這 100個自然數中，能同時被2和 3整除的共個，能被3整除但不是 5 的倍數的共個。10、 由 h 2, 3, 4, 5 這五個自然數

5、，任意調換位置而組成的五位數中，不能被3第 3頁（共65 頁）整除的數共有幾個？為什么？11、已知五位數1234 A 能被 15 整除 , 試求 A 的值。12、求能被9 整除且各位數字都不相同的最小五位數。13. 在十進制中，各位數碼是0或 1,并能被225整除的最小正整數是（ 1989年全國初中聯(lián)賽題）一、容提要1. 兩個整數八和B （ BHO） ,如果 B 能整除 A （記作 B I A） ,那么A 叫做 B 的倍第 3 頁（共 65 頁）數，B叫做A的約數。例如3 I 15, 15是3的倍數，3是15的約數。2、因為0除以非0的任何數都得0,所以0被非0整數整除。0是任何非0整 數的

6、倍數，非0整數都是0的約數。如0是7的倍數，7是0的約數。3、整數A (AHO)的倍數有無數多個，弁且以互為相反數成對出現，0, A,i2A,都是A的倍數,例如5的倍數有 圻10,。4、整數A (AHO)的約數是有限個的，弁且也是以互為相反數成對出現的，其 中必 包括土和土 A。例如6的約數是土，43,仕。5、通常我們在正整數集合里研究公倍數和公約數，幾個正整數有最小的公倍數和最大的公約數。6、公約數只有1的兩個正整數叫做互質數(例如15與28互質)。7、在有余數的除法中，被除數=除數X商數十余數。若用字母表示可記作：A =BQ+R,當A, B, Q, R都是整數且BHO時，A-R能被B整除。

7、例如23=3X7 + 2,貝U 23-2能被3整除。二、例題例1寫出下列各正整數的正約數，弁統(tǒng)計其個數，從中總結出規(guī)律加以應用：2, 22, 2 3, 32, 3 34,2 X 3,22 X 3,22 X 32。解：列表如下正 整 數正約數個數 計正 整 數正約數個 數 計正 整數正約數個 數計21, 2231, 322X31, 2,3, 64221, 2, 43321, 3, 3 廠322X31, 2,人4, 6, 12621, 2,4, 8433h 3,32, 3342八X3'1, 2, 3,4, 6, 9,12, 18, 369211, 2, 4,8, 1653'1,：人

8、33, 315其規(guī)律是：設 A=alb" (a, b是質數？ m, n是正整數)，那么合數A的正約數的個數 是 (m+1) (n+1)例如求360的正約數的個數解：分解質因數：360=23X32X5,360的正約數的個數是(3+1) X (2+1) X (1 + 1)=24 (個)例2用分解質因數的方法求 24, 90最大公約數和最小公倍數解：V24=2 3X3, 90=2X3 2X5最大公約數是2X3，記作(24, 90) =6最小公倍數是23X32X5=360，記作24.901=360例3已知32, 44除以正整數N有相同的余數2,求7解 ： ?.?322, 44-2都能被 N

9、整除，. N 是 30, 42的公約數?(30, 42) =6,而6的正約數有1, 2, 3, 6經檢驗 1 和 2不合題意，.?.N=6, 3例 4 一個數被10 除余 9,被 9除余&被8除余 7,求適合條件的最小正整數分析：依題意如果所求的數加上1,則能同時被10, 9, 8整除，所以所求的數是10, 9, 8的最小公倍數減去 1。解 : V 10,9,8=360,. ?. 所以所求的數是359練習二1 、 12的正約數有 ,16的所有約數是2、 分解質因數300= ,300的正約數的個數是3、 用分解質因數的方法求20 和 250 的最大公約數與最小公倍數。4、 一個三位數能被

10、7, 9, 11 整除，這個三位數是5、 能同時被3, 5, 11 整除的最小四位數是, 最大三位數是6、 已知 14和 23各除以正整數A 有相同的余數2,則人=7、 寫出能被2 整除 . 且有約數5,又是 3的倍數的所有兩位數。8、一個長方形的房間長1? 35 丈，寬1.05丈，要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以是幾寸？若用整數寸作為邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？第 7頁 （ 共 65 頁 ）9、一條長階梯，如果每步跨2 階，那么最后剩1 階；如果每步跨3 階，那么最后剩2階；如果每步跨4階，那么最后剩3階；如果每步跨5階，那么最后剩4階； 如果每步跨 6階，那么最后

11、剩5階；只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？第三講質數合數一、容提要1、 正整數的一種分類:1質數合數質數的定義：如果一個大于I 的正整數，只能被1 和它本身整除，那么這個正整數叫做質數（質數也稱素數）。合數的定義：一個正整數除了能被1 和本身整除外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫做合數。2、 根據質數定義可知 質數只有1 和本身兩個正約數。 質數中只有一個偶數2。如果兩個質數的和或差是奇數，那么其中必有一個是2； 如果兩個質數的積是偶數，那么其中也必有一個是2。3、 任何合數都可以分解為幾個質數的積。能寫成幾個質數的積的正整數就是合數。二、例題例 1 兩個質數的和

12、等于奇數a 25） ,求這兩個數。解：?兩個質數的和等于奇數?必有一個是2所求的兩個質數是2和 a-2o第 6 頁（共 65 頁）例2已知兩個整數的積等于質數m.求這兩個數。解：？. ？質數m只含兩個正約數1和m,又 T ( 1)( -m) =m所求的兩個整數是1和m或者一 1和一 m.例3已知三個質數a.b.c它們的積等于30,求適合條件的a,b,c的值。解：分解質因數: 30=2X3X5u 二二 2a =2a 二二 3a =3"=5a 二二 5適合條件的值共有：?b 二: 3、<b =5 , <b 二: 2, ?b =5 , <b = 2、b 二二 3二 5c

13、=3二 5c =2c = 3二 2c =c =c =應注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為 4個質數a.b.c.d它們的積等 于210，即abcd=2X3X5X7,那么適合條件的a, b, c, d值共有24組，試把它寫 出來。例4試寫出4個連續(xù)正整數，使它們個個都是合數。解：(本題答案不是唯一的)設N是不大于5的所有質數的積，即 N=2X3X5那么N+2, N+3, N+4, N+5就是適合條件的四個合數即32, 33, 34, 35就是所求的一組數。本題可推廣到n個。令N等于不大于n+1的所有質數的積，那么 N+2,N+3, N+4,N4- (n+1)就是所求的合數。練習三1、小于1

14、00的質數共一個，它們是2、已知質數P與奇數Q的和是11,則P=_Q=3、已知兩個素數的差是 41,那么它們分別是4、如果兩個自然數的積等于19,那么這兩個數是 ;如果兩個整數的積等于 73,那么它們是；如果兩個質數的積等于 15,則它們是。5、兩個質數 x 和 y,已知 xy=91，那么 x=,y=，或x= 一, y=.6、三個質數a.b.c它們的積等于1990，那么=c = 7、能整除3" +領最小質數是 A R8、已知兩個質數 A和B適合等式A+B=99, AB=1,求M及一十 一的值。B A9、試寫出6 個連續(xù)正整數，使它們個個都是合數。10、具備什么條件的最簡正分數可化為有

15、限小數？11. 求適合下列三個條件的最小整數：大于1沒有小于10的質因數 不是質數30 到 50 之間 ,12. 某質數加上6 或減去 6 都仍是質數，且這三個質數均在那么這個質數是13. 個質數加上10 或減去14 都仍是質數，這個質數是第四講零的特性一、容提要（一）零既不是正數也不是負數，是介于正數和負數之間的唯一中性數。是自然數，是整數，是偶數。1、零是表示具有相反意義的量的基準數。例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高第9頁(共65頁)第 8 頁（共 65 頁）收支平衡可記作結存0 元。2、 零是判定正、負數的界限。若a >0則a是正數，反過來也成立，若 a是正數，則a&

16、gt;0記作a>0 O a是正數 讀彳a>0等價于a是正數b<0 O b 是負數cMO O c是非負數（即c不是負數，而是正數或 0）dWO O d是非正數（即d不是正數，而是負數或 0） e* 0 O e不是0 （即e不 是 0,而是負數或正數）3、 在一切非負數中有一個最小值是0。例如絕對值、平方數都是非負數，它們的最小值都是0。記作：|a| 20，當a=0時，lai的值最小，是 0,a2>0, /有最小值0 （當a=0時）。4、 在一切非正數中有一個最大值是0。例如 一 |x|%當x=0時，一值最大，是0 （?.?尤工0時都是負數）。-（x-2尸WO,當x =2時

17、，一（x 2） 2的值最大，是0。（二） 零具有獨特的運算性質1、 乘方：零的正整數次幕都是零。2、 除法：零除以任何不等于零的數都得零；零不能作除數。從而推出，0 沒有倒數，分數的分母不能是0。3、 乘法：零乘以任何數都得零。即aX0=0,反過來，如果ab=0,那么a、b中至少有一個是0。要使等式xy=0 成立，必須且只需x=0 或 y=0o4、 加法：互為相反數的兩個數相加得零。反. 過來也成立。即 a、 b 互為相反數Oa+b=05、減法：兩個數a和b的大小關系可以用它們的差的正負來判定，若 a-b=0,則 a=b；若 a-b>0則 a>b；若 a-b<0,則 aVb。

18、反過來也成立，當 a=b時，a-b=0；當a>b時,a-b>0；當a<b時,a-b<0.（三） 在近似數中，當0 作為有效數字時，它表示不同的精確度。例如 近似數 1.6米與 1.60米不同，前者表示精確到0.1 米（即 1 分米），誤差不超過 5 厘米；后者表示精確到0.01 米（即 1 厘米），誤差不超過5亳米。可用不等式表示其值圍如下：1.55 W 近似數 1. 6<1. 651. 595W 近似數 1. 60<1605二、例題例 1.兩個數相除，什么情況下商是1?是一1?第 9 頁（共 65 頁）答：兩個數相等且不是 0時，相除商是1;兩數互為相反數

19、且不是 0時，相除商 是一 1。例2.絕對值小于3的數有幾個？它們的和是多少？為什么？答：絕對值小于3的數有無數多個，它們的和是 0。因為絕對值小于3的數包括 大于 一3弁且小于3的所有數，它們都以互為相反數成對出現，而互為相反數的兩個數相加得零。例3?要使下列等式成立x. y應取什么值？為什么？ ?x ( y 1) =0, I x -3 I + ( y +2)' =0答：根據任何數乘以0者B得0,可知當x=0時，y可取任何數;第 14頁 (共 65頁 )當y=l時,x取任何數等式x ( y 1) =0都是能成立。？互為相反數相加得零，而|乳一 3 I $0, (丁 +2)空0 ,它們

20、都必須是0,即兀- 3=0且y+2=0,故當x =3且y = 2時，等式I X -3 I + ( y 4-2) ' =0成立。練習四1、有理數a和b的大小如數軸所示：b0 a比較下列左邊各數與0的大小(用>、V、二號連接)2aa*ab0. -3b1 0.-ao.-b;0. a+b20.a 0.2 0.-b0? a -ba0,0.b一 b2、a表示有理數，下列四個式子，正確個數是幾個？答：0個，|t/|>a,a> aa>a,a+l>a3、x表示一切有理數，下面四句話中正確的共幾句？答：句。(x-2) $有最小值0,一 I x+3|有最大值0,2-x2有最大值

21、2,3+ I x-1 I有最小值3。4、絕對值小于5的有理數有幾個？它們的積等于多少？為什么？5.要使下列等式成立，字母 y應取什么值? =0, x(x-3) =0, 卜 -1| + (y + 3)2 =06、下列說確嗎？為什么？13a 的倒數是一方程(a-1) x=3 的解是兀= aa 1 n 表示一切自然數，2n l 表示所有的正奇數 如果a>b,那么m'a>m2b (a、b . m都是有理數)7、x取什么值時，下列代數式的值是正數? x (x-1) 兀 (x+l) (x+2)( 的個位數一、容提要1. 整數a的正整數次幕an,它的個位數字與a的末位數的n次輾的個位數字

22、相同。例如2002:,與 2?的個位數字都是8。2. 0, 1, 5, 6,的任何正整數次幕的個位數字都是它們本身。例如5的個位數是5, 620的個位數是6。3. 2, 3, 7的正整數次幕的個位數字的規(guī)律見下表指數12345678910底2248624862433971397139數77931793179其規(guī)律是：2的正整數次幕的個位數是按 2、4、8、6四個數字循環(huán)出現，即 2啦與2*, 2吟2與22, 2中與2 ； 2"小與2'的個位數是相同的（K是正整數）。3和7也 有類似的 性質。4. 4, 8, 9的正整數次輾的個位數，可仿照上述方法，也可以用4=21 8=2&#

23、39;, 9=32轉化為以2、3為底的幕。5. 綜上所述，整數a的正整數次幕的個位數有如下的一般規(guī)律： a*"與寸的個位數相同 （k,m都是正整數）。二、例題例1 2OO32003的個位數是多少？解：2OO32003與3日也的個位數是相同的，V2003=4X500+3,?產與3$的個位數是相同的,都是7,A2003的個位數是7。例2試說明63沁+147沁的和能被10整除的理由解：72000=4X500, 2002=4X500+2.?.632000與3'的個位數相同都是h 1472002與7,的個位數相同都是9,.?.6-200 + 1472002的和個位數是0, .?.63咖

24、+147沁的和能被10整除。例3 k取什么正整數值時，3k+2k是5的倍數？ 解：列表觀察個位數的規(guī)律k =12343的個位數39712的個位數24863k+2k的個位數55從表中可知，當k = l, 3時，3k+2k的個位數是5,?. ?與J*0的個位數相同（m,n都是正整數，a是整數）?.當k為任何奇數時，3k+2k是5的倍數。練習五1、在括號里填寫各麻的個位數 （k是正整數）2 知的個位數（）330 的個位數（）7U， *的個位數是（）216X3H的個位數（）72k-32k的個位數是（）45的個位數（）87的個位數（）3" + 79的個位數（）321+721 的個位數（）7-_

25、6 咧的個位數（）77,OX33，5X222OX5525 的個位數是（2、目前知道的最大素數是22人L它的個位數是3、說明如下兩個數都能被10 整除的理由。 53* 一 33” 1987 侶一 1993 呻4、正整數m 取什么值時，3“ +1 10 的倍數？5. 設 n 正整數，試說明6、若的個位數5,若的個位數1,若J 的個位數6,2“ +嚴能被5 整除的理由。那么整數a的個位數是那么整數3 的個位數那么整數a 的個位數第 13頁（共 65 頁）若I的個位數是7,那么整數a的個位數是7、 12+22+32+3的個位數是，12+22+32+ .+19'的個位數是，12+22+32+ .

26、+29'的個位數是。8、 3,b,c是三個連續(xù)正整數，a2= 14884,C2= 15376，那么b是()(A) 15116, (B) 15129, (C) 15144, (D) 15321第六講數學符號一、容提要數學符號是表達數學語言的特殊文字。每一個符號都有確定的意義，即當我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數學符號一般可分為：1、元素符號：通常用小寫字母表示數，用大寫字母表示點，用。和表示圓和三角形等。2、關系符號：如等號，不等號，相似 s,全等今，平行，垂直，等。3、運算符號：如加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等。4、邏輯符號：略5、約定符號和輔助符號：例如我們約定

27、正整數a和b中如果a除以b的商的第15頁(共65頁)整數部分記作Z (-)，而它的余數記作R (-)，那么bX的最大整數，那么5.2Z ( ) =3,R (一)=1;又如設x表示不大于I=0, 3 = _3正確使用符號的關健是明確它所表示的意義(即定義)對題設中臨時約定的符號，一定要扣緊定義，由簡到繁，由淺入深，由具 到抽象，逐步加深理解。在解題過程中為了簡明表述，需要臨時引用輔助符號時，必須先作出明確 定義，所用符號不要與常規(guī)符號混淆。二、例題例1設Z表示不大于Z的最大整數.<n>為正整數n除以3的余數計算:34? 07+ -2A -(13> +2004(14.7) +&l

28、t;34>2解：原式=4+ (-3) 1+0=0原式=<14> +例2求1987踴1的個位數I=2+0=2第15頁(共65頁) 說明1987晦_1993踴能被10整除的理由解：設N (x)表示整數x的個位數 N (1987 屈")=N (7，x，97) =N (71)=1 TN ( 1987 隔)-N (1993 咧)=N (7txW41) N (3* xw+3) =N (71) -N (33) =7-7 =0? ? 1987嗣一 1993向能被io整除由于引入輔助符號，解答問題顯得簡要明了。例3定義一種符號的運算規(guī)則為：a*b=2a+b試計算：5*3(1*7) *

29、4解： 5*3=2X5+3=13 (1*7) *4= (2X1 + 7) 4=9*4=2X9+4=22 例 4 設 b=a(ab+7) ?求等式 3探*二2探(-8)中的x解：由題設可知：等式 3 孤乂二 2(-8)就是 3 (3x + 7) =2 (2X (-8) +7)A9x+21=-18練習六1、設Q<x表示有理數x的整數部分，那么 Q<2. 15>=Q<-12. 3>= , Q<0? 03>=, Q<->=2、設n表示不小于n的最小整數，那么4.3 =, -2.3= 2 =, 0. 3 + 0. 3 = o 3、設加表示不大于 m的

30、最大整數 若m=2則/?= 若n= -3. 5,貝U ”卜7<b<8則/?=.若一 IVyVO, M y= 若 若x =4.則Wx V 若 nAC<n+ 1 則c=4、正整數3和b中，設a除以b的商的整數部分記作 Z (-)余數記作bR(-), J的個位數記作n (J) ?寫出下列各數的結果：b33233O+Z (-)?R( )+R()=()n(1989麗尸5、設n!表示自然數由1到n的連乘枳，例如5! =1X2X3X4X5=120計算：120 3!5!3!(5 3)!a. b.6、設=I /a2仇:aib2 a2bi t 計算：Q3-1J2 4j107、定義一種符號#的運算

31、法則為a#b二匕絲，那么2a+ h 3#2 = 2#3 =(1#2) #3= (-3) # (1#0)=8、a,b都是正整數，設a十b表示從a起b個連續(xù)正整數的和。例如 2 十 3=2+3+4, 5十4 = 5+6+7 + 8已知x十5=2005，求x9、設 x 表示不大于x 數的最大整數且x = x x ,求 "+ 10、設冷表示不大于數3的最大整數，例如血=1, -V2 =-2,那么 3x+l =2x-i 的所有的根的和是 (1987年全國初中聯(lián)賽題)2第七講用字母表示數容提要和例題1、 、 用 字母表示數最明顯的好處是能把數量間的關系簡明而普遍地表達出來，從具體的數字計算到用抽

32、象的字母概括運算規(guī)律上，是一種飛躍。2、 用 字母表示數時，字母所取的值，應使代數式有意義，并使它所表示的實際問題有意義。例如寫出數a的倒數用字母表示一切偶數解：當aHO時，a的倒數是，a 設 n 為整數，2n 可表示所有偶數。3、 命 題中的字母，一般要注明取值圍，在沒有說明的情況下，它表示所學過的數，并且能使題設有意義。例題 化簡： (I) I X -3 I (x<3) (2)1 x+5|解 : (l)Vx<3, Ax-3<0,/. I x 3 I = (x 3) = x+3當 x八-5 時，I x+5 I =x + 5,當X <-5時，|x+5|=-x-5(本題X

33、表示所有學過的數)例 已知十位上的數是乳個位數是b,試寫出這個兩位數解：這個兩位數是10a+b( 本題字母a、 b 的取值是默認題設有意義，即a 表示1 到 9 的整數，b 表示0到 9的整數 )4、 用 字母等式表示運算定律、性質、法則. 公式時，一般左邊作為題設，所用的字母是使左邊代數式有意義的，所以只對變形到右邊所增加的字母的取值加以說明。例如用字母表示：分數的基本性質分數除法法則解：分數的基本性質是-=（mHO）a ama a ma 作為左邊的分母不另說明aHO；八八=-x- （dAO） d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說明。 a c a d5、 用 字母等式表示運算定律、性質、法

34、則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時字母取值圍有變化時應加說明。例如：乘法分配律，順用a（ b+c） =ab+ac, -（ 16 -24x ） =28171717 17 17逆用5a+5b=5（ a+b） ,6. 25X3. 14-5. 25X3. 14=3. 14（ 6. 25-5. 25） =3. 14Ss路程 S二速度 VX 時間 T, V 二（THO） , T- （YHO）6、 用 因果關系表示的性質、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號法則如果 3>O, b>0,那么a+b>0,不可逆 絕對值性質 如果a>0,那么|a|二a也不

35、可逆（若|a|二a則2八0）7、 有 規(guī)律的計算，常可用字母表示其結果，或概括成公式。例 1 ： 正整數中不同的五位數共有幾個？不同的n 位數呢？解：不同的五位數可從最大五位數99999 減去最小五位數10000 前的所有正整數，即99999-9999二 90000?推廣到 n 位正整數，則要觀察其規(guī)律一位正整數，從1 到 9 共 9 個， 記作 9X1 二位正整數從10 到 99 共 90 個， 記作 9X10 三位正整數從100 到 999 共 900 個， 記作9X102 四位正整數從1000到 9999共 9000個，記作9X103（ 指數 3=4-1）位正整數共9X10"

36、個例2在線段 AB 上加了 3 個點C、 D. E 后，圖中共有幾條線段？加n 點呢 ? 解：以 A 為一端的線段有：以C為一端的線段有以D為一端的線段有以E為一端的線段有共有線段1+2+3+4=10AC. AD 、 AE. AB 共 4條（除 CA 外） CD、 CE. （除 DC. DA 外） DE、（除 ED、 EC、 EA 外）CB共 3 條DB共 2條EB 共 1 條 是從 1 加到 4,因此第 18 頁（共 65頁）如果是 n 個點，則共有線段 1+2+3+n+l= 1 + /? + 1 （n + l） =（/? + 1）"? + 2）條 22練習七1、右邊代數式中的字母

37、應取什么值？4s正方滬孑 3的倍數3nx-22、用子母表不：一切奇數；所有正偶數；一個三位數 n個3相乘的結果； 負數的絕對值是它的相反數。3.寫出：從1開始，n個自然數的和是從11開始到2n+l連續(xù)奇數的和（n>5） *m個球隊進行單循環(huán)賽所需場數是 4、已知999二10一 1. 9999=10 -1,那么各位數都是 9的n位數999 - 95.計算 112=_, 111= _ , 111-12 =6、寫出圖中所有三角形弁計算其個數,如果線 段上有個點呢？第八講抽屜原則一、容提要K 4個蘋果放進3個抽屜，有一不常嗡喝吉為:春一個抽屜放進的蘋果不少于第（MS9 邪）蟲6L2個（即等于或多

38、于2個）；如果7個蘋果放進3個抽屜，那么至少有一個抽屜放進的蘋果不少于3個（即等于或多于3個），這就是抽屜原則的例子。2、如果用<mn表示不小于1的最小整數，例如u n-1 = 2。那么抽屜3原則可定義為：m個元素分成n個集合（叭n為正整數m>n）,則至少有一個集合里元素不少于彳個。3、根據的定義,已知m、n可求則可求竺的圍，例如已知nk fIn已知才=2,則IV W2,即3VxW6, x有最小整數值4。3二、例題例1某校有學生2000人，問至少有幾個學生生日是同一天？分析：我們把2000名學生看作是蘋果，一年 365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m （2000）個元素，分成n

39、 （366）個集合，至少有一個集合的元素不少于2000366二6.2OOO=5JL.ofr ? ? u ?<366366答：至少有6名學生的生日是同一天例2從1到10這十個自然數中，任意取出 6個數，其中至少有兩個是倍數關系，試說明這是為什么。解：我們把1到10的奇數及它們的倍數放在同一集合里，則可分為 5個集合，它們是：（1, 2, 4, 8, 3, 6, 5, 10, 7, 9。?.硬在5個集合里取出6個數，至少有兩個是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個數都是倍數關系。（本題的關鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種直（色的小球各6個，

40、請你從袋中取出一些球，要 求至少有3個顏色相同，那么至少應取出幾個才有保證。分析：我們可把4種球看成4個抽屜（4個集合），至少有3個球同顏色，看成是至 少 有一個抽屜不少于3個（有一個集合元素不少于 3個）。解：設至少應取出 X個，用-表示不小于，的最小整數，那么44- =3,.2< - W3,即 8Vx W12,最小整數值是 9o44答：至少要取出9個球，才能確保有三個同顏色。2個點它們的距離小于1,例4等邊三角形邊長為2,在這三角形部放入5個點，至少有 試說明理由。解：取等邊三角形各邊中點，弁連成四個小三角形，（如圖）它們邊長等于1,?介點放入4個三角形，?至少有2個點放在同一個三角

41、形，而同一個三角形的2個點之間的距離必小于邊長 1。練習八1、初一年新生從全縣17個鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有 人來自同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2、任取30個正整數分別除以7,那么它們的余數至少有 個是相同的。3、在20031中，指數m任意取10個正整數，那么這10個皋的個位數中相同的至少有 個.4、暗室里放有四種不同規(guī)格的襪子各 30只，為確保取出的襪子至少有 1雙（2只同規(guī)格為1雙），那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5、袋子里有黑、白球各一個，紅、藍、黃球各 6個，請你拿出一些球，要確保至少 有4個同顏色，那么最少要取幾個？6、任意取11個正整數，至少有兩個它們的差能被10整除，這是為什么？第21頁6

42、5 頁）第 20 頁（共 65 貞）7、右圖有3行9列的方格，若用紅.藍兩種顏色涂上，則至少有 2列的涂色方式是 一樣 的，試說明這是為什么。8、任意取3個正整數，其中必有兩個數它們的平均數也是正整數。試說明理由9、90粒糖果分給13個小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多,這是為什么？10. 11個互不相同的正整數，它們都小于 20,那么一定有兩個是互質數。（最大公約數是 1 的兩個正整數叫互質數）11、任意 6個人中，或者有3個人他們之間都互相認識，或者有3個人他們之間都互不相識，兩者必居其一，這是為什么？第九講一元一次方程解的討論一、容提要1 、 方程的解的定義：能使方程左

43、右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x + 6=0t x（ x-l ） =0, x =6, 0x=0, 0x=2 的解分別是x=-3fx=0或 x=l, x= ±6,所有的數，無解。2、關于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡方程ax=b后，討論它的解：當aHO 時，有唯一的解x-；當a=0且bHO時，無解；當a=0且b=O時，有無數多解。（?.杯論x取什么值，0x=0都成立）3、求方程ax=b（aO）的整數解、正整數解、正數解當 a lb 時，方程有整數解；當a I b,且a、b同號時，方程有正整數解；當 a、 b 同號時，方程的解是正數

44、。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應先化為最簡方程ax=b二、例題第 31頁（共65 頁）例1 a取什么值時，方程a(a-2)x=4(a-2)有唯一的解？無解？ 有無數多解？是正數解？4解：當aHO且aH2時，方程有唯一的解，x- a 當a=0時，原方程就是0滸-8,無解； 當滬 2 時，原方程就是0x=0 有無數多解41 士可知當aHO且獰2時，方程的解是x 一，？ ？貝要a與4同號， a即當a0且a八2時，方程的解是正數。例 2 k 取什么整數值時，方程 k(x+l)=k-2 (x-2) 的解是整數？ (1-x) k=6 的解是負整數？解：化為最簡方程(k+2) x=4當 k+2 能整

45、除4,即 k+2=± l, 2±, ±4時，方程的解是整數k= 1, 3, 0, 4, 2, 6 時方程的解是整數。 化為最簡方程kx=k-6,_k-66當 kHO 時 x二一 =1-, kk只要k能整除6,即k=±l,在3, 6時，x就是整數當 k=l,2,3 時，方程的解是負整數一5, -2, 一 1。例3已知方程a(x-2)=b(x+l)-2a無解。問a和b應滿足什么關系？解：原方程化為最簡方程： (a-b)x=b?. ?方程無解，.懸一匕二0且bHOAa 和b 應滿足的關系是a=bHO。例 4 a、 b 取什么值時，方程( 3x-2) a+ (2

46、x-3) b=8x-7 有無數多解？解：原方程化為最簡方程： ( 3a+2b-8) x=2a+3b-7,根據 0x=0 時，方程有無數多解，可知 + %-8 = 0當時，原方程有無數多解。2a + 3b-7 = 0解這個方程組得V答：當滬2且b二1時，原方程有無數多解。練習九1、根據方程的解的定義，寫出下列方程的解: |x|二 9, |x|二一3.(x+1)二 0, ?x2=9, 3x+l 二 3x1. x+2=2+x2、關于x的方程ax=x+2無解，那么33、在方程a(a-3)x=a中，當a取值為一時，有唯一的解；當 a無解；當a 時，有無數多解；當a 時，解是負數。4、k取什么整數值時，下

47、列等式中的 x是整數？2P + 332k5、k取什么值時，方程x-k=6x的解是正數？是非負數？6、m取什么值時，方程3 (m+x)二加一 1的解 是零？是正數？ 第25頁(共65頁)7、已知方程寧+ U字的根是正數，那么冬 b應滿足什么關系？Y-/ 的解是整數?9、已知方程*2）一尹有無數多解，gb的值。第 #頁（共65 頁）第十講二元一次方程的整數解一、容提要1、二元一次方程整數解存在的條件：在整系數方程ax+by二c中，若a,b的最大公約數能整除c,則方程有整數解。即如果（a,b） |c則方程ax+by=c有整數解 顯然a,b互質時一定有整數解。例如方程3x+5y=l.5x-2y=7?9

48、x+3y二6都有整數解。反過來也成立，方程 9x+3y=10和4x-2yR都沒有整數解，? （9, 3） =3,而3不能整除10;（4, 2） =2,而2不能整除1。 一般我們在正整數集合里研究公約數，（a,b）中的a,b實為它們的絕對值。2、二元一次方程整數解的求法：若方程ax+by二c有整數解，一般都有無數多個，常引入整數k來表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數。方法一：整除法：求方程 5x+lly二1的整數解設二二比伙是整數），則y=l-5k （2）,把（2）代入（1）得 x=k-2 （l-5k） = llk-2I ik 2.?源方程所有白整數解是；（k是整數）x = XQ+bk方法

49、二：公式法：設ax+by=c有整數解則通解是v（xo.yo可用觀察法）y = y0-ak3.求二元一次方程的正整數解： 求出整數解的通解，再解 x,y的不等式組，確定k值用觀察法直接寫出。二、例題例1求方程5x-9y=18整數解的通解解：牛叱 I + l （" + 3-y=3 + 2y + U 5553 ¥設'.=k （k為整數），y二3 一5k.代入得x二9一9kx = 9-9k?原方程整數解是v, （k為整數）卜=3-5斤第#頁（共65頁）又解：當x=o時，y=2,?歷程有一個整數解二2它的通解是“為整數）從以上可知整數解的通解的表達方式不是唯一的o例2求方程5

50、x+6y=100的正整數解“100-6y v角區(qū):x= - - = 20 _ y _ g '設=k （k為整數），則y=5k, （2）把（2）代入（1）得 x=20-6k,b解不等式組V20 6 £05k>0得0 Vk卻，k的整數解是1, 2, 3,6x = 14 x = 8 x = 2?正整數解是 口J =5 '尸y = 15例3甲種書每本3元， 乙種書每本5元，38元可買兩種書各幾本?解：設甲種書買X本，乙種書買y本，根據題意得3x+5y=38 （x,y都是正整數）Vx=l 時，y=7,<% = 1 + 5八（k為整數）?通珈正£ y = 1

51、 -3k1 + 5"得解集是一整數 k二解不等式組？ 7 3?>05。，1, 23把k二0.1.2代入通解，得原方程所有的正整數解Vx = 1J=7）=6 fx = ll*y = 4 y = 1第37頁（共65頁）答：甲、乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本。練 習十1、求下列方程的整數解公式法：x+7y 二 4, 5x-lly=3 整除法：3x+10y=l,11 x+3y=42、求方程的正整數解： 5x+7y 二 87 5x+3y 二 1103、一根長10000 毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長300亳米, 乙種毛坯長250米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？歲數。5. 下列方程中沒有整數解的是哪幾個？答：4x+2y=l 1,10x-5y=70.18x-9y 二 9&4、兄弟三人，老大20 歲，老二年齡的2 倍與老三年齡的5 倍的和是97,求兄弟三人的（填編號） 9x+3y=l 11, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6、一試卷有20道選擇題，選對每題得 5分，選錯每題反扣2分，不答得0分，小 軍同學得 48 分，他最多得幾分？7、用觀察法寫出方程 3x+7y二1幾組整數解:y=14-21 -7y x=-= 3第十一講二元一次方程組解的討論、容提要1.二元一次方程組/&