高中三角函數(shù)

1、三角函數(shù)的六類問題方法談?wù)横槍δ壳案呖嫉臒狳c(diǎn)問題一一三角函數(shù)問題， 因其在高考中一般以中低檔題出現(xiàn)， 對 學(xué)生來說，這些問題應(yīng)該較易。 因次本文針對三角函數(shù)的六類重、 熱點(diǎn)問題歸納總結(jié)， 以鞏 固所學(xué)，提高能力，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)知識的升級.關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 問題 圖象 正文三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的著力點(diǎn)，其中三角函數(shù)的概 念與性質(zhì)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，三角包等變換常以解答題的形式出現(xiàn)， 它們多是容易題或中檔題，是不應(yīng)失分的題目.因?yàn)槿呛瘮?shù)內(nèi)容豐富、公式眾 多，考查形式靈活，其題目也絢麗多姿.本文針對三角函數(shù)的六類重、熱點(diǎn)問題 歸納總結(jié)，以鞏固所學(xué)，提高能力，實(shí)現(xiàn)三角函

2、數(shù)知識的升級.一、單調(diào)性問題此類問題主要考查三角函數(shù)的增減性，各象限中各個三角函數(shù)值的符號等.很 多情況下，需要通過三角包等變換將已知函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)式的 形式來求解.例 1 (07 湖南文)已知函數(shù) f(x) 1 2sin2 x 2sin x cos x .888求：函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解析：f(x) cos(2x ) sin(2 x )44r-冗 冗冗Lv2 sin(2x )v2 sin(2 x)42 cos2x.4 42當(dāng) 2k：t2x< 2k tt,即 k 冗< x < ku ( k Z )時，函數(shù) f (x) & cos2x是2增函數(shù)，故

3、函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kukT (k Z).2點(diǎn)評：在求單調(diào)區(qū)間時，要注意利用誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角和與差公式、倍角公式、函數(shù)y Asin( x )的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能 力.利用三角公式將所給函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)。在求y Asin( x )的單調(diào)區(qū)間時還應(yīng)注意的正、負(fù)，同學(xué)們可以自己求一下 y 2sin - 2x的單6調(diào)遞減區(qū)問，并與本例所求得的區(qū)間對比一下.二、根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式問題這類問題主要考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)以及識圖的能力.關(guān)鍵是根據(jù)圖象的位置求出相關(guān)參數(shù)A,，等。，一，一 ，、一 一、 ，一E 一、，兀一一L,，例2(江西)如圖，函數(shù)y

4、2cos( x )(x R,> 0,0<0)的圖象與y軸2相交于點(diǎn)(0,陰)，且該函數(shù)的最小正周期為.(1)求和的值；(2)已知點(diǎn)A -,0 ，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)2Q(x0,義)是年的中點(diǎn)，當(dāng)義屋2%時，求X0的值.解析：(1)將x 0, y J3代入函數(shù)y 2cos( x ) cos 白，因?yàn)?W W 所以由已知T冗，且 0,得 紅紅2 . T 冗(2)因?yàn)辄c(diǎn) A ,0 , Q(x0, y0)是 PA 的中點(diǎn)，y0 22所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為2x0 -,73 .2. ,_.、>,>TT 一 一 0一 TT一又因?yàn)辄c(diǎn)P在y 2cos 2x 的圖象上，且一Wx0Wjt,

5、所以62cos 4x0即x0m或x019冗iih/曰5冗11兀1、,從而得4x0 或4x06663兀一.413 7t6.解決本題的關(guān)鍵是在解析：本題主要考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)以及識圖的能力于根據(jù)圖象性質(zhì)確定所給函數(shù)中的參數(shù)的值，根據(jù)題意圖象與y軸相交于點(diǎn)(0,J3)建立等式關(guān)系憑借的限制條件就能確定的值；本題的第二問實(shí)際是已知三角函數(shù)值求角問題，利用中點(diǎn)公式借助點(diǎn)Q(x0, y。)將點(diǎn)P表示出來代入函數(shù)式，憑借特殊角的三角函數(shù)值求角即可.三、求值與證明問題此類題是高考中出現(xiàn)較多的題型，要求同學(xué)們掌握從題設(shè)條件入手、以題目 結(jié)論或要求為目標(biāo)，正確運(yùn)用各類三角公式，消除角的差異，實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)

6、化，達(dá)到解(證)題的目的.深刻理解三角函數(shù)的概念，熟練掌握各類三角公式，熟悉三角包等變換的常 用思想方法和變換技巧，是解決問題的關(guān)鍵.例 3 (2007 四川)已知 coso=1，cos(3=14,且 0<3K2,(I)求 tan2a 的值；(H)求 0解析：(I )由 cos 1,0，得 sin工cos1 2 * 4- ,/1 (-)2 4-3 .72-77sin一tan cos于是tan 22 tan tan22 4.31 (4,3)28.347(H)由 0又cos()里，. sin(14仆2()口方3.314由 ()，得cos cos () cos cos()sin sin( )解

7、析：（I）設(shè) ABC中角A, B, C的對邊分別為a, b）, c,1貝U 由-bcsin3 , 00 bccos 0 6 ,可得 0 0 cot 0 1,TT TT4, 2,、2 Tt(H) f ( ) 2sin 一43 cos21 cos - 2 J3 cos22(1 sin2 ) <3 cos2sin 23 cos2 1 2sin 2. 冗冗冗 冗2冗.一,冗 /一, 一 ，2 一 一， ，. 2 0 2sin 211 0 3 .4 236 33即當(dāng)時，f()max 3；當(dāng),時，f ( )min 2 .124點(diǎn)評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的 性

8、質(zhì)等基本知識，考查推理和運(yùn)算能力.五、實(shí)際應(yīng)用問題這類問題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角包等變換解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用 問題.解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)表示出各有關(guān)元素，從而建立起函數(shù)關(guān)系. 例5 （2007海南）如圖，測量河對岸的塔高 AB時，可以選與塔底B在同一水平 面內(nèi)的兩個側(cè)點(diǎn)C與D .現(xiàn)測得 BCD , BDC , CD s ,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB .解：在 BCD中，CBD 冗由正弦定理得sin BDCsin CBD所以BCCD sin BDCsin CBDssinsin( )s tan sinsin( )在 RtzXABC 中，AB BC tan ACB點(diǎn)評：本題考查

9、正弦余弦定理應(yīng)用及應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.解三角 形應(yīng)按照由易到難的順序來求解， 選用邊角時盡量避免復(fù)雜運(yùn)算，有時需要對一 些復(fù)雜圖形特殊處理，平面幾何知識“功不可沒” .六、圖象變換問題三角函數(shù)的圖象變換是一個重點(diǎn)內(nèi)容.解這類問題，先通過三角包等變換將函數(shù)化為y Asin( x ) (A 0,0)的形式，然后再探索其圖象是由正弦曲線經(jīng)過怎樣的平移變換、伸縮變換或振幅變換得到的.特別需要注意的是：在圖 象變換中，無論是“先平移后伸縮”，還是“先伸縮后平移”，須記清每次變換均 對“x”而言.例6 已知函數(shù)y sin2x 2sin xcosx 3cos2 x 1, x R .該函數(shù)的圖象可

10、由y sinx, x R的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？解： y sin2 x 2sin xcosx 3cos2 x 12sin 2x 2cos x sin 2x cos2x 1五sin 2x -1 .4將函數(shù)y sin x依次作如下變換：(1)把函數(shù)y sin x的圖象向左平移-,得到函數(shù)y sin x -的圖象；44(2)把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的-倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)2y sin 2x 的圖象； 4(3)把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的我倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y 72sin 2x 的圖象； 4(4)把得到的函數(shù)圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y V2sin 2x - 1的 4圖象.綜上得到函數(shù)y sin2 x 2sin xcosx 3cos2 x 1的圖象.點(diǎn)評：由y sin x的圖象變換得到y(tǒng) Asin( x)的圖象，一般先作平移變換,后 作 伸 縮y sin x y sin(x ) y sin( x )變 換 ，即y Asin( x ).如果先作伸縮變換，后作平移變換，則左(右)平移時不是個單位，而是 一個單位，即y sin( x) y