上海市徐匯區(qū)2015高二上期末數(shù)學(xué)試卷解析版副本

1、9 .在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB=3 ,BD=1 ,則 ABAE =10 .已知Fi、F2是雙曲線C：,=1 (a0, b0)的兩個焦點,P是雙曲線C上一2015-2016學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題滿分 36分)本大題共12小題，每個空格填對得 3分，否則一律得0 分.1 .直線3x-4y - 5=0的傾斜角的大小為 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)2 .若園=(-5, 4),屈=(7, 9),則與 屈同向的單位向量的坐標(biāo)是 .3 .若線性方程組的增廣矩陣為| 解為T，則a+b=.5憶I nl4 .行列式中2 5 k 中兀素-3的代數(shù)余子式的值為 7,則k

2、=. 45 .以點P (3, 4)和點Q ( - 5, 6)為一條直徑的兩個端點的圓的方程是 .6 .若頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y2-4x=0的圓心重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為.7 .在4ABC中，|AB| =3, | BC|=7, | CA|=5,則尿|在同方向上的投影是 目=(2, - 1),貝u k=8 .已知雙曲線kx2-y2=1的一條漸進線的方向向量點，且 畫，畫, 若PFiF2的面積為16,則b=11 .若點。和點F分別為橢圓 1+y2=1的中心和左焦點，點 P為橢圓上的任意一點，則 2| OP| 2+| PF| 2的最小值為 .12 .在平面直角坐標(biāo)系中，兩個動圓均過點

3、A (1, 0)且與直線l: x=- 1相切，圓心分別為C1、C2,若動點M滿足2應(yīng)小后可+后耳則M的軌跡方程為.二、本大題共4小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要 求的.13.al bia 2 b 是方程組x+b =C a? x+b 2yHe&有唯一解”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條C.充要條件D.既不充分又不必要條件14 .某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是()際=0, 5=0A. 4 B. 5 C. 6 D. 715 .已知集合 P= (x, y) | x|+2|y|=5, Q= (x, y) | x2+y2=5,則集合 PAQ 中元素的

4、個數(shù)是()A. 0 B. 2 C. 4 D. 816 .已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸進線方程為y=-x (a0, b0),若雙曲線上有Lal一點M (x0, y0),使b|x0|va|y0,則該雙曲線的焦點()A .在x軸上B .在y軸上C.當(dāng)ab時，在x軸上 D.當(dāng)ab時，在y軸上三、解答題(本大題滿分 48分)本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算 步驟.17 .已知：日后、口是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 值=(1,2)若|自二2近且/日求1的坐標(biāo);(2)若1. =匕1且0+2日與2|- m垂直，求三與匕的夾角9.18 .已知直線l經(jīng)過點P ( - 2,舊)，并且與直線l0：

5、 X-近|y+2=o的夾角為,求直線 l的方程.19.如圖所示,A (2口， 0)、B、C是橢圓E:(a b 0)上的三點,BE橢圓E的中心且斜率為1,橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點內(nèi)構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓E的方程;(2)求4ABC的面積.20 .如圖所示的封閉區(qū)域的邊界是由兩個關(guān)于x軸對稱的半圓與截取于同一雙曲線的兩段曲線組合而成的，其中上半圓所在圓的方程是x2+y2-4y-4=0,雙曲線的左右頂點 A、B是該圓與x軸的交點，雙曲線與該圓的另兩個交點是該圓平行于x軸的一條直徑的兩個端點.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的左、右焦點為Fi、F2,試在封閉區(qū)域的邊界上求點P,使得/

6、F1PF2是直角.21 .對于曲線C： f (x, y) =0,若存在非負(fù)實常數(shù) M和m,使得曲線C上任意一點P (x, y)有mW | OP| 0),求曲線C的外確界與內(nèi)確界.2015-2016學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析、填空題(本大題滿分 36分)本大題共12小題，每個空格填對得 3分，否則一律得0 分.1 .直線3x-4y - 5=0的傾斜角的大小為arctag(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)【考點】直線的傾斜角.【分析】根據(jù)所給的直線3x-4y-5=0,得到直線的斜率時 目，直線的斜率是傾斜角的正切, 得到tan爐同，虻0,兀，根據(jù)傾斜角的范圍和正切的反三角函數(shù)

7、的值域確定結(jié)果.【解答】 解：二直線3x-4y-5=0,，直線的斜率時直線的斜率是傾斜角的正切,tan = 同， 0,., ,皿噸， 故答案為：arctaj|.2 .若口= (-5, 4),同=(7, 9),則與 屈同向的單位向量的坐標(biāo)是平行向量與共線向量.根據(jù)坐標(biāo)運算求出向量屈，再求與 屈同向的單位向量AB解：:同二.5，4),同二(7, 9),(12, 5), 10=7122+52=13;，與屆同向的單位向量的坐標(biāo)為12513，13).故答案為：(12513， 13)3.若線性方程組的增廣矩陣為,解為,則 a+b=2【考點】幾種特殊的矩陣變換.【分析】根據(jù)增廣矩陣的定義得到l! K二彳是方

8、程組的解，解方程組即可.則 a+b=1 +1=2,故答案為：2.+5產(chǎn)+(” 6產(chǎn)畫.i J：一 m4.行列式中2 5 k 中兀素-3的代數(shù)余子式的值為 7,則k= 3|1 4_J【考點】三階矩陣.mi【分析】由題意可知求得Ai2=-.=k+4,代入即可求得k的值.1 一 26 - 3 1【解答】 解：由題意可知：設(shè) A= 2 5 k , 1 4 - E元素-3的代數(shù)余子式A12= - | 2卜女+4，-k+4=7,1. k=3 ,故答案為：3.5.以點P (3, 4)和點Q ( - 5, 6)為一條直徑的兩個端點的圓的方程是(x+1) 2+2-5) =17 .【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】由

9、中點坐標(biāo)公式求出圓心，由兩點間距離公式求出圓半徑，由此能求出圓的方程.【解答】 解：二點P (3, 4)和點Q ( - 5, 6),1,5),以點P (3, 4)和點Q ( - 5, 6)為一條直徑的兩個端點的圓的圓心為(-，圓的方程為：(x+1) 2+ (y-5) 2=17.故答案為：(x+1) 2+ (y-5) 2=17.6,若頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y2-4x=0的圓心重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為x= - 2 .【考點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程.【分析】由已知得拋物線的焦點 F (2, 0),由此能求出該拋物線的準(zhǔn)線方程.【解答】解：二頂點在原點的拋物線的焦點與圓x2+y

10、2-4x=0的圓心重合，拋物線的焦點 F (2, 0),.該拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=-2.故答案為：x= - 2.【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】利用余弦定理求出A ,則以與固的夾角為兀-A.解：cosA=b2+c2 a2bc2X5X3，同在何方向上的投影是|同|?cos (兀-A) =3x故答案為I,8 .已知雙曲線kx2-y2=1的一條漸進線的方向向量 = (2, - 1),則k=1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】根據(jù)題設(shè)條件知求出漸近線的斜率，建立方程求出【解答】解：.雙曲線kx2-y2=i的漸近線的一條漸近線的方向向量值=(2, - D,.漸近線的斜率為或=目，故答案為:9 .

11、在正三角形 ABC中，D是BC上的點，AB=3, BD=1 ,則平面向量數(shù)量積的運算.利用向量的加法法則化AD=AB + BL,展開后利用數(shù)量積運算得答案.【分析】7.在4ABC中，|AB| =3, | BC|=7, | CA|=5,則屜|在園方向上的投影是.二屈疝卜向(十而)卜后虹1瓦卜 倡51印代福、前故答案為:15T10.已知Fl、F2是雙曲線C：b2=1 (a 0, b0)的兩個焦點，P是雙曲線C上一點,且恒,若PF1F2的面積為16,則b= 4 .雙曲線的簡單性質(zhì).PF1F2中，由勾股定理及雙曲線的定義，PF1F2面積為16,即可求出解：設(shè) |PF1|二m, IPF2I =n,西至,

12、 得/ F1 PF2=90,m2+n2=4c2, PF1F2 的面積為 16,mn=321- 4a2= ( m - n) 2=4c2- 64,b2=c2- a2=16, b=4.故答案為：4.11 .若點。和點F分別為橢圓+y2=1的中心和左焦點，點 P為橢圓上的任意一點,|OP| 2+| PF| 2的最小值為 2 .【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】先求出左焦點坐標(biāo) F,設(shè)P (x, y),根據(jù)P (x, y)在橢圓上可得到式，表示出| OP| 2+| PF| 2,再將x、y的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進而可確定答案.X、y的關(guān)系【解答】解：由題意，F(xiàn) ( - 1, 0),設(shè)點P (x, y),則

13、有+y2=1,解得 y2=1因為 | OP| 2+| PF| 2=x2+y2+ (x+1) 2+y2=x2+ (x+1) 2+2 - x2= (x+1) 2+2,此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x= - 1,|OP|2+|PF|2的最小值為2.故答案為：2.12 .在平面直角坐標(biāo)系中，兩個動圓均過點A (1, 0)且與直線l： x=- 1相切,圓心分別為C1、C2,若動點M滿足2巨J，則M的軌跡方程為y2=2x - 1【考點】軌跡方程.,確【分析】由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程為y2=4x,利用2m定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求出M的軌跡方程.【解答】 解：由拋物線的定義可得動圓的圓心軌跡方程

14、為y2=4x,設(shè) Cl (a, b), C2 (m, n), M (x, y),則, 2 (x- m, y - n) = (a- m, b - n) +(1- m, - n),，2x=a+1, 2y=b,a=2x - 1, b=2y ,; b2=4a,1 ( 2y) 2=4 (2x-1),即 y2=2x-1.故答案為：y2=2x - 1.二、本大題共4小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要 求的.氏bl3 2 b 2*A .充分不必要條件B.必要不充分條C.充要條件D.既不充分又不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)兩直線間的位置關(guān)系，從而

15、得到答案.一 .,lal bl，【解答】解：由D二產(chǎn)Ca1 b2*a2 b1,有唯一解,14.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是(直線ax+b1y=c1和直線a2x+b2y=C2不平行, ?方程組 故選：C.A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【考點】程序框圖.k的值,PHQ中元素的16.已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸進線方程為y=x (a0,b0),若雙曲線上有【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解答】 解：當(dāng)S=0時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 S=1, k=1 ;當(dāng)S=1時，滿足

16、繼續(xù)循環(huán)的條件，故 S=3, k=2；當(dāng)S=3時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 S=11, k=3；當(dāng)S=11時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故S=2059, k=4;當(dāng)S=2049時，不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故輸出的k值為4,故選：A15.已知集合 P= (x, y) | x|+2|y|=5, Q= (x, y) | x2+y2=5,貝U集合個數(shù)是()A. 0 B. 2 C. 4 D. 8【考點】交集及其運算.【分析】做出P與Q中表示的圖象，確定出兩集合的交集，即可做出判斷.【解答】解：對于P中|x|+2|y|=5,當(dāng) x0, y0 時，化簡得：x+2y=5；當(dāng) x0, y0 時，化簡得：x-2y=5;當(dāng)

17、x0 時，化簡得：-x+2y=5；當(dāng) x0, yb時，在x軸上 D.當(dāng)ab時，在y軸上 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】利用題設(shè)不等式，令二者平方,【解答】解： a| yo| b| x0| 0整理求得2 x0 a0,即可判斷出焦點的位置.故選：B.三、解答題（本大題滿分 48分）本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算 步驟.17.已知：口田、自是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 值=（1, 2）若1日=2近，且3日求郎坐標(biāo)；若恥圖,且】+唱與2圖-由垂直，求g與何的夾角【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；數(shù)量積 表示兩個向量的夾角.y - 2 x=

18、0 -【分析】（1）設(shè)節(jié)工 訓(xùn)由| 口|=2近，且R/同知。,由此能求出口的坐II/ + T :20|標(biāo).（2）由知|（W+2E）（2l E）二d，整理得匕三國，故,由此能求出口與RI的夾角9.【解答】解：（1）設(shè)y）, - |金二2西，且上/至y- 2x=0x2+y =20故二(2, 4)或黑(2, -4)|(2) (a+2b)l(2a- b)（a+2b）2 曰一b）工，即|2+30E-灰？工，52X5+3a-b - 2X-c，整理得階弓二II,cos 8 二1，?一 一 I al I b I又二族0,可，0=兀.18.已知直線l經(jīng)過點P （ - 2,因），并且與直線10： x-近|y+2=

19、0的夾角為 三，求直線1的方程.【考點】兩直線的夾角與到角問題.【分析】根據(jù)條件求出直線1的傾斜角，可得直線1的斜率，再用點斜式求得直線 1的方程.由于直線解：由于直線10： x - Hy+2=0的斜率為1和直線10： x-吏y+2=0的夾角為,故直線1的傾斜角為也，故它的傾斜角為 3故直線1的斜率不存在或斜率為-再根據(jù)直線1經(jīng)過點P （ -2,以），可得直線1的方程為x=-2,或y -3(x+2),即 x= - 2,或 x+由y - 1=0 .19.如圖所示，A （203，0）、B、C是橢圓E：-7=1 (a b 0)上的三點, b2BC過橢圓E的中心且斜率為1,橢圓長軸的一個端點與短軸的兩

20、個端點內(nèi)構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓E的方程;(2)求4ABC的面積.【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)由題意可得a=2近，再由正三角形的條件可得 a=Tb,解得b,進而得到橢 圓方程；(2)由題意寫出 A點坐標(biāo)，直線CB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點C、B的縱坐標(biāo),S*A ABC =I OA| ?|yBycl ,代入數(shù)值即可求得面積.解：(1) A的坐標(biāo)為(2近0),即有a=2T,橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成正三角形,可得a=Plb解得b=2,則橢圓E的方程為(2)直線BC的方程為y=x,代入橢圓方程x2+3y2=i2,得y=x=&q,SAABC =

21、微 oa|?Wyc| =近0, b0),b2b2=1，且 a=2,解得 b=2；所以雙曲線的方程為2-L=1；4（2）雙曲線的左、右焦點為 F1（- 2近，0）, F2（2超，0）, 若/ F1PF2是直角，設(shè)點 P （x, y）,則有x2+y2=8,解得 x2=6, y2=2;解得y=1 （不滿足題意，應(yīng)舍去）；所以在封閉區(qū)域的邊界上所求點P的坐標(biāo)為（土近固）和（土近-近）.21 .對于曲線C：f（x,y）=0,若存在非負(fù)實常數(shù)M和m,使得曲線C上任意一點P（x,y）有mW | OP| 0）,求曲線C的外確界與內(nèi)確界.【考點】曲線與方程.【分析】（1）由外確界與內(nèi)確界的概念，結(jié)合曲線方程，數(shù)形結(jié)合得答案；（2）由題意求出曲