萬有引力與航天基礎復習

1、第六章：萬有引力與航天5 / 101、開普勒行星運動定律第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。第三定律:所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等。即:比值k是一個與行星無關的常量。2、萬有引力定律(1)開普勒對行星運動規(guī)律的描述(開普勒定律)為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎。(2)萬有引力定律公式：m1m22-r_ _11226.67 10 N m /kg(3)萬有引力定律適用于一切物體，但用公式計算時，注意有一定的適用條件。3、萬有引力定律在天文學上的應用。(1)基本方法

2、：把天體的運動看成勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供:2Mmv2G2-m-m rrr在忽略天體自轉影響時，天體表面的重力加速度：g G82 , R為天體半徑。R(2)天體質量，密度的估算。測出環(huán)繞天體作勻速圓周運動的半徑r,周期為 T,由GMmrm4二r得被環(huán)繞天體的質量為T2GT23 r3GT2R2R為被環(huán)繞天體的半徑。當環(huán)繞天體在被環(huán)繞天體的表面運行時，r=R,則3GT2度。(3)環(huán)繞天體的繞行速度，角速度、周期與半徑的關系。_ , Mm由G - rr越大，v越小Mm由G- rm 2r得r越大， 越小2Mm4由G 2 m 2- r得TrTr越大，T越大(4)三種宇宙速度第一宇宙速度(

3、地面附近的環(huán)繞速度)v1二7.9km/s ,人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球作勻速圓周運動的速第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：V2=11.2km/s,使物體掙脫地球束縛， 在地面附近的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：V3=16.7km/s,使物體掙脫太陽引力束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度。（1）測天體的質量及密度：（萬有引力全部提供向心力）2Mm2由G m rr2T4 2r3GT243又 M- R333 r3GT2R3【例11繼神秘的火星之后,今年土星也成了全世界關注的焦點！經過近 7年35.2億公里在太空中風塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間6

4、月30日（北京時間7月1日）抵達預定軌道,開始“拜訪” 土星及其衛(wèi)星家族。這是人類首次針對土星及其31顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測！若“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為to試計算土星的質量和平均密度。解析：設“卡西尼”號的質量為m, 土星的質量為 M. “卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供.G Mm 2 m(R h)(J)2,其中 T (R h)T所以：M4 2n2(R h)3Gt2R3,M 3 n2 (R h)3VGt2R3模型2:2011年11月8日，螢火1號”火星探測器發(fā)射升空.假設探

5、測器在離火星表面高度 分別為回和餐的圓軌道上運動時，周期分別為7l和火.火星可視為質量分布均勻的球體 且忽略火星白自轉影響，萬有引力常量為G.僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計算出（）A.火星的密度和火星表面的重力加速度B.火星的質量和火星對螢火一號”的引力C.火星的半徑和螢火一號”的質量D.火星表面的重力加速度和火星對螢火一號”的引力解:A、因為萬有引力提供探測器做圓周運動的向心力，則有:標而二皿藥他+町聯(lián)立方程可求得火星的質量M和火星的半徑R,根據(jù)密度公式得：CMm在火星表面的物體有可得火星表面的重力加速度cmu =R-，所以可得出火星的密度和火星表面的重力加速度，所以A選項是正確的.B、從A選項分析

6、知道可以求出火星的質量 ，因為不知道 螢火一號”的質量，所以不能求出火 星對螢火一號”的引力，故B錯誤.C、從A選項分析知道可以求出火星的質半徑，不能求出 螢火一號”的質量，故C錯誤.D、從A選項分析知道可以求出火星的表面的重力加速度，因為不知道 螢火一號”的質量，所以不能求出火星對 螢火一號”的引力，故D錯誤.所以A選項是正確的.(2)行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：(重力近似等于萬有引力) 黃金代換式表面重力加速度:G雪R2GMmgogo 2RGMmGM軌道重力加速度： 2 mgh gh 2R hR h【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g。，行星的質量

7、M與衛(wèi)星的質量m之比M/m=81,行星的半徑Ro與衛(wèi)星的半徑R之比Ro/R = 3.6,行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R。之比r/Ro = 60。設衛(wèi)星表面的重力 加速度為g,則在衛(wèi)星表面有 GMm mg經過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。解析：題中所列關于 g的表達式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的向心加 速度。正確的解法是衛(wèi)星表面Gm = g行星表面怨二go即昌2工且即g =。倒0。R2RoR M go莫型 2 :已知地球半徑為地球表面重力加速度為不考慮地球自轉的影

8、響。(1)推導第一宇宙速度 ”1的表達式；hT(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動， 運行軌道距離地面高度為，求衛(wèi)星的運行周期。答案設衛(wèi)星的質量為m ,地球的質量為MMmvi M in tu- G -r-在地球表面附近滿足,二r 一 i 丁-一衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力n 尺2式代入式，得到,(2)考慮式，衛(wèi)星受到的萬有引力為= M m = 國足一(/? + 產(n + hy 由牛頓第二定律:、式聯(lián)立解得(R+%)347r°(A + A)3、人造衛(wèi)星、宇宙速度：宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1 （如圖所示），然后再次點火，

9、將衛(wèi)星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點，2、3相切于P點，則當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道 上正常運行時，以下說法正確的是：A.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于軌道1上的速率。B.衛(wèi)星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度。C.衛(wèi)星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2 上經過Q點時的加速度。GMv3)r2Mm mv ，口解：由G1-得vr rGMD.衛(wèi)星在軌道2上經過P點的加速度等于它在軌道 3 上經過P點時的加速度。10 / 10軌道3的半徑比1的大，故A錯B對，“相切”隱含著切點彎曲程度相同，即衛(wèi)星在切點時兩軌道瞬時運行半徑相同，又aGM故C錯D對。模型2:如圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為

10、 F ,運行速率為“1,向心加速度為；地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為"2 第一宇宙速度為"2,地球半徑為則下列比值正確的是（）。_2_ p 2選項分析：A、B項，同步衛(wèi)星與地球自轉的角速度相同，一廠山，02 一九3 ,_ rGMmi _口2 - R,故A項正確，B項錯誤。C、D項，同步衛(wèi)星： 一7 ,對于近地GMtR2V _ lR衛(wèi)星： R2 = R ,后V T ,故C項錯誤，D項正確。綜上所述，本題正確答案為AD0模型3:如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分 k ,/ / 、JA: a、b的線速度大小之比是" 1B:

11、 a、C: a、b的角速度大小之比是3v* D d： a、 選項分析：A項，根據(jù)萬啟引力與行星線速度的關系% =叵=/ + 2H _b的線速度大小之比為Y % V R + Rb的周期之比是1 ： 2v29 4b的向心加速度大小之比是mv2 也 _ / GM一 得V r ,所以a、=V3 ： /2,故A項錯誤。別是"和2"（"為地球半徑）。下列說法中正確的是（）。GMm2;r 24K2T3 ()-/ j 4 /b項，根據(jù)萬有引力與行星繞轉周期的關系產 一得 V GM"一屋一廬空":3代所以a、b的周期之比為Th V，皆V (R + 2*3,故b項

12、錯誤。GMm 2GM-7TI. L(J T ItJ 1 / C項，根據(jù)萬有引力與行星角速度的關系浮得 V r3 ，所以a、b 的角速度之比為，故C項正確GM inD項，根據(jù)萬有引力與行星加速度的關系,所以a、b的加速14 / 10。口 _ 可.(R += 9 . 4度之比為&b ra2(宜+五產,故D項正確。綜上所述，本題正確答案為 CD4、雙星問題：【例4】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做 周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為 R,其運動周期為T,求兩星的 總質量。解析：設兩星質量分別為 Mi和M2,都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和

13、星球2到O的距離 分別為li和|2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得對 Mi： GM1M2=MiR22 、2)2 liT“4GT2對 M2： GM1M2=M2R22-) 2 l2T4 2R2|2Mi=六GT24 2R2 ,4 2R3兩式相力口信 Mi + M2= (li+l2)=-GT2GT2模型2:經長期觀測人們在宇宙中已經發(fā)現(xiàn)了雙星系統(tǒng)“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體.如 圖,兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的。點做周期相同的勻速圓周運動.現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L,質量之比為&qu

14、ot;"："打=；"2 .則可知（）A.川、叫做圓周運動的線速度之比為2 : 3B .'"、做圓周運動的角速度之比為3:2C.“門做圓周運動的半徑為 小 D.”但做圓周運動的半徑為 小解:雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，故有:竄1 = _ L T-2 = L=-=所以可得L 3 ,：A、據(jù)"心可以知道 產 3 ,所以A選項是正確的；231 = =工 £B、因為雙星的角速度相等，故B錯誤;C、因為 1 ，所以C錯誤;D、因為一'， 所以D選項是正確的.所以AD選項是正確的.5、有關航

15、天問題的分析：【例5】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為 H = 3. 4 105m的圓軌道上運行了 47 小時。求在這段時間內它繞行地球多少圈？ （地球半徑R=6.37 106m,重力加速度g = 9.8m/s2）解析：用r表示飛船圓軌道半徑 r=H+ R=6. 71 106m。M表示地球質量，m表示飛船質量，表示飛船繞地球運行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得 GMm m 2r利用gM =g得 哼=2由于 =入，T表示周期。解得r2R2r3TT=二又n=匚代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為 n=31。R . g T練習:1 .如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，

16、它們距地面的高度分別是 R和2R （為地球半徑）0下列說法中正確的是（A: a、b的線速度大小之比是： 1C: a、b的角速度大小之比是3、樂:4B: a、b的周期之比是1 ：D: a、b的向心加速度大小之比是9 + 42.近地人造衛(wèi)星1和2繞地球做勻速圓周運動的周期分別為和乙，設在衛(wèi)星1星2各自所在的高度上的重力加速度大小分別為 91、92,則（）3 .某網站報道，美科學家發(fā)現(xiàn)太陽系外第一顆“全宜居”行星，其質量約為地球質量的6.4倍.如果某一天發(fā)射一顆載人航天器到該行星上去，測得一個在地球表面質量為50kg的人在該行星表面的重力約為800N,而地球表面處的重力加速度為 10 m/s2.根據(jù)

17、上述信息，你認為下列說法中 正確的是（）A.載人航天器的發(fā)射速度約為7.9km/sB,載人航天器的發(fā)射速度小于11.2km/sC .該行星的半徑與地球的半徑之比約為2D .該行星的半徑與地球的半徑之比約為 34 .嫦娥一號”于2009年3月1日下午4時13分成功撞月，從發(fā)射到撞月歷時433天標志我國一期探月工程圓滿結束.其中，衛(wèi)星發(fā)射過程先在近地圓軌道繞行 3周，再長途跋涉1進入近月圓軌道繞月飛行.若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的月球半徑為地球半徑的根據(jù)以上信息得（）A.繞月與繞地飛行周期之比為B.繞月與繞地飛行周期之比為C .繞月與繞地飛行向心加速度之比為，i： 1 D .月球與地球質量之比為1 ： 065 .嫦娥二號衛(wèi)星已成功發(fā)射，這次發(fā)射后衛(wèi)星直接進入近地點高度200公里、遠地點高度名38萬公里的地月轉移軌道直接奔月.當衛(wèi)星到達月球附近的特定位置時，衛(wèi)星就必須急剎車”也就是近月制動，以確保衛(wèi)星既能被月球準確捕獲，又不會撞上月球，并由此進入近 月點100公里、周期12小時的橢圓軌道a.再經