奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識

1、奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（ 1 ）一個數(shù)除了 1 和它自己，不再有其余約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了 1 和它自己，還有其余約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。（ 2 ）自然數(shù)除0 和 1 外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記?。? 和 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。（ 3 ）最小的質(zhì)數(shù)是2 ， 2 是獨(dú)一的偶質(zhì)數(shù)，其余質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；最小的合數(shù)是4 。（ 4 ）質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)是指兩個數(shù)，是合約數(shù)只有一的兩個數(shù)，構(gòu)成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)（3和5）,可 能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)（3和4）,可能

2、是兩個合數(shù)（4和9）或1與另一個自然數(shù)。（5）假如一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（6） 1 0 0之內(nèi)的質(zhì)數(shù)有 2 5 個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、5 9、61、67、71、73、79、 8 3、 8 9、 9 7.二 整除性（1 ）看法一般地，如a、b、c為整數(shù)，bw0,且a + b=c,即整數(shù)a除以整除b （ b不等于0）,除得的商c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（也許說余數(shù)是0 ），我們就說，a 能被 b 整除（也許說b 能整除 a ）。記作b |

3、a.不然，稱為a不可以被b整除，（或b不可以整除a）,記作b a 。a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。假如整數(shù)（2 ）性質(zhì)性質(zhì) 1 ：（整除的加減性）假如 a 、 b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。即：假如 c | a, c I b,那么 c | （ a±b）。比方：假如 2 | 10, 2 | 6,那么 2 （ 10 + 6）而且 2 | （ 106）。也就是說，被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。性質(zhì) 2 ：假如 b 與 c 的積能整除a ，那么b 與 c 都能整除 a.即：假如bc | a,那么b

4、| a, c | a。性質(zhì) 3 ：（整除的互質(zhì)可積性）假如 b 、 c 都能整除a ，且b 和 c 互質(zhì)，那么 b 與 c 的積能整除a即：假如 b | a, c | a,且（b, c） =1,那么 bc | a。比方：假如 2 | 28, 7 | 28,且（2, 7） =1,那么（2X7） | 28。性質(zhì)4 ：（整除的傳達(dá)性）假如c 能整除 b ， b 能整除a ，那么c 能整除 a 。即：假如c | b, b I a,那么c I a。比方：假如3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27。（3 ）數(shù)的整除特色能被 2 整除的數(shù)的特色：個位數(shù)字是0、 2 、 4 、 6 、 8 的整數(shù) .能

5、被 5 整除的數(shù)的特色：個位是0 或 5 。打破口能被 3 （或 9 ）整除的數(shù)的特色：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3 （或 9 ）整除。判斷能被3 （或9）整除的數(shù)還可以用“棄3 （或9）法”：比方：8 3 5 1 7 4 6能被9整除么解：8+1 = 9, 3 + 6 = 9, 5+4 = 9,在數(shù)字中只剩7 , 7不是9的倍數(shù)，所以8 3 5 1 7 46不可以被9整除。能被 4 （或25 ）整除的數(shù)的特色：末兩位數(shù)能被4（或 25 ）整除。能被 8 （或 125）整除的數(shù)的特色：末三位數(shù)能被8（或125）整除。能被11 整除的數(shù)的特色：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減

6、?。┦?11 的倍數(shù)。能被7 （11 或 13）整除的數(shù)的特色： 一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)之差 （以大減小）能被7 （ 11 或 13）整除，依此屢次檢驗(yàn)。比方：判斷3546725 能否被 13 整除解：把 3546725 分為 3546 和 725 兩個數(shù) . 因?yàn)?3546-725=2821. 再把 2821 分為 2 和 821 兩個數(shù)， 因?yàn)?821 2= 819,又 13 | 819,所以 13 | 2821 ,從而 13 | 3546725.上述方法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；對于其余的數(shù)，可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐一考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)（1

7、）合約數(shù)和最大合約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的合約數(shù)；此中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大合約數(shù)。比方：4是1 2和1 6的最大合約數(shù)，可記做：（12,16）=4（2 ）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；此中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。比方： 36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)，記作 12 ， 18=36 。（3）最大合約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系假如用 a 和 b 表示兩個自然數(shù)1、那么這兩個自然數(shù)的最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a, b） x a , b=a x b。（多用于求最小公倍數(shù)）2、 （ a, b）w a , b w a , b3、a ） b

8、是（a, b）的倍數(shù)，（a, b）是a ） b的約數(shù)4、 （a, b）是 a + b 和 a b 的約數(shù)，也是（a, b） + a , b和（a, b） a , b的約數(shù) （4）求最大合約數(shù)的方法很多，主要介紹：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、展轉(zhuǎn)相除法。30 、 60 、 75 ，都能整除，這個數(shù)最大是多少解：（30, 60, 75） =5X3=15這個數(shù)最大是15 。2、（分解質(zhì)因數(shù)法）求1 0 0 1和3 0 8的最大合約數(shù)是多少解：1001 = 7X11X13 （這個質(zhì)分解常用到）3 0 8 = 7 X 1 1 X 4所以最大合約數(shù)是7X1 1 = 77在這類方法中，先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解，此后取它們

9、“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”即是最大合約數(shù)。3、（展轉(zhuǎn)相除法）用展轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大合約數(shù)。解：丁 4811=2 X 1981+849 ,1981=2 X 849+283 ,849=3 X283 ,，（4811 , 1981 ） =283。增補(bǔ)說明：假如要求三個或更多的數(shù)的最大合約數(shù)， 可以先求此中任意兩個數(shù)的最大合約數(shù)， 再求 這個合約數(shù)與別的一個數(shù)的最大合約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。（5）約數(shù)個數(shù)公式一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加 1 的連乘的積。比方：求 240 的約數(shù)的個數(shù)。解：: 240 = 24X31 X51 ,，240的

10、約數(shù)的個數(shù)是（4+1） X （ 1+1 ） X （ 1+ 1） =20,，240有20個約數(shù)。四 奇偶性（ 1）奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類. 能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不可以被2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)平時可以用 2k （ k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用 2k+1 （ k 為整數(shù)）表示。特別注意，因?yàn)?0 能被 2 整除，所以 0 是偶數(shù)。最小的奇數(shù)是1,最小的偶數(shù)是0（ 2 ）奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1 ：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2 ：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3 ：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。4 ：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)x奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)。偶數(shù)義偶數(shù)=偶數(shù)(3 )反證法例：桌上有9 只杯子，所有口向上，每次將此中 6 只同時“翻轉(zhuǎn)” . 請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不可以使9 只杯子所有口朝下。解：要使一只杯子口朝下，一定經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)” . 要使 9 只杯子口全朝下，一定經(jīng)過9 個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)” . 即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù). 但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)