2020-2021中考數(shù)學(xué)——相似的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)附答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)一一相似的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)附答案、相似1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=- x+ J與x軸、y軸分別交于點(diǎn) B A,與直線y=相交于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)在x軸上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)在OC上以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，向 。勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒(Ovtv(2)連接PQ,若4OPQ與OBC相似，求t的值；(3)連接CR BQ,若CP BQ,直接寫出點(diǎn) P坐標(biāo).4 464C【答案】(1)解：對(duì)于直線y= - J x+ 3 ,令x=0,得到y(tǒng)= 3 ,46A (0, J ),令 y=0,則 x=10,B (10, 0),C ( 5 ,

2、 J)3F 二 rr4F 346由-7 , J,解得=10BC=OP OQ(2)解：當(dāng)淑 酸時(shí)，OPMOCB,5t 8 - 4t S 一 川,t= 7i. OPM OBC, t=1,32綜上所述，t的值為 或1s時(shí)，4OPQ與OBC相似/ OCB=90 ； 當(dāng)/PCH=Z CBQ 時(shí)，PCX BQ. / PHO=Z BCO=90 ；8 : 4 t - 6?1=占或0 (舍棄)，.t= g s 時(shí)，PCX BQ.【解析】【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出A,B點(diǎn)的坐標(biāo)，解聯(lián)立直線AB,與直線OC的解析式組成的方程組，求出 C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可直接 算出OC,OB的長(zhǎng)

3、；(2)根據(jù)速度乘以時(shí)間表示出 OP=5t, CQ=4t, OQ=8-4t,當(dāng)OP ： OC=OQ： OB時(shí)， OPQsocb,根據(jù)比例式列出方程，求解得出t的值；當(dāng)OP： OB=OQ： OC時(shí)， OPQsobc,根據(jù)比例式列出方程，求解得出 t的值，綜上所述即可得出 t的值；(3)如圖作 PHIOC于H.根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出/OCB=90,從而得出當(dāng)/PCH=/ CBQ時(shí)，PCX BQ.根據(jù)同位角相等二直線平行得出PHI/ BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 OP： OB=PH： BC=OH： OC根據(jù)比例式得出 PH=3t, OH=4t,根據(jù)等角的同 名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定

4、義，由tan/PCH=tan/ CBQ列出方程，求解得出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得出答案。2.如圖，在 4ABC中，/C= 90, AC= 8, BC= 6。P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于 A、B兩 點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P分別作AC BC邊的垂線，垂足為 M、N設(shè)AP=x.(2)當(dāng)x=時(shí)，矩形PMCN的周長(zhǎng)是14;(3)是否存在 x的值，使得4PAM的面積、4PBN的面積與矩形 PMCN的面積同時(shí)相 等？請(qǐng)說(shuō)出你的判斷，并加以說(shuō)明?！敬鸢浮?1) 105(3)解：PMXAC, PN BC,/ AMP=Z PNB=Z C=90o. .AC/PN, ZA=Z NPB. AMPs PNBs ABC.當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，

5、可得 AMPZPNB此時(shí) Samp=Sapnb= j X 4X 3=6而 S 矩形 pmcn=PM.MC=3 4=12.所以不存在x的值，能使 AMP的面積、4PNB的面積與矩形 PMCN面積同時(shí)相等.【解析】【解答】(1)4ABC為直角三角形，且 AC=8, BC=6, ： AB =也 1 + BC=+ * = (2 ) PMXAC PN! BC.MP / BC, AC/ PN (垂直于同一條直線的兩條直線平行)，PM 4F PN BF 比如，AC .世. AP=x, AB=10, BC=6, AC=8, BP=10-x,BC J AP63PM 二- =- VABiO54(10 - x)心-

6、 2 T7AC .段AB 8一(10 - x)10，矩形 PMCN 周長(zhǎng)=2 (PM+PN) =2 (3 x+8- 5 x) =14,解得 x=5;【分析】在 ABC中，/C=90, AC=8, BC=6根據(jù)勾股定理，可求出 AB的長(zhǎng)；AP=x,可以得到矩形PMCN的周長(zhǎng)的表達(dá)式，構(gòu)造方程，解方程得到x值.可以證明 AMP PNB ABC,只有當(dāng) P為 AB中點(diǎn)時(shí)，可得AMP0PNB, 此時(shí) Saamp=Spnb , 分別求出當(dāng) P為AB中點(diǎn)時(shí) PAM的面積、4PBN的面積與矩形 PMCN的 面積比較即可.3.如圖，在。0中，直徑 AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,點(diǎn)M在OD上，AM的延長(zhǎng)線交。于 點(diǎn)G

7、,交過(guò)D的直線于F,且/BDF=Z CDB, BD與CG交于點(diǎn)N.DC(1)求證：DF是。的切線;必是。C的切線(2)解：猜想：MN /AB. 證明：連結(jié)CB.直徑AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)E,=,=,|=.乙爾彳.工淵.第一用；1方 丁聲.|,6宓=,嚓我必+ AO 0M,“萬(wàn)一而.J.1 -DO 0M f “而一而* DO DM防一防I；.斯=.學(xué)鵬 .|優(yōu)朋必獨(dú)一 3.MN / AB.【解析】 【分析】(1)要證 DF是。O的切線，由切線的判定知，只須證/ODF=即可。由垂徑定理可得 AB CD,貝U / BOD+/ ODE=油,而/ ODF=/ CDF+Z ODE,由已知易 得/BOD=/

8、CDF,則結(jié)論可得證；(2)猜想：MN/AB.理由：連結(jié) CB,由已知易證CBNAOM ,可得比例式AO OMDO DM仃 比，于是由已知條件可轉(zhuǎn)化為四 曲一，/ODB是公共角，所以可得 MDNAODB,貝U/DMN=/DOB,根據(jù)平行線白判定可得 MN /AB。4.如圖，在 4ABC 中，AB=AC, /BAC=90, AHXBC 于點(diǎn) H,過(guò)點(diǎn) CAD,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)，且 AM=CD,連接BM交AH于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)作CD AC,連接E.CH求 BMC的面積;AB=3, AD=班,求證：AD= . BN .E為AD的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)/ BAM= Z ACD=90 , AM=CD , ABMAC

9、AD,BM=AD=AM=3精一疹=1 , CM=CA - AM=2 ,SA BCM =?CM?BA=-(1)若X 23=3(2)解：如圖 2中，連接 EG CN,彳EQ BC于Q, EF)BA于P.P1 . AE=ED ,/ACD=90 , AE=CE=ED , / EAC=Z ECA ,-. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD ,ZABM=ZMCE ,/ Z AMB=Z EMC , . / CEM=/ BAM=90 ,陛期 眼q2 .ABMAECM, 門/ 昂, 兒獷 昂, ZAME=Z BMC, . AMEs BMC,Z AEM=Z ACB=45 ,，/AEC=135 , 易 知 /

10、 PEQ=135 ,. . / PEQ=/AEC ,，/AEQ=/ EQQ Z P=Z EQC=90, EPAEQC, . EP=EQ / EP BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z NBC=22.5 / ENC之 NBC+Z NCB=45AENC的等腰直角三角形，NC=eC- EG . .AD=2EC, .2NC=kW AD, . AD= 三 NC, / BN=NC, ，AD= BN.【解析】【分析】(1)首先利用 SAS判斷出ABM ACAD,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 得出BM=A

11、D=號(hào)4根據(jù)勾股定理可以算出 AM,根據(jù)線段的和差得出CM的長(zhǎng)，利用1Sabcm= -?CM?BA即可得出答案；(2)連接EG CN,作EQ BC于Q, EP BA于P.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半得出 AE=CE=ED根據(jù)等邊對(duì)等角得出 / EAC=Z ECA,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 得出ZABM=ZCAD,從而得出 /ABM=/MCE,根據(jù)對(duì)頂角相等及三角形的內(nèi)角和得出 /CEM=/BAM=90 ；從而判斷出 ABMsECM,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BM :CM= AM : EM,從而得出 BM : AM= CM ： EM,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等得出 AMEABM

12、C,故 / AEM=/ACB=45； /AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPm EQQ故EP=EQ根據(jù)角平分線的判定得出 BE平分/ ABC,故/ NBC=Z ABN=22.5 :根據(jù)中垂線定理得出NB=NC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/ NCB=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NC= /EC,根據(jù)AD=2EC, 2NC=4工AD , AD= .NC,又 BN=NC,故 AD= . BN.5.已知在矩形

13、 ABCD中，AB=2, AD=4. P是對(duì)角線 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P不與點(diǎn)B、D 重合)，過(guò)點(diǎn) P作PF,BD,交射線 BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AP,畫/FPEBAP, PE交BF于點(diǎn)E.設(shè) PD=x, EF=y.AD AD AD將1備用圖翁用圖(1)當(dāng)點(diǎn)A、P、F在一條直線上時(shí)，求 ABF的面積；(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;(3)聯(lián)結(jié)PC,若/FPC=/ BPE,請(qǐng)直接寫出 PD的長(zhǎng).【答案】(1)解：如圖，矩形 ABCD ,士劣曲=/MF =.A、P、F在一條直線上，且 PF BD,BE 1 tan i助產(chǎn)AB 士5由-AB*BF - - A

14、2X1-1(2)解： PFL BP, . ZBPFAB r .anz J/ -AD. /加. /PBF = 90-： ZABF = 90.上為郎/陽(yáng)5 ,又,：人BAP =Z FPE/PBF + ZABP 90AB 毋. |je*s m , .樂(lè)一說(shuō),. ADZ/BC , .上山出-(3)解：/CPF之 BPE如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在CE上時(shí),3 / BPF=Z FPD=90 , Z DPC=Z FPE4 / FPEBAP,/ DPC=Z BAP,5 . ABZ/CD,Z ABD=Z CDB,6 .PABACPD, .PB: CD=AB: PD, .PBPD=CDA B,. x (- A)=2 X2

15、. x= 3 J -如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在EC延長(zhǎng)線上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PNLCD于點(diǎn)N,在CD上取一點(diǎn) M,連接PM,使/MPF=/CPF,則有 PC: PM=CH: MH, / BPF=Z DPF=90 ,/ BPC=Z DPM, / BPE土 CPF,/ BPE=Z EPF ./BAP=/FPE，/BAP=/DPM, / ABD=Z BDC, .PABAMPD, .PB: MD=AB: PD,由 PD=x, tan / PDM=tan / PFC=2,v夕y/s易得：DN= 5, PN= 5, CN=2- 5 ,小 5xPH=2x, FH=, CH=2- . x,由PB: MD=AB: PD可得M

16、D= E ,從而可得MN,在RtA PCN中利用勾股定理可得 PC,由 PC: PM=CH: MH 可彳導(dǎo) PM,在在RtA PMN中利用勾股定理可得關(guān)于 x的方程，-中/心解得x= 5,綜上：PD的長(zhǎng)為：雁士或 5【解析】【分析】（1）要求三角形 ABF的面積，由題意只須求出BF的長(zhǎng)即可。根據(jù)同角AB BF I的余角相等可得 / BAF=Z ADB,所以tan / PBF=tanZ ADB= 加 ，結(jié)合已知即可求得BF的長(zhǎng)，三角形 ABF的面積=_AB BF;(2)要求 y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，由題意只須證得ABAD小PE,從而得出比例AB 團(tuán)式;匠一應(yīng)，現(xiàn)在需求出PF的長(zhǎng)，代入比例式即可得

17、 y與x的關(guān)系式。(3)由已知條件過(guò)點(diǎn) P作PF BD,交射線BC于點(diǎn)F可知，點(diǎn)F可能在線段 CE上，也可 在CE的延長(zhǎng)線上，所以分兩種情況求解即可。6.如圖，在矩形 ABCD中，M J, CD ,九點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，EE =三，連接AE, DF上壯交于點(diǎn)F.B E C11)求證：A AEE| 叁 A DFA ；(2)連接CF,求占hi-DCFl的值；(3)連接AC交DF于點(diǎn)G,求星的值.【答案】(1)證明：二四邊形ABCD是矩形,/ BAD=Z ADC=Z B=90 ； AB=CD=4,.DFXAE,/ AFD=90 ；3 / BAE+/ EAD=Z EAD+/ ADF=90 ；/ BAE

18、=Z ADF, 在 RtABE 中，4 . AB=4, BE=3,.AE=5,在 ABE和ZDFA 中，/ABE - DFABAE =*77川 AE = AD5 .ABEADFA (AAS)(2)解：連結(jié)DE交CF于點(diǎn)H, .ABEADFA, .DF=DC=4, AF=BE=3 .CE=EF=2 DEXCF, / DCF-+Z HDC=Z DEC+Z HDC=90 ； / DCF玄 DEC, 在 RtDCE 中，,. CD=4, CE=2DE=2 5 ,CD 4 Rl sin / DCF=sinZ DEC= (3)過(guò)點(diǎn)C作C。AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K,.DFXAE,.CK/ DF,AG 如G

19、C Fh ?在 RtA CEK中,EK=CEcos/ CEK=CE:osZ AEB=26 Ih- FK=FE+EK=2+J = 5AC石一五.3lb5/ BAE=Z ADF,【解析】【分析】(1)由矩形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，同角的余角相等可得在RtAABE中，根據(jù)勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判定AAS可得AB4DFA.(2)連結(jié) DE交CF于點(diǎn)H,由(1)中全等三角形的性質(zhì)可知DF=DC=4 AF=BE=3由同角的余角相等得Z DCF=Z DEC,在RtDCE中，根據(jù)勾股定理可得DE=2ft，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可得答案.(3)過(guò)點(diǎn) C作CKiLAE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K,由平行線的推論

20、知AG AACK DF,根據(jù)平行線所截線段成比例可得在 瓦，在RtCEK中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定d義可得EK=，從而求出FK,代入數(shù)值即可得出答案.7.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角燈與口滿足-仃十月= 90。，那么我們稱這樣的三角形為準(zhǔn)(1)若 4ABC 是 準(zhǔn)互余三角形 ，/C 90, /A= 60,則/B=(2)如圖，在 RtABC 中，/ACB= 90, AC= 4, BC= 5,若 AD 是/BAC 的平分線，不難證明4ABD是準(zhǔn)互余三角形試問(wèn)在邊 BC上是否存在點(diǎn) E (異于點(diǎn) D),使得 ABE也是 推互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出 BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖,在四邊形 ABC

21、D 中，AB=7, CD= 12, BD CD, Z ABD= 2/BCD,且 ABC 是準(zhǔn)互余三角形求對(duì)角線AC的長(zhǎng).【答案】(1) 15(2)解：存在,如圖，連結(jié)AE,/ B+/BAC=90 ,.AD是/ BAC的平分線,Z BAC=2/ BAD,/ B+2/ BAD=90 .ABD是 準(zhǔn)互余三角形”，又ABE也是 推互余三角形/ B+2/ BAE=90 ； / B+/BAE+/ EAC=90, / EAC1 B,又ZC=Z C, .CAECBA, CA Cb. . CB 白，即 CA2=CB ce,. AC=4, BC= 5,3 .CE=BE=BC-CE=5-=.(3)解：如圖，F(xiàn)WAB

22、CD沿BC翻折得到ABCF, .CD=12, . CF=CD=12 / BCF=Z BCD/ CBD=Z CBF, 又- BD CD, / ABD=2/ BCD, / CBD+Z BCD=90 , .2 / CBD+2Z BCD=180 ,即 / ABD+Z CBD+Z CBF=180 , A、B、F三點(diǎn)共線,在 RtAFC 中， / CAB+Z ACF=90 , 即 / CAB+Z ACB+Z BCF=90 , / CAB+2Z ACBw 90 ABC是 推互余三角形”， .2 / CAB+Z ACB=90 ；/ CAB=Z BCF, / F=Z F, .FCBFACFC FB 二FA 汽,

23、即 FC2=FAFB,設(shè) BF=x,.AB=7, . FA=x+7,. x （x+7） =122,解得：xi=9, x2=-16 （舍去）.AF=7+9=16.在 RtAFC 中，AC=44卡（產(chǎn)=話+存=20.【解析】【解答】（1）解：.ABC是稚互余三角形”，ZO 90, /A=60, .2/ B+/A=90 ； .2 / B+60 =90 ;/ B=15 :故答案為：15【分析】（1）根據(jù) 準(zhǔn)互余三角形”，的定義，結(jié)合題意得2/B+/A=90。，代入數(shù)值即可求出/B度數(shù).（2）存在，根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得/ B+2/BAD=90 ,根據(jù)準(zhǔn)互余三角形”，定義即可得4ABD

24、是 準(zhǔn)互余三角形”；根據(jù)4ABE是 準(zhǔn)互余三角形”，以及直角 三角形兩內(nèi)角互余可得 / EAC=Z B,根據(jù)相似三角形判定 “AAT得 CA上 CBA,再由相似CA CE16三角形性質(zhì)得CB CA也此求出CE= 6 .從而得BE長(zhǎng).（3）如圖，W BCD沿BC翻折得到4BCF根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、推互余三FC FB角形”定義可得到FCNFAG再由相似三角形性質(zhì)可得 E4 抑，設(shè)BF=x，代入數(shù)值即 可求出x值，從而求出AF值，在RtAFC中，根據(jù)勾股定理即可求得AC長(zhǎng).8.如圖，拋物線丫 =心二必f經(jīng)過(guò)3,勿，B何”兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C, 連接 AB, AC, BC.(1)求拋物線的表

25、達(dá)式；(2)求證：AB平分2CAO;(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得 乙AHM是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.- J)-4=0【答案】(1)解：將Af 刀，Be”代入得：少施#加 11，/Ja - - b -解得： 打,心，_ 1 , 5: I拋物線的解析式為 “一下 ?解：|口 ： A0 0C =AC j取D僅。，則AD =虻- 3 ,? BD BI ,在 / ABC 和 匚 ABU 中，AD =鼠，AB 汕，BD - BC,| , 二入ABC04題 4AB =/BAD皿平分-CAO(3)解：如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)

26、F.r NMAB = 90 I1: Lan-Y,AE =d【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式,求出a、b的值，即可解答。(2)利用勾股定理，在 RtAAOC中，求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出BD的長(zhǎng)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，求出 BC的長(zhǎng)，可證得 BD=BQ然后證明 ABC ABD ,利用 全等三角形的性質(zhì)，可證得結(jié)論。(3)拋物線的對(duì)稱軸交 x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)F.求出拋物線的對(duì)稱軸，就可求出 AE的 長(zhǎng)，再利用點(diǎn) A、B的坐標(biāo)，求出tan/EAB的值，再由 / MAB = 90 ,求出tan/MAE的值，求出 ME的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn) M的坐標(biāo)

27、，再用同樣的方法求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可解答。9.如圖，在菱形 ABCD中，4=沆/，題=九點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接 DE,AE.(1)求DE的長(zhǎng)；點(diǎn)F為邊CD上的一點(diǎn)，連接 AF,交DE于點(diǎn)G,連接EF,若上加。=/拘% ,求證：靖E s 陽(yáng);求DF的長(zhǎng).【答案】(1)解：連結(jié)BD/四 邊形鄴CD是菱翔 CB = CD = AB = 4tCDB址等邊三電泄二 DB = DC = BC =丫點(diǎn)E是過(guò)BC的中黑1二 BE -EC - -BC - 2.：DE 1 BC : DE =- Of =地(2)解：一昂拓-乙FEG. ZAGD 二9,：A ACD sW EGF.AG 必| 4 7 ZACE =

28、NMFJI AGE s/1 陽(yáng)J* CF = FH + CH = 2 + 1 = 3二 DF = CD - CF = 1【解析】【分析】(1)連結(jié)BD ,根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法首先判定出 CDB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出DE，BC, CE=2然后利用勾股定理算出DE的長(zhǎng)；AG DG(2)首先判斷出 AGgEGF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出EG 凡，又ZAGE=Z DGF,故AG&DGF;根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及含 30。直角三角形的邊之間的關(guān)系及勾股定理得出EF的長(zhǎng)，然后過(guò)點(diǎn)E作EHI DC于點(diǎn)H,在RtECH中，利用勾股定理算出 FH的長(zhǎng)，從而根據(jù)線段 的和差即可

29、算出答案.10.問(wèn)題提出;5 P CQ C 3C圖1圖2圖3(1)如圖1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn) P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，CP= 時(shí)， APE的周長(zhǎng)最小.(2)如圖2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn) P、點(diǎn)Q為BC上的動(dòng) 點(diǎn)，且PQ= 2,當(dāng)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn) P的位置(即BP的長(zhǎng))問(wèn)題解決；(3)如圖3,某公園計(jì)劃在一片足夠大的等邊三角形水域內(nèi)部(不包括邊界)點(diǎn) P處修一 個(gè)涼亭，設(shè)計(jì)要求 PA長(zhǎng)為100米，同時(shí)點(diǎn) M, N分別是水域 AB, AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接 P、M、N的水上浮橋周長(zhǎng)最小時(shí)，四邊形 A

30、MPN的面積最大，請(qǐng)你幫忙算算此時(shí)四邊形 AMPN面積的最大值是多少？【答案】(1)工(2)解：點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到 M,點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接MF ,交BC于Q, 此時(shí)MQ+EQ最小， . PQ=3, DE= CE= 2, AE= 2短；，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,過(guò) M 作 MNBC于 N, .MN / CD .MNQsCQcf a2 行-NQ- 寸 AQ .NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2- 2=4(3)解:如圖，作點(diǎn) P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn) G,作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交 AB, AC于點(diǎn)M, N,此

31、時(shí)APMN的周長(zhǎng)最小.-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 ,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30過(guò)點(diǎn)A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米， .GH= 100 3 米，口二 Saagh= 金GH X AO 2500，口平方米，S 四邊形 ampn= Saagm+Sanh= Sagh- Saamn , Sa amn 的值最小時(shí)，s四邊形 AMPN 的值最大，10（3.MN = GM=NH=3 時(shí)5000S 四邊形 ampn= Saagh Saamn =25

32、00 口 -3=3 平方米.【解析】【解答】（1）二.四邊形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB=CA4, BC= AD= 8,.E為CD中點(diǎn), .DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得：AE=+改=，同*4=26, 即 APE的邊AE的長(zhǎng)一定，要 APE的周長(zhǎng)最小，只要 AP+PE最小即可，延長(zhǎng)AB到M ,使BM = AB= 4,則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，連接EM交BC于P ,此時(shí)AP+EP的值最小, 四邊形ABCD是矩形， .AB/ CD , .,.ECFAMBP ,CE 臼2 CP .A.CP=故答案為：【分析】（1）延長(zhǎng)AB至ij M ,使BM=AB,則A和M關(guān)于BC對(duì)

33、稱，連接 EM交BC于P,此時(shí)AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長(zhǎng)，根據(jù)矩彩f質(zhì)得出 AB/ CD,推出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 CP長(zhǎng)；(2)點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到 M, 點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接 MF,交BC于Q,要使四邊形 APQE的周長(zhǎng)最小，只要 AP+EQ最小就行，證 MNQsFCQ即可求BP的長(zhǎng)；(3)作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn) G, 作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB, AC于點(diǎn)M, N,此時(shí) PMN的周長(zhǎng)最小.S四 邊形 ampn=Saagm+Saanh=Saagh-Sa amn , 即Sa amn的值最小時(shí)，S四邊形ampn的值最大.11.如圖

34、，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E, F分別在邊 AB, AD上，且/ ECF= 45, CF的 延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G, CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接AC, EF. , GH.占用圖(1)求/AHC與/ACG的大小關(guān)系(冬”或2或竺”)(2)線段AC, AG, AH什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè) AE= m,4AGH的面積S有變化嗎？如果變化.請(qǐng)求出 S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請(qǐng) 求出定值. 請(qǐng)直接寫出使4CGH是等腰三角形的 m值.【答案】(1)二.四邊形ABCD是正方形，,-.AB=CB= CD= DA= 4, / D= / DAB= 90 Z DAC= Z BAC

35、= 45 ,.-.ac=尸=2 , / DAC= / AHC+Z ACH= 45 , / ACH+ Z ACG= 45 , / AHC= / ACG.故答案為=.(2)解：結(jié)論：AC?=AG?AH .理由：ZAHC= Z ACG , /CAH=/CAG= 135, .AHCAACG , ). .AC2 = AG?AH .(3)解：AAGH的面積不變.L? /理由 :aAGH = ? ?AH?AG= - AC2= - X(4 U:)2=16.AGH的面積為16.如圖1中，當(dāng)GC= GH時(shí)，易證 AAHGABGC ,可得 AG= BC= 4, AH=BG= 8,1. BC/ AH ,BC BE 1.而一9二,AE= : AB= J .如圖2中，當(dāng)CH= HG時(shí),易證 AH=BC= 4,1. BO/ AH ,匣 BC . 五一篇=1, .AE= BE= 2.如圖3中，當(dāng)CG=CH時(shí)，易證/ ECB= / DC已22.5./ BME= /BEM=45 , / BME= /MCE+/MEC , / MCE= / MEC= 22.5 , .CM=EM ,設(shè) BM=BE= m ,貝U CM= EMt2 m