第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽第二試 試題

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽 第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽第二試及答案1寫(xiě)出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)。2.四邊形abcd被ac和db分成甲，乙，丙，丁4個(gè)三角形（如圖）。已知：be=80cmce=60cm，de=40cm，ae=30cm。問(wèn)：丙、丁兩個(gè)三角形面積之和是甲、乙兩個(gè)三角形面積之和的多少倍？3已知： ,問(wèn)：a除以13所得余數(shù)是幾？4某班在一次數(shù)學(xué)考試中，平均成績(jī)是78分，男、女生各自的平均成績(jī)是75.5分、81分。問(wèn)：這個(gè)班男、女生人數(shù)的比是多少？5某玩具廠生產(chǎn)大小一樣的正方體形狀的積木，每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)3種顏色中的1種，每色各涂2個(gè)面當(dāng)兩個(gè)積木經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆瓌?dòng)以后，能

2、使各種顏色的面所在位置相同時(shí)，它們就被看作是同一種積木塊。試說(shuō)明：最多能涂成多少種不同的積木塊？6 一條雙向鐵路上有11個(gè)車(chē)站，相鄰兩站都相距7千米從早晨7點(diǎn)開(kāi)始，有18列貨車(chē)由第十一站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向第一站，速度都是每小 時(shí)60千米早晨8點(diǎn)，由第一站發(fā)出一列客車(chē)，向第十一站駛?cè)?，時(shí)速是100千米。在到達(dá)終點(diǎn)站前，貨車(chē)與客車(chē)都不?？咳魏我徽尽?wèn)：在哪兩個(gè)相鄰站之間，客車(chē)能與3列貨車(chē)先后相遇？1.361，400，441，484，529，576和6252.倍3.余數(shù)是84.男女生人數(shù)比為655.共有6種不同的積木塊6.在第五、六兩站之間，客車(chē)與3列貨車(chē)相遇1.【解】如果a是自然

3、數(shù)n的約數(shù)，那么也是n的約數(shù)，所以，n的約數(shù)a與可以配成一對(duì)，只有在na2時(shí)。a與才會(huì)相等，所以在n不是平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)兩兩配成從而約數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；在n是平方數(shù)a2時(shí)，它的約數(shù)a只能與自己配對(duì)，所以n的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)。在360到630間有7個(gè)平方數(shù)(192361360252625630，251917)，所以有7個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù),它們?yōu)椋?61，400，441，484，529，576和625。2.【解】：80：402：1，：60：302：1 ：60：302：1所以，（）：()(2)：25：45：4。答：丙與丁這兩個(gè)三角形的面積之和是甲與乙兩個(gè)三角形面積之和的倍。3.【解】19911991

4、1991被13整除。有1991個(gè)1991因?yàn)?991除以3余2，所以a除以13與19911991除以13，所得余數(shù)相同。19911991除以13余8，因此a除以13的余數(shù)也是8答：a除以13所得余數(shù)為8。4.【解】已知全班平均成績(jī)是78分，而男生平均成績(jī)?yōu)?5.5分，因此每個(gè)男生比平均分少(7875.5)分，而每個(gè)女生比平均分多(8178)分。男生總共少的分?jǐn)?shù)應(yīng)該等于女生總共多的分?jǐn)?shù)，所以有(7875.5)×男生數(shù)(8178)×女生數(shù)，因此，男生數(shù)女生數(shù)(8178)(7875，5)65答：男、女生人數(shù)比是65【又解】設(shè)男、女生人數(shù)分別為a、b，則75.5×a81&

5、#215;b78×(ab)所以(8l一78)×b(7875.5)×a答：男、女生人數(shù)的比是65，5.【解】總可以使下底面為紅色。如果上底面也是紅色，通過(guò)翻動(dòng)，可以使前面為黃色，左面不是黃色，這時(shí)后面可以是黃色，也可以是藍(lán)色，有2種。如果上底面不是紅色，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，可以使后面為紅色，這時(shí)又分兩種情況：(1)前面與上面同色，可以同為黃色，也可以同為藍(lán)色，有2種。(2)前面與上面不同色，通過(guò)翻動(dòng)，可以使上面為黃色，前面為藍(lán)色，這時(shí)右面可以是黃色，也可以是藍(lán)色，有2種。因此，共可涂成2226種不同的積木塊。6.【解】每5分鐘發(fā)出一列貨車(chē)，貨車(chē)速度為每小時(shí)60千米，即每分鐘1

6、千米所以每?jī)闪邢嗬^的貨車(chē)相距5千米第1列貨車(chē)行了1小時(shí)，客車(chē)才出發(fā)，所以?xún)绍?chē)之間距離為7×(111)60×110(千米)，兩車(chē)經(jīng)(小時(shí))相遇，距第一站(千米)由于每?jī)闪邢嗬^貨車(chē)相距5千米，所以客車(chē)遇到一列貨車(chē)后，再行(千米)，便遇到下一列貨車(chē)。如果a、b是兩個(gè)相鄰的車(chē)站，那么當(dāng)客車(chē)在這兩站之間遇到3列貨車(chē)時(shí)，與第1列貨車(chē)相遇的地點(diǎn)a點(diǎn)的距離應(yīng)不超過(guò)7×2(千米)反過(guò)來(lái)，在這條件滿(mǎn)足時(shí)，客車(chē)在a、b之間與三列貨車(chē)相遇。設(shè)客車(chē)遇到第n1列貨車(chē)時(shí)，在a、b兩個(gè)相鄰的車(chē)站之間，并且在這兩個(gè)車(chē)站之間又接連再遇到兩列貨車(chē)，那么客車(chē)行了(千米)并且與第m1個(gè)站a的距離不超過(guò)千米，從而7m即25(n2)56m6(1)(1)式表明25的某個(gè)倍數(shù)，除以56后，余數(shù)6。不難通過(guò)驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)25×922556×41，所以在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間，客車(chē)遇到三列貨車(chē)。接下去滿(mǎn)足(1)式的是25×9×256×4×22但這時(shí)，n19×2