高中數(shù)學(xué)教程雙曲線的幾何性質(zhì)Word版

1、高中數(shù)學(xué)教程雙曲線的幾何性質(zhì)（1）目標(biāo)：1能用對比的方法分析雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質(zhì)，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中的幾何意義；4能根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，確定雙曲線的方程并解決簡單問題。重、難點：雙曲線的范圍、對稱性、頂點和漸近線。 （一）復(fù)習(xí)：1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程； 2橢圓的性質(zhì)；（二）新課講解：以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為例進(jìn)行說明。1范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線 的外側(cè)。注意：從雙曲線的方程如何驗證？從標(biāo)準(zhǔn)方程可知，由此雙曲線上點的坐標(biāo)都適合不等式即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。2對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)

2、軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。在作圖時，我們常常把虛軸的兩個端點畫上（為要確定漸進(jìn)線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點。4漸

3、近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。在初中學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時提到x軸y軸都是它的漸近線。高中三角函數(shù)，漸近線是。所謂漸近，既是無限接近但永不相交。那么如何證明這個無限接近但永不相交？思考：從哪個量上反映“無限接近但永不相交”？距離。只要證明什么？距離趨向于0.下面證明，取第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明。（見課本）求法：求已知雙曲線的漸近線方程：令右端的1為0，解出的直線方程即為雙曲線的漸近線方程。5等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 定義式：2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸

4、近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： 當(dāng)時交點在軸，當(dāng)時焦點在軸上。6注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。通過分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。1）性質(zhì)：共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。2）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？將1變?yōu)椤?）共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有

5、什么樣的特征？可設(shè)為，當(dāng)時交點在x軸，當(dāng)時焦點在y軸上。4）與雙曲線有同一對漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為，當(dāng)時交點在x軸，當(dāng)時焦點在y軸上。（三）例題分析：例1求雙曲線的實半軸和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、漸近線方程。解：把方程化標(biāo)準(zhǔn)方程：，由此可知，實半軸長，虛半軸長；，焦點的坐標(biāo)是漸近線方程為，即。例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如左圖），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到）。解：如圖（右圖），建立坐標(biāo)系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合；這時，上、下口的直徑平行于軸，且，；設(shè)曲線的方程為：令點的坐標(biāo)為，則

6、點的坐標(biāo)為，因為點在雙曲線上，所以 化簡，得 解得所求雙曲線的方程為：。例3求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。解：與雙曲線有共同漸近線故設(shè)所求雙曲線的方程為又過點 所求雙曲線的方程為即。補充：求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。2課題：雙曲線的幾何性質(zhì)（2）目標(biāo)：1. 鞏固雙曲線的幾何性質(zhì)；2. 能熟練地利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。重、難點：幾何性質(zhì)的運用。教程：（一）復(fù)習(xí)：1雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍；對稱性；頂點；漸近線；離心率。2練習(xí)：雙曲線的實軸長等于 ，虛軸長等于 ，頂點坐標(biāo)為 ， 焦點坐標(biāo)為 ，漸近線方程為 ，離心率等于 （若方程改為呢？）（二）新課講解：

7、例1求證：雙曲線（）與雙曲線有共同的漸近線。解：若，則雙曲線方程可化為，漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同；若，則雙曲線方程可化為，漸近線方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同，所以，原命題結(jié)論成立。說明：與雙曲線（）有共同漸近線的所有雙曲線方程為（）【練習(xí)】與雙曲線有共同的漸近線且經(jīng)過點的雙曲線方程是例2求中心在原點，一條漸近線方程為，且一焦點為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（方法一）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線準(zhǔn)線方程為， 又焦點，由得。雙曲線方程為：。方法二：由題意，可以設(shè)雙曲線方程為：焦點為， ， ，雙曲線方程為：。例3已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為12

8、，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由題意，可以設(shè)雙曲線方程為當(dāng)時，；當(dāng)時，。所求雙曲線方程為：或。五小結(jié)： 用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程。補充：1已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點，（1）求雙曲線方程；（2）若點在雙曲線上，求證：；（3）求的面積。3課題：雙曲線的幾何性質(zhì)（3）目標(biāo)：1能熟記雙曲線的離心率、明確的幾何意義；2知道雙曲線的另一定義和準(zhǔn)線的概念，能正確寫出雙曲線的準(zhǔn)線方程。重、難點：雙曲線的離心率和雙曲線的第二定義。 教程：（一）復(fù)習(xí)：雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實軸、虛軸、漸近線。（二）新課講解：1離心率：1）概念：雙曲線焦距與實軸長之比；2）定義式：；3）范圍：；4

9、）考察雙曲線形狀與的關(guān)系：，因此越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。2雙曲線的第二定義：例1點與定點的距離與到的距離之比為常數(shù)，求的軌跡方程。解：設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求點軌跡是集合 由此得：化簡得：.設(shè)，就可化為：這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點的軌跡是實軸長、虛軸長分別為的雙曲線。說明：此例題要求學(xué)生進(jìn)一步熟悉并熟練掌握求解曲線軌跡方程的一般步驟。雙曲線的第二定義：平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線。說明：1）其中定點焦點，定直線準(zhǔn)線。對于來說，相對于左焦點對應(yīng)著左準(zhǔn)線

10、相對于右焦點對應(yīng)著右準(zhǔn)線對于來說，相對于下焦點對應(yīng)著下準(zhǔn)線 相對于上焦點對應(yīng)著上準(zhǔn)線2）位置關(guān)系：3）焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離：練習(xí)：已知雙曲線上一點到其右焦點距離為8，求其到左準(zhǔn)線的距離。（答案：）3例題分析：例2雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，一條準(zhǔn)線方程為，求雙曲線的方程。解：設(shè)雙曲線的方程為，由題意得 解得，雙曲線的方程為。例3雙曲線的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，兩準(zhǔn)線間的距離為4，且經(jīng)過,求雙曲線的方程。解：若焦點在軸上，則雙曲線的方程設(shè)為，由已知，有 ，代入，整理得， 或，或，雙曲線的方程為或，若焦點在軸上，則設(shè)雙曲線的方程為，由已知，得 ，代入得，此方程無實數(shù)解。雙曲線的方程為或。說明：當(dāng)雙曲線的焦點位置不定時，必須進(jìn)行分類討論。五課堂小結(jié)：方 程（）（）圖 象關(guān) 系范 圍頂 點對 稱 性關(guān)于軸成軸對稱、關(guān)于原點成中心對稱漸 近 線離 心 率焦 點準(zhǔn) 線補充：1求符合下列條件