有限元作業(yè)第二次作業(yè)

1、一 五年 6 月 12 日土木工程專業(yè)有限元第二次作業(yè)姓名：班級：學號：指導教師：題： 平面應力問題的八節(jié)點等參元，已給定8 個節(jié)點實際單元4 = 1 73A6= 115 =121、單元中位移函數u（ ， ） ， v（ ， ）和單元節(jié)點位移 e 的關系式；2、 B 矩陣的計算步驟和計算式；3、單元剛度矩陣 k e 的一般計算方法和計算步驟；4、論述相鄰單元間公共邊界上位移的連續(xù)性；5、如果給定母單元中點A， （ ， ） ，怎樣求實際單元中與A， 相對應的點A（ x， y） ；反之，如果給定實際單元中的點A（ x， y） ， 怎樣求其在母單元中對應點A， （ ， ） ？6、如果已經求解得到單元8

2、 個節(jié)點的位移值 e 怎樣求單元中某一點B（ x， y）的應力？解：圖 1： 在總坐標系中具有二次曲邊的四邊形單元1、 此題分兩步進行：單元位移場的表達：如圖 1所示 , 在任意四邊形的每邊中間設一附加節(jié)點，則單元邊界就變成二次曲線的了。如果直接在整體坐標系 x, y 下， 像八節(jié)點矩形元那樣，構造雙二次多項式的位移插值函數，則因曲邊四邊形單元邊界是二次曲線，故邊界上的位移是x（或 y）的五次多項式，它不能由曲邊上三個節(jié)點的位移分量唯一地決定，從而不能保證相鄰兩個單元在公共邊上位移的協(xié)調條件，所以在整體坐標系x,y 下構造完全協(xié)調的位移插值2： 在自然坐標系中的 曲邊四邊形的基本單元函數是很困

3、難的，利用坐標變換，可將曲邊四邊形單元變換成基本單元，如圖2所示的在自然坐標, 下具有邊長為2的八節(jié)點正方形單元， 自然坐標系, 是外節(jié)點坐標值為1的局部坐標系。在自然坐標系的單元上構造協(xié)調的位移插值函數，其形狀函數是較普通的，取位移分量為, 的雙二次多項式, 即：2222ua1a2a3a4a5a6a7a8aaaa2 aa 2a2 a2 （ 1-1 ）v a9a10a11a12 a13a 14a 15 a 16利用 8 個節(jié)點的16 個位移分量可唯一確定16 個待定常數a1,a2, , a16 ， 若代入 8 個節(jié)點的局部坐標值，得：7u1u5u2u6u3u7u4111111-101110-1

4、-1-1-1011110111011 1 -1 -1a101 00-1 1 -1 -1010-101110101010-1a2a3a4a5a6a7u81-10a8-1-11 1 -1 -1a91-2)v2v6v3v7v40-1-1-10-11001 -1 -10-10-1a10a11a12a13a14a151-3)-1將解出的16 個待定常數也即：u N1I N2I N8I e N1-4b )0a16a1,a2, a16 代入式(1-1 )即得 :8uN1u1N5u5N2u2N6u6N3u3N7u7N4u4N8u8Niuii18vN1v1N5v5N2v2N6v6N3v3N7v7N4v4N8v8

5、Nivii1其中 I 為二階單元矩陣，e為等參元節(jié)點位移列陣，N 為形狀函數矩陣。形狀函數的建立：按等參元思想，在整體坐標系XY 下 , 任何形狀歪斜四邊形單元都將變換到局部坐標系下的正方形單元。對 8 節(jié)點等參元, 其移模式為：8u Ni , uii1式中 , ui為歪斜單元8節(jié)點的位移，Ni, 為形狀函數。查閱相關資料，得形函數公式公式為：Ni ,Fk ,k1 81-6)Fk i , i k1又由形狀函數的性質可具體地求出Ni 的表達式為：N1= 111 4N2= 111 4N3= 1114N4= 111 4N5= 12 121-7)N6= 1 根據平面問題的幾何方程，單元應變可用節(jié)點位移

6、表示如下： 12N7= 12 12N8= 1212其中：另根據符合函數求導法則，可知：y = B e = B1B2B8e2-1 )xyBi =x0 Ni2-2)NiyBi 中的元素NixNi(i y1,2, ,8)。x2-3)yyx 8 Ni x 8 Nii xi ，ii1ii12-5)又根據式（2-3） ，有2-6)13根據公式（2-2）即可得出Bi 矩陣，其中Ni 可由問題1 方法求出。3、單元剛度矩陣按普遍公式計算，公式如下：k eBTDBdVBT DBhdxdy（ 3-1 ）ee其中e為單元體積域，k e為 16 16的方陣 （具體形式見下文）， D 為材料1-D E11123-2）1

7、-1-2（2 1- ）上述積分應在局部坐標系內進行，因此面積元素dxdy需表示成d d . 如圖3 所示為子單元內任一點a x, y 處的微小正方形，它是由局部坐標系中點,ab, ac分別由處的微元體d d 變換而成的。以i, j表示 x, y軸的單位基矢量，d , d 變換而成，則：xyab= i j dxyac = i j d3-3）上述 2 個矢量的叉積表示它們所構成的平行dV ab ac Jd d （ 3-4）其中，J 為矩陣 J 的行列式，即J3： 子單元內任一 點處的微小正方形將上式帶入式（3-1 ） ，并寫成分塊形式：k12k1k22k283-5）k82k88其中子矩陣的計算公式

8、為：11kijBiTDBjhdVBiTDBjJhd d （ 3-6）11e其中 h 是板的厚度。由于被積函數極為復雜, 很難得到明顯的解析式, 必須利用數值積分。程序中采用高斯求積法, 對于二維問題的等參元, 高斯求積公式為:11881 1f , d dHiHjf i, i （ 3-7）2 1i1i1式中， H i ， H j 為一維求積點的積分系數，i ， i 為沿一維編號的求積積分點的橫坐標。對于8節(jié)點等參元取三個積分點，即n=3已足夠精確。4、 證明：局部坐標系下的單元是規(guī)則的正方形，單元邊界上的三個節(jié)點按線性變化的位移形式，單元變形后這三個節(jié)點確定了位移的單元直線邊界。所以，局部坐標系

9、下單元是協(xié)調的。又由位移插值函數在局部坐標系下的協(xié)調性，即可推知坐標變換的協(xié)調性（即兩個相鄰曲邊四邊形在公共邊界上經坐標變換后仍保持連續(xù)，不會出現重疊和破缺現象），這也就保證了位移插值函數在整體坐標系下的協(xié)調性。即在相鄰單元公共邊界上位移是連續(xù)的。5、 這里， u,v是 , 的函數，在下面的計算中還需知道u,v和 x, y的關系，因此必須寫出x, y 和 , 之間的坐標變換式，這個坐標變換并不難，因為 x, y 在單元的 8 個節(jié)點上應取值xi , yi （i1,2 ， 8）， 而單元四條邊應為二次曲線，這與u, v的要求完全類同，因此可沿用和位移插值函數完全相同的式子作為坐標變換式，即：y1

10、（ 5-1）x1xN10N50N20 N60 N3 0 N7 0 N40N80y0N10N50N2 0N6 0 N3 0 N7 0N40N8y8式中x1, y1,x2, y2, , x8, y8 為節(jié)點坐標，形狀函數N1, N2, N 8與前面相同。由上可見，在整體坐標系下的曲邊四邊形單元和自然坐標系下的正方形單元存在著一一對應的映射關系，只要已知xi ,yi（i1,2 ， 8）后，由（ 5-1 ）式，利用自然坐標系下的形狀函數，即可完全確定x, y 。即：如果給定母單元中點*A , ，通過求出形狀函數Ni, （i 1,2，8），利用式（5-1 ） ，可求出實際單元中與A* 相對應的點A x, y ； 同理， 如果給定實際單元中的點A x,