數(shù)學(xué)建模第一篇第一章

1、第一篇 線性規(guī)劃模型及應(yīng)用第一章 線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型及其解的性質(zhì)§1-1-1線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型引例：某工廠生產(chǎn)某種型號的機床，每臺機床上需要2.9米、2.1米和1.5米長的三種軸各一根，這些軸需要用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4米。如果要生產(chǎn)100臺機床，應(yīng)如何下料，才能使得用料最省？分析：對于每一根長為7.4米的圓鋼，截成2.9米、2.1米和1.5米長的毛坯，可以有若干種下料方式，把它截成我們需要的長度，有以下8種下料方式(表1-1-1)：表1-1-1 下料方式及每種方式毛坯的數(shù)目 下料方式長度需要量2.9米211100001002.1米021032101001.5米1

2、0130234100余料0.10.30.901.10.20.81.4下料方式是從大到小、從長到短的順序考慮的。1.假若考慮只用方式下料，需要用料100根；2.若采用木工師傅的下料方法：先下最長的、再下次長的、最后下短的(見表1-1-2)：表1-1-2 木工師傅的下料情況的用料表下料方式下料根數(shù)2.9米根數(shù)2.1米根數(shù)1.5米根數(shù)501000503309901200481022合計96100101100動一下腦筋，就可以節(jié)約用料4根，降低成本。但這仍然不是最好的下料方法。3.如果要我們安排下料，暫不排除8種下料方式中的任何一種，通過建立數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型）進行求解，尋找最好的下料方案。設(shè)

3、用,方式下料的根數(shù)分別為，則可以建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型:用LINGO10.0軟件求解，程序如下：Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;根據(jù)輸出結(jié)果，得：(最優(yōu)解不唯一)；或。這就是最優(yōu)的下料方案。下料問題是在經(jīng)濟管理中經(jīng)常遇到的問題，引例是條材下料問題、還有板材下料問題（如五金廠生產(chǎn)保險柜、服裝廠下料等）或者更復(fù)雜的下料問題。請考慮一下，下料方式能不能用計算機來設(shè)計？本問題能不能將目標函數(shù)確定為余料最少？這都是

4、值得讀者思考的問題。在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中，經(jīng)?？紤]這樣一類問題：如何合理地利用有限的人力、物力和財力等資源，以便得到最好的經(jīng)濟效果。下面分四個方面介紹典型的建立線性規(guī)劃模型的方法。一、合理下料問題例1 某工廠生產(chǎn)某種型號的機床，每臺機床上需要2.9米、2.1米和1.5米長的三種軸分別為1根、2根、1根，這些軸需要用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4米。如果要生產(chǎn)100臺機床，應(yīng)如何下料，才能使得用料最省？關(guān)于下料方式的分析如引例，下料方式見表1-1-1，該問題的數(shù)學(xué)模型為：設(shè)用,方式下料的根數(shù)分別為，則:可以用LINGO10.0求解，得x1=20,x2=60,x3=0,x4=0,x5=0,x

5、6=40,x7=0,x8=0;minS=120。注：本題的最優(yōu)解不唯一。一般下料問題：設(shè)用某種材料（條材或板材）下零件的毛坯，根據(jù)過去的經(jīng)驗，在一件原料上有種不同的下料方式，每種合理的下料方式可得各種毛坯個數(shù)及每種零件的需要量如表1-1-3。問：應(yīng)怎樣安排下料方式，既能滿足需要，又使得用料最??？表1-1-3 一般下料問題的基本數(shù)據(jù) 下料方式零件規(guī)格 零件需要量設(shè)用方式下料的數(shù)量為，則建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型：或者建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的基本要素：決策變量 明確問題中有待確定的未知變量（稱為決策變量），并用數(shù)學(xué)符號表示；約束條件 明確問題中所有的限制條件（約束條件）并且用決策變量的一些表達式（

6、線性等式或線性不等式）來表示；目標函數(shù) 明確解決問題要達到的目標，并用決策變量的線性函數(shù)（稱為目標函數(shù)）表示，按問題的要求，求其最大值或最小值。通常把決策變量、約束條件和目標函數(shù)稱為線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的三個基本要素。從我們所建立的數(shù)學(xué)模型來看，目標函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)、約束條件是決策變量的線性等式或不等式，因此我們稱此為線性規(guī)劃（Linear Programming，簡記為LP）模型。二、資源合理利用（資源的最優(yōu)配置）問題例2 某工廠要安排一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，該產(chǎn)品有、三種型號，生產(chǎn)這種產(chǎn)品均需要兩種主要資源：原材料和勞動力。每件產(chǎn)品所需資源數(shù)、現(xiàn)有資源數(shù)量以及每件產(chǎn)品的出售價格如表1-1-4。

7、假定該產(chǎn)品只要生產(chǎn)出來即可銷售出去，試確定這三種產(chǎn)品的日產(chǎn)量使總產(chǎn)值最大。表1-1-4 資源利用問題的數(shù)據(jù)產(chǎn)品資源現(xiàn)有資源數(shù)量原材料（公斤）436120公斤勞動力（小時）245100小時價格（元）453解：設(shè)該工廠計劃日產(chǎn)產(chǎn)品、的數(shù)量分別為件，則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：通過LINGO10.0求解，程序為：max=4*x1+5*x2+3*x3;4*x1+3*x2+6*x3<=120;2*x1+4*x2+5*x3<=100;得到最優(yōu)解：，一般地，用種資源可以生產(chǎn)種產(chǎn)品。現(xiàn)有原料數(shù)（可利用資源數(shù)量）、每單位產(chǎn)品所需原料數(shù)（消耗系數(shù)）及每單位產(chǎn)品可得利潤如表1-1-5。問：應(yīng)如何組織生產(chǎn)才

8、能使總利潤最大？表1-1-5 一般資源利用問題的數(shù)據(jù)產(chǎn)品資源現(xiàn)有原料數(shù)單位產(chǎn)品利潤設(shè)表示生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：這種類型的資源利用（或者稱為資源配置）問題是最常見的，而且在經(jīng)濟分析中是最重要的。只要求出最優(yōu)解，最優(yōu)計劃即可作出，并且可以進一步作經(jīng)濟分析和優(yōu)化分析。三、配料問題（食譜問題）例3 某公司飼養(yǎng)實驗用的動物以供出售，已知這些動物的生長對飼料中3種主要營養(yǎng)成分（蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素）特別敏感，每個動物每天至少需要蛋白質(zhì)70g，礦物質(zhì)3g，維生素10mg，該公司能買到5種不同的飼料，每種飼料1kg所含各種營養(yǎng)成分和成本如表1-1-6，求既能滿足動物生長需要，又使總成本最

9、低的飼料配方。表1-1-6 配料（食譜）問題的數(shù)據(jù)飼料營養(yǎng)營養(yǎng)最低要 求蛋白質(zhì)(g)0.3210.61.870礦物質(zhì)(g)0.10.050.020.20.053維生素(mg)0.050.10.020.20.0810成本（元）0.20.70.40.30.5解：設(shè)配方中需要的數(shù)量別為kg，則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：通過LINGO10.0求解，程序為：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>=70;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>=3;0.05*x1

10、+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>=10;求解，得x1=0，x2=0，x3=0，x4=39.74，x5=25.64，minS=24.74。說明：該模型應(yīng)該還要增加約束?。ㄗx者思考一下，為什么？）一般地，用n種原料制成具有m種成分的產(chǎn)品，其所含各種成分分別不少于，各種原料的單價以及原料所含成分的數(shù)量如表1-1-7。應(yīng)如何配料才能使總成本最??？表1-1-7 一般配料（食譜）問題的數(shù)據(jù) 原料成分產(chǎn)品所含成分需 要 量單價設(shè)需要原料的數(shù)量為單位，則可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：注：應(yīng)該還要增加一個約束條件：（進行總量控制）。四、運輸問題例4 有兩個磚廠，其產(chǎn)量分別為23萬塊

11、與27萬塊，它們生產(chǎn)的磚供應(yīng)三個工地，其需要量分別為17萬塊，18萬塊和15萬塊。而自磚廠到工地運價如表1-1-8（單位：元/萬塊）。問應(yīng)如何調(diào)運，才使總運費最??？表1-1-8 運輸問題的數(shù)據(jù)平衡表運價表 銷地產(chǎn)地供應(yīng)量23506070276011060需求量18171550解：設(shè)由磚廠供應(yīng)工地的數(shù)量為，則可以建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：用LINGO10.0編程：Min=50*x11+60*x12+70*x13+60*x21+110*x22+60*x23;x11+x12+x13=23;x21+x22+x23=27;x11+x21=18;x12+x22=17;x13+x23=15;通過求解得：x11=

12、6，x12=17，x13=0；x21=12，x22=0，x23=15；minS=2940一般地，某種物資有個產(chǎn)地：，聯(lián)合供應(yīng)個銷地。各產(chǎn)地產(chǎn)量、各銷地銷量、產(chǎn)地到銷地的單位產(chǎn)品運價如表1-1-9，應(yīng)如何組織供應(yīng)才能使得總運費最省？表1-1-9 一般運輸問題的數(shù)據(jù)平衡表運價表銷地產(chǎn)地產(chǎn)量（噸）銷量（噸）設(shè)表示產(chǎn)地供應(yīng)銷地的數(shù)量當(dāng)產(chǎn)銷平衡（）時，數(shù)學(xué)模型為：當(dāng)產(chǎn)銷不平衡時，（產(chǎn)量大于銷量）數(shù)學(xué)模型為：類似的模型還有農(nóng)作物布局問題：某農(nóng)場要在這塊土地上種植種農(nóng)作物。土地的面積、農(nóng)作物的計劃播種面積以及作物在土地上的單產(chǎn)如表1-1-10。應(yīng)如何安排種植計劃，才使總產(chǎn)量最大？表1-1-10 農(nóng)作物布局問

13、題的數(shù)據(jù)平衡表產(chǎn)量表 土地作物播種面積土地面積設(shè)表示土地種植農(nóng)作物的面積，則線性規(guī)劃模型：這個問題的數(shù)學(xué)模型與運輸問題的數(shù)學(xué)模型相同，還有其它的問題也可以建立類似結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)稱為（經(jīng)典）運輸問題，這類數(shù)學(xué)模型稱為康希問題。關(guān)于運輸問題有專門的求解方法運輸問題的表上作業(yè)法將在本篇第四章中專門介紹。一般地，線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型具有以下形式：我們稱滿足所有約束條件的為線性規(guī)劃問題的可行解；使目標函數(shù)取到最小值（或最大值，與模型的目標函數(shù)要求一致）的可行解稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型是描述實際問題的抽象數(shù)學(xué)形式，它反映了客觀事物數(shù)量間的本質(zhì)規(guī)律。建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，沒有統(tǒng)

14、一的方法，要具體問題具體分析。主要是抓住問題的本質(zhì)，建立既簡單又比較真實反映問題規(guī)律的模型。一般的線性規(guī)劃問題通過計算機軟件(Lingo或Matlab等)可以求出最優(yōu)解。下面先介紹兩個變量線性規(guī)劃問題解的圖解法，以便對線性規(guī)劃的解有一個直觀的認識。§1-1-2 兩個變量線性規(guī)劃問題的圖解法例5 某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需設(shè)備臺時及對甲、乙兩種原材料的消耗，有關(guān)數(shù)據(jù)如表1-1-11。問：應(yīng)如何安排計劃，使工廠獲利最大？表1-1-11 生產(chǎn)計劃問題的數(shù)據(jù)產(chǎn)品資源AB可利用資源設(shè)備128臺時甲4016公斤乙0412公斤單位利潤2百元3百元解：設(shè)計劃生產(chǎn)A

15、、B兩種產(chǎn)品的數(shù)量分別為，則建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型為：由于只含有2個變量，可以用圖解法進行求解。圖解法求解兩個變量的線性規(guī)劃問題的步驟：1.作出線性規(guī)劃問題的可行解集（本題為滿足5個不等式的公共部分OABCD）；2.作出目標函數(shù)的等值線，并標出等值線的值增加的方向；2468x1246OABCD2x1+3x2=6x2x1=4x2=3x1+2x2=8圖1-1-13.根據(jù)目標函數(shù)的要求，求出問題的最優(yōu)解。本題在B點取到惟一最優(yōu)解（如圖1-1-1）。解得：。例6 問題同例5，其中產(chǎn)品B的單位利潤為4元。2468x12460ABCD2x1+4x2=8x2x1=4x2=3x1+2x2=8圖1-1-2解

16、：該問題的數(shù)學(xué)模型是：如圖1-1-2所示，可行解區(qū)域仍然是OABCD，由于目標函數(shù)的等值線與可行解區(qū)域的邊界x1+2x2=8平行，該問題在線段BC上都是最優(yōu)解，所以有無窮多最優(yōu)解。例7 用圖解法求解線性規(guī)劃問題解：該問題的可行解區(qū)域為無界區(qū)域EABCD，當(dāng)目標函數(shù)的等值線向右上方移動時，目標函數(shù)值可無限增大（如圖1-1-3），因此該問題無有界的最優(yōu)解。(只可能出現(xiàn)在可行解區(qū)域無界的情況)。-224x1-1123450ABCDEx2-2x1+3x2=6x1+2x2=2圖1-1-32x1+x2=12x1+x2=52x1+x2=8例8 用圖解法求解線性規(guī)劃問題解：該問題的可行解區(qū)域仍為圖1-1-3中

17、的無界區(qū)域EABCD，當(dāng)目標函數(shù)的等值線向右上方移動時，目標函數(shù)可無限增大。但本題是求目標函數(shù)的最小值，目標函數(shù)的等值線向左下方移動時，在B點有惟一的最優(yōu)解（如圖1-1-3）。最優(yōu)解為：。例9 用圖解法求解線性規(guī)劃問題-224-2240圖1-1-42x1+x2=2x1-2x2=3x1x2解：滿足四個約束條件的公共部分不存在（如圖1-1-4），本題無可行解，當(dāng)然亦無最優(yōu)解。通過以上舉例，我們可以看出線性規(guī)劃解的情況：§1-1-3 LINGO軟件簡介一、軟件簡介 LINGO是美國LINDO系統(tǒng)公司開發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的軟件包。LINGO除了用于求解線性規(guī)劃外，還可以用于求解非

18、線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解以及代數(shù)方程求根等。LINGO軟件的最大特色在于可以允許優(yōu)化模型中的決策變量是整數(shù)（即整數(shù)規(guī)劃），而且執(zhí)行速度很快。LINGO實際上還是最優(yōu)化問題的一種建模語言，包括許多常用的函數(shù)可供使用者建立優(yōu)化模型時調(diào)用，并提供與其它數(shù)據(jù)文件（如文本TXT文件、EXCEL電子表格文件、數(shù)據(jù)庫文件等）的接口，易于方便地輸入、求解和分析大規(guī)模最優(yōu)化問題。由于這些特點，LINGO軟件在教學(xué)、科研和工業(yè)、商業(yè)、服務(wù)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。LINGO可用于求解線性規(guī)劃（LPLinear Programming）和整數(shù)規(guī)劃（IPInteger Programming）問題，

19、也可用于求解非線性規(guī)劃（NLPNo Linear Programming）和二次規(guī)則（QPQuaratic Programming），不同版本的LINGO對求解規(guī)模有不同的限制。雖然LINGO不能直接求解目標規(guī)劃問題，但用序貫式算法可分解成一個個LINGO能解決的規(guī)劃問題。要學(xué)好用這個軟件最好的辦法就是學(xué)習(xí)他們自帶的HELP文件，也可以參考其他關(guān)于LINGO軟件的書籍。LINGO的主要功能特色為：1.既能求解線性規(guī)劃問題，也有較強的求解非線性規(guī)劃問題的能力；2.輸入模型簡練直觀；3.運算速度快、計算能力強；4.內(nèi)置建模語言，提供幾十個內(nèi)部函數(shù)，從而能以較少語句，較直觀的方式描述大規(guī)模的優(yōu)化模型

20、；5.將集合的概念引入編程語言，很容易將實際問題轉(zhuǎn)換為LINGO模型；6.能方便地與Excel、數(shù)據(jù)庫等其他軟件交換數(shù)據(jù)。LINGO的語法規(guī)定：1.求目標函數(shù)的最大值或最小值分別用MAX=或MIN=來表示；2.每個語句必須以分號“；”結(jié)束，每行可以有許多語句，語句可以跨行；3.變量名稱必須以字母（AZ）開頭，由字母、數(shù)字（09）和下劃線所組成，長度不超過32個字符，不區(qū)分大小寫；4.可以給語句加上標號，例如OBJ MAX=200*X1+300*X2；5.以驚嘆號“！”開頭，以分號“；”結(jié)束的語句是注釋語句；6.如果對變量的取值范圍沒有作特殊說明，則默認所有決策變量都非負；7.LINGO模型以語

21、句“MODEL：”開頭，以“END”結(jié)束，對于比較簡單的模型，這兩個語句可以省略。二、舉例說明下面舉例說明這個軟件的最基本用法。以后在講述其他內(nèi)容時結(jié)合具體例子逐步介紹LINGO的求解過程以及深入分析。例10 一種汽油的特性可用兩個指標描述：其點火性用“辛烷數(shù)”描述，其揮發(fā)性用“蒸汽壓力”描述。某煉油廠有四種標準汽油，其標號分別為1，2，3，4，其特性及庫存量列于表1-1-12中，將上述標準汽油適量混合，可得兩種飛機汽油，其標號為1，2，這兩種飛機汽油的性能指標及產(chǎn)量需求列于表1-1-13中。問應(yīng)如何根據(jù)庫存情況適量混合各種標準汽油，使既滿足飛機汽油的性能指標，而產(chǎn)量又最高。表1-1-12 各

22、種標號的標準汽油的特性與存量標準汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力庫存量1107.5380000293.0262200387.04081004108.02130100()表1-1-13 兩種飛機汽油的性能指標及產(chǎn)量需求飛機汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力（）產(chǎn)量需求（）1越多越好2解：設(shè)標準汽油1，2，3，4用于混合飛機汽油1的數(shù)量分別為；用于混合飛機汽油2的數(shù)量分別為，則可建立數(shù)學(xué)模型：說明：其中有4個約束條件是分式不等式，可以化為線性不等式。整理以后就是線性規(guī)劃模型。下面我們用LINGO10.0來解這一線性規(guī)劃問題。輸入語句：Model:max=x1+x2+x3+x4;x1+x5<=380000; x2+x6&l

23、t;=262200;x3+x7<=408100;x4+x8<=130100;16.5*x1+2.0*x2-4.0*x3+17*x4>=0;7.5*x5-7.0*x6-13.0*x7+8.0*x8>=0;2.85*x1-1.42*x2+4.27*x3-18.49*x4>=0;2.85*x5-1.42*x6+4.27*x7-18.49*x8>=0;x5+x6+x7+x8>=250000;End說明：開頭的Model:和結(jié)尾的End可以省略。LINGO規(guī)定變量非負的，我們可發(fā)現(xiàn)輸入方式與我們的數(shù)學(xué)模型的書寫形式基本一致。運行結(jié)果輸出如下：Objective

24、value: 930400.0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced CostX1 264732.8 0.000000X2 132708.9 0.000000X3 408100.0 0.000000X4 124858.2 0.000000X5 115267.2 0.000000X6 129491.1 0.000000X7 0.000000 0.000000X8 5241.754 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 930400.0 1.0000002 0.000000 1.0000003 0

25、.000000 1.0000004 0.000000 1.0000005 0.000000 1.0000006 5123700. 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 47714.00 0.00000010 0.000000 -1.000000下面給出其結(jié)果的一般解釋：“Objective value:930400.0”表示最優(yōu)目標值為930400?！癟otal solver iterations: 7”表示用單純形方法迭代7次求得問題的最優(yōu)解?！癡alue”給出最優(yōu)解中各變量的值?！癝lack or Surplus”給出松弛變量的值。

26、本例中第10行松弛變量（模型第1行表示目標函數(shù)，所以第10行對應(yīng)第9個約束，以此類推）?！癛educed Cost”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動時，目標函數(shù)的變化率，其中基變量的reduce cost值應(yīng)為，對于非基變量相應(yīng)的reduce cost值表示增加一個單位（此時假定其他非基變量保持不變）時目標函數(shù)減小的量（max型問題）。本例中：對應(yīng)的reduce cost值為，表示當(dāng)有微小變動時，目標函數(shù)值不變?！癉ual Price”（對偶價格）列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的松弛變量的系數(shù)，表示當(dāng)對應(yīng)約束有微小變動時，目標函數(shù)的變化率，輸出結(jié)果中對應(yīng)每一個約

27、束有一個對偶價格（影子價格）。若其數(shù)值為，表示對應(yīng)約束中不等式右端項若增加一個單位，目標函數(shù)將增加個單位（max型問題）。本例中：第10行對應(yīng)的對偶價格值應(yīng)為，表示當(dāng)約束變?yōu)闀r，目標函數(shù)值 當(dāng)Reduced Cost或Dual Price的值為。表示當(dāng)微小擾動不影響目標函數(shù)。有時，通過分析Dual Price，也可對產(chǎn)生不可行問題的原因有所了解。默認情況下LINGO的靈敏度分析的功能是關(guān)閉的。如果要看靈敏度分析結(jié)果，必須激活靈敏度分析功能才會在求解時給出靈敏度分析結(jié)果。想要激活它，必須運行LINGO|Options命令，選擇Gengral Solver，在Dual Computation列表框

28、中，選擇Prices and Ranges（默認Prices）選項并確定。本題的靈敏度分析結(jié)果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges（目標函數(shù)系數(shù)的靈敏度分析）Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 1.000000 0.0 0.0X2 1.000000 0.0 0.0X3 1.000000 INFINITY 0.0X4 1.000000 15.13186 0.0X5 0.0 0.0 0.0X6 0

29、.0 0.0 0.0X7 0.0 0.0 INFINITYX8 0.0 0.0 1.162101Righthand Side Ranges（約束條件右端常數(shù)項的靈敏度分析）Row Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 380000.0 39519.59 16741.753 262200.0 33601.41 79317.484 408100.0 26377.24 11174.245 130100.0 2580.530 6091.4466 0.0 5123700. INFINITY7 0.0 1890576. 382470.08 0.

30、0 47714.00 112630.89 0.0 47714.00 INFINITY10 250000.0 256061.0 175607.2靈敏度分析：如果作靈敏度分析，則系統(tǒng)報告當(dāng)目標函數(shù)的費用系數(shù)和約束右端項在什么范圍變化（此時假定其他系數(shù)保持不變）時，最優(yōu)基保持不變。報告中INFINITY表示正無窮，如本例中，目標函數(shù)中x4的變量系數(shù)為，當(dāng)它在1-0，1+15.13186=1，16.16186范圍變化時，最優(yōu)基保持不變。第9個約束右端項為250000（飛機汽油2不低于250000），當(dāng)它在250000-175607.2,250000+256061=74392.8,506061范圍內(nèi)變化

31、時，最優(yōu)基保持不變，對偶價格-1保持不變。例12 兩輛鐵路平板車的裝貨問題（美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1988年B題）有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t,以厘米計）及重量（w，以公斤計）是不同的。表1-1-14給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每輛平板車有10.2米長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\的限制，對C5、C6、C7類的包裝箱的總數(shù)有一個特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7厘米。試把包裝箱（見表1-1-14）裝到平板車上去使得浪費的空間最小。表1-1-14 7種規(guī)格的包裝箱的厚度、重量及數(shù)量

32、t（厘米）48.752.061.372.048.752.064.0w（公斤）200030001000500400020001000件數(shù)8796648解：設(shè)第i輛鐵路平板車裝載第種規(guī)格的包裝箱的數(shù)目為，則可以建立整數(shù)規(guī)劃模型。（略）用LINGO10.0求解的程序如下：max=48.7*x11+48.7*x21+52*x12+52*x22+61.3*x13+61.3*x23+72*x14+72*x24+48.7*x15+48.7*x25+52*x16+52*x26+64*x17+64*x27;x11+x21<=8;x12+x22<=7;x13+x23<=9;x14+x24<

33、=6;x15+x25<=6;x16+x26<=4;x17+x27<=8;2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27<=40;48.7*x11+52*x12+61.3*x13+72*x14+48.7*x15+52*x16+64*x17<=1020;48.7*x21+52*x22+61.3*x23+72*x24+48.7*x25+52*x26+64*x27<=1020;48.7*x15+52*x16+64*x17+48.7*x25+5

34、2*x26+64*x27<=302.7;gin(x11);gin(x12);gin(x13);gin(x14);gin(x15);gin(x16);gin(x17);gin(x21);gin(x22);gin(x23);gin(x24);gin(x25);gin(x26);gin(x27);運行結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 2039.400Extended solver steps: 29222Total solver iterations: 68041Variable Value Reduced CostX11 0.

35、000000 -48.70000X21 8.000000 -48.70000X12 7.000000 -52.00000X22 0.000000 -52.00000X13 9.000000 -61.30000X23 0.000000 -61.30000X14 0.000000 -72.00000X24 6.000000 -72.00000X15 0.000000 -48.70000X25 3.000000 -48.70000X16 2.000000 -52.00000X26 1.000000 -52.00000X17 0.000000 -64.00000X27 0.000000 -64.000

36、00Row Slack or Surplus Dual Price1 2039.400 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 3.000000 0.0000007 1.000000 0.0000008 8.000000 0.0000009 6.000000 0.00000010 7.000000 0.00000011 0.3000000 0.00000012 0.3000000 0.00000013 0.6000000 0.000000習(xí) 題 1-11.某糖果廠用原料A、B、C加工成三種不同牌號的糖果甲、乙、丙，已知各種牌號的糖果中A、B、C的含量，原料成本，各種原料的每月限制用量，三種牌號糖果的單位加工費及售價如表1-1-15所示，問該廠每月應(yīng)生產(chǎn)這三種牌號的糖果各多少千克，使該廠獲利最大？建立這個問題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，并用LINGO求解。表1-15 糖果廠生產(chǎn)計劃數(shù)據(jù)表成品原料甲乙丙原