高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)軌跡方程的常用求法素材

1、課程信息年 級角二學(xué) 科1教學(xué)1版 本1通用版內(nèi)容標(biāo)題高二第一輪復(fù)習(xí)：軌跡方程的常用求法編稿老師【本講主要內(nèi)容】軌跡方程求軌跡方程的基本方法【知識掌握】【知識點精析】1 .求曲線軌跡方程的基本步驟：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)軌跡上任一點的坐標(biāo)為例（x,y）;尋找動點與已知點滿足的關(guān)系式；將動點與已知點坐標(biāo)代入；化簡整理方程；證明所得方程為所求曲線的軌跡方程。通常求軌跡方程時，可以將步驟和省略。2 .幾種常用的求軌跡的方法：直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等呈關(guān)系，這些條件簡單明確，易于 表述成含X、），的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡的 方程一M有建

2、系設(shè)點、列式、代換、化筒、證明五個步驟，但最后的證明可以省略。定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā) 直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點。（y）卻隨另一動 點。（.匚），'）的運動而有規(guī)律的運動，且動點。的軌跡為給定或容易求得，則可先將Ey'表 示為），的式干，再代入。的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助 中間變星（參數(shù)），使尤），之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式于中

3、消去參數(shù)，得出動點的軌 跡方程。說明：利用參數(shù)法求動點軌跡也是解決問題的常用方法，應(yīng)注意如下幾點：參數(shù)的選擇要合理，應(yīng)與動點坐標(biāo)尤丁有直接關(guān)系，且易以參數(shù)表達(dá)?？晒┻x擇作參 數(shù)的元素很多，有點參數(shù)、角參數(shù)、線段參數(shù)、斜率參數(shù)等。消參數(shù)的方法有講究，基本 方法有代入法、構(gòu)造公式法等，解題時宜注意多加積累。對于所選的參數(shù)，要注意其取值 范圍，并注意參數(shù)范圍對的取值范圍的制約。幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿 足的條件，然后得出動點的軌跡方程。交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時 常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線

4、的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。說明：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡 方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變盤間的關(guān)系, 在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡時的作用，只要動 點滿足已知曲線定義時，就可直接得出方程。另外，要注意一些軌跡問題，都包含一定的隱 含條件，也就是曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍。由曲線和方程概念可知，在求曲線方程時一定要注意，它的完備性和純粹性，即軌跡若 是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明尤的取值范圍，或同時注明X,），的取值范圍。若軌跡有不同 的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性

5、。軌跡問題還應(yīng)區(qū)別是“求軌跡”，還是“求軌跡方程”。一般說來，若是“求軌跡方程”， 求到方程就可以了；若是“求軌跡”，求到方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線的類型?！窘忸}方法指導(dǎo)】例L設(shè)直線y =與雙曲線3-產(chǎn)=1交于A、B,以A8為直徑的圓過原點，求點。（“，）的軌跡方程。y = ax + b,解析： ,-=>(«' -3x +2abx+b +1 = 0(x»=i7A = (2ab)2 -4(«2 - 3)(/r +1) > 0< 3 0 設(shè) A(%,升)、E5,必)，則有l(wèi)ab b2 +1X1+X2=_,X1X2=_,依題有即內(nèi)+%

6、=。又 >?1>2 UX +)(,/ +) = 42工2 +4(玉 +X2) + /?2 ,. 2.2 j 2 2 b2.,有+-=+ =。，化簡得C2尸=-1,故點尸(a,)的軌跡cr -3 cr -3 cr-3方程為 丁-2），2=一1卜2<3）評述：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可利用平面幾何知識推出等曷關(guān)系， 求方程可以用直接法，如本題中，OA_LO8推出玉9 + »為=。，從而利用根與系數(shù)的關(guān) 系建立方程。例2.如圖所示，平面AA8C的兩個頂點A、8分別為橢圓/+5），2=5的焦點，且三內(nèi)角A、B、C滿足sin二三2=geosg,試求頂點C的軌跡方

7、程。 222解析：在AABC中,C . A + B cos = sin22d = s422. B + A . B-A , A + B A + B.2 cossin= sincos又由正弦定理,2222in B-sin A = sin(A + B) = sinC 22得|AC| |8C| = ；|A8| = ；2c = 2,故。點的軌跡是以A、8為焦點。長軸長為2的雙曲線的右支，其方程為/一心" = 1">0）。評述：當(dāng)題設(shè)條件符合橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，可直接寫出方程。例3.如圖，已知P（4,0）是圓/+ 了2=36內(nèi)的一點，a、8是圓上兩動點，且滿足N4P8

8、= 90 ,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程。解析：設(shè)A8的中點為R（x, y）,則心AA8尸中，|=|AO|2-|O/?|2 = 36（/ + y2）,又 |AR| = PR =, W（-v-4）2 + y2 =36-（x2 +y2）,即/ + y2 -4x-10 = 0 o因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，。點即在所求的軌跡上運動。設(shè)Q（x，y）、R（$，%）,由R為尸。中點，x + 4代入方程/+),2一以一10 = 0,整理，得/ +),2 =56,即點。的軌跡方程為/ +),2 =56評述：在某些較侵雜的探求軌跡的過程中，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程, 再以此點作為主

9、動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程?！究键c突破】【考點指要】軌跡問題是高考考查的重點，“求軌跡方程，并說明是什么曲線”是近幾年高考的熱點, 它常常與基值及分類討論思想結(jié)合在一起。多出現(xiàn)在解答題中，選擇題和埴空題也有出現(xiàn)。 考查數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、邏輯推理諸方面的能力，對思維能力， 思維方法的要求較高，分值大約是514分?？疾橥ǔ７譃槿齻€層次：層次一：考查曲線軌跡方程的求法；層次二：考查判斷曲線軌跡方程所表示的曲線類型；層次三：考查所求曲線軌跡方程的完備性和純粹性。解決問題的基本方法和途徑：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、幾何法、交軌法、待定系 教法、教形結(jié)合法、

10、分類討論法、等價轉(zhuǎn)化法?！镜湫屠}分析】例4. (2006陜西)如圖，三定點 A(2,l)、5(0,-1), C(-2,l);三動點。、E、M滿足 Ad = i aK,bK = t= iD京 t e 0,1求動直線DE斜率的變化范圍；求動點M的軌跡方程。解析：解法一：設(shè)。(而，為)、Eg,4)、M (a> y) o由 AD = f AB,BE = f BC ,知- 2, -1) = r(-2,-2),. ,而=-2/ + 2=-2/yD = -2r +1yE = 2/-1 2代=招蔚2' -eMf (2)-/ DM =tE ,(x+2/-2,y + 2/-l) = /(-2/ +

11、 2/-2,2/-l + 2/-l)=r(-2,4/-2)=(2/,4廣2z),卜=2(1-2/)/ '，y = 丁即 x- =4y卜=。-町4 . reO,l, /.x = 2(l-2f)e-2,2,即所求軌跡方程為/ = 4y , xe-2,2解法二：同上。如圖,Ob = OA + AD = OA+tAB = OA+t(OB-dA)= (i-t)OA + tOB, 0E = 0B + BE = 0B + tBC = 0B + t0C-0B)= (-t)0B + t0C, OM =OD + DM =0D + tDE = 0D + t0E-0D)= (1-t)0D + t0E = (-

12、t)2OA + 2-t)tOB+t2OC 設(shè)加點坐標(biāo)為(x,y), 由赤=(2,1),礪=(0,-1),無=(2,1),得x = (l-r)2-2 + 2(l-r)r-0+r-(-2) = 2(l-2r) <y = (l-/)2-l + 2(l-r)r-(-l)+r-l=(l-2r)2 '消去，得，k =4v ,/ eOj,x e -2,2,故所求軌跡方程為x2 = 4y , x e 一2,2評述：本題考查了利用參數(shù)法求動點軌跡方程，對于所選的參數(shù)，要注意其取值范圍, 并注意參數(shù)范圍對£戶的取值范圍的制約。例5. （2006山東）雙曲線C與橢圓J +。= 1有相同的焦點

13、，直線），=>/黃為。的一 84條漸近線。求雙曲線C的方程；過點。（0,4）的直線/,交雙曲線C于A、8兩點，交x軸于。點（0點與C的頂點不重合），當(dāng)P0=4。4=4。月，且4+4=:時，求。點的坐標(biāo)。2）92y-、廣廠廣解析：設(shè)雙曲線c的方程為r-L = l由橢圓丁+ 丁 = 1,求得兩焦點為 crb-84（-2,0）,（2,0）,.對于雙曲線C c = 2又>，=底為。的一條慚近線，：.=6解2得2=1, =3, .雙曲線c的方程為/ 一二=1設(shè)/的方程為y =履+ 4，4（為，）1）、8（，乃），4 則。一丁，0 k4A（xr yj在雙曲線。上,k2E-l=0, 16 + 3

14、2+16/i12- 2-22 =0, 343.(16 42)42+324+16-詈 2 =0 同理有(16-在+324 + 162 =0若16-公=o,則直線/過頂點，不合題意，16-公工0,.4、%是二次方程（16*+32x + i6-梟2=o的兩根,，328 X, + Xn =,-公 _163二代=4,此時A>0, .攵=±2, .所求。點的坐標(biāo)為（±2,0） 解法二：由題意知直線/的斜率攵存在且不等于零。4 1設(shè)/的方程為y = 6 + 4，A（X, y）、8*2，丫2），則0 -7，°。 k ）,.八。=4。4,.q分方的比為4。由定比分點坐標(biāo)公式得

15、_4_ 4%I 1+40=4 + 布=1+44蒼=一？7（1+4）K /li,下同解法一。4解法三：由題意知直線/的斜率攵存在且不等于零。設(shè)I的方程為V = kx+ 4, A（卬y1）、PQ = QA = QB .(4(44,._丁-4 =4 X, + , y =A a-2 + -, y2 , k J k ) k J,44 = Ay =, 4 =>- ).4<8112&=一-o 又4+4=-q，,一+- = t>%3 力力 3即3(必+%) = 2yM將)，=依+4代入工2_2_ =,得(3&2),224)，+ 48 - 35=03-父工0,否則/與漸近線平行

16、,2448 3公,+為=書=3,o 24 c 48-3公 3x = 2x- , k =±2 ,3-尸3-222（±2,0）解法四：由題意知直線/的斜率攵存在且不等于零。設(shè)/的方程為丁 =履+ 4，A*】，以）、8（，y2）,則。一；，°）。_9_4卜4卜+ X ,_4744:4=一J =，同理人=-4 kxx +4- 米,+ 41 rQ*）=即 2k2x1x2 +5攵（內(nèi) +占）+ 8 = 0V = kx + 4又（ 2 y2 ，消去y,得（3-公卜2一8履一 19 =。當(dāng)3-父=o時,丁 - = 1則直線/與雙曲線的漸近線平行，不合題意，3-公工。8kx1+x2

17、 =由韋達(dá)定理有3/，代入（*）式得公=4,攵=±2, 占”占二所求。點的坐標(biāo)為（±2,0）評述：本題考查直接法求軌跡方程，并利用所求得的軌跡方程解決其它綜合問題。當(dāng)研 究直線與圓錐曲線的住宣關(guān)系時，將直線方程代入圓錐曲線方程化為二次方程，討論二次項 系數(shù)是否為零，并利用韋達(dá)定理得到關(guān)系式?！具_(dá)標(biāo)測試】一、選擇題：1.設(shè)動點尸是拋物線y = 2/ + 1上任意一點，定點a（0,1）,點"分中所成的比為 2:1,則點M的軌跡方程是（）A. y = 6x2-1B.2.巳知橢圓的焦點是耳、y = 3x2C. y = -3x2 -1 D. x = 6y2點"的軌

18、跡是（）A.圓 B.橢圓C,雙曲線的一支D.拋物線鳥，P是橢圓的一個動點，如果M是線段耳。的中點，則動3.巴知圓的方程為/ +）3=4,若拋物線過點A（1,0）、3（1,0）,且以圓的切線為準(zhǔn)線, 則拋物線的焦點的軌跡方程是（B. - + = 1(x0)-= l(y =0)431 JD. j + g = l(yW0)4 .已知A、B、。是不在同一直線上的三個點，。是平面A8C內(nèi)的一定點，P是平面A8c內(nèi)一動點，若OP-OA = AyABBc Xe0, + s）,則點P的軌跡一定過三角形A8C的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心D.垂心5 .設(shè)動點P在直線x = l上，。為坐標(biāo)原點，以。尸為直角邊、

19、點。為直角頂點作等腰 RtOPQ ,則動點。的軌跡是（）A.圓 B.兩條平行線 C.拋物線 D.雙曲線6 .已知點A（-2,0）、3（3,0）,動點P（笛y）滿足西方=/,則點P的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線7 .如圖，已知圓。的方程為W + y2= 100,點A的坐標(biāo)為（-6,0）,例為圓。上的任意 一點，AM的垂直平分線交OW于點P,則點尸的軌跡方程為（）x2 y2 x2 y2 t25 1625 16（X + 3（X + 3y2+1I）. -1251625168 .與圓產(chǎn) +）,2-41=。外切，又與），軸相切的圓的圓心軌跡方程是（）A. y2 = 8xB. )

20、9;2 =8x(x>0)和 y = 0C y2 = 8x(x > 0) d. y2 =8工1>0)和丫=0 (x<0)二、埴空題：9 .已知點A（6,0）, 8為圓/ +）3= 4上任意一點，則線段A8的中點用的軌跡方程為10 . P是橢圓，+今=1上的任意一點，"、鳥是它的兩個焦點，。為坐標(biāo)原點,OQ = PF+，月，則動點。的軌跡方程是11 . A4BC的頂點3（-1,0）、。（2,0）,若NACB = 2NA8C,則頂點A的軌跡方程為_12 .在平面內(nèi)：到兩定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓;到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線；2到定

21、直線X =- >和定點F（-C,O）的距離之比為/ （c > a > 0）的點的軌跡是雙曲線；2到定點廠（c，0）和定直線工=人的距離之比為色（a >c>。）的點的軌跡是橢圓。C其中正確命題的序號是:三、解答題:13.已知耳（一 1,0）、鳥（1。），Ar°)動點P滿足3尸£。4 +。月刀=0求動點P的軌跡方程；是否存在點尸，使得04成為/6。入的平分線？若存在，求出夕點坐標(biāo)；若不存在, 說明理由。14 .已知點。（-3,0）,點A在），軸上，點。在x軸的正半軸上，點何在直線4。上，滿 ， 足 PAAM =0,4"=二2當(dāng)點A在y軸上

22、移動時，求動點例的軌跡。的方程；設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線為/，焦點為尸，過尸作直線川交軌跡C于G、”兩點，過點G作 平行于軌跡C的對稱軸的直線，且c/ = E,試問點石、O、H （。為坐標(biāo)原點）是否 在同一條直線上？并說明理由。15 .如圖，已知A （-3P> 0） （P>0）, B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且ABBQ = O,BC = -CQ °2求動點。的軌跡方程；設(shè)過點A的直線與。的軌跡交于反尸兩點,A'（3p,0）,求直線AE、A'F的斜率 之和。【綜合測試】一、選擇題：1. （2004遼寧）已知點片（",0）、F,（V2,0）,動點尸滿足

23、|P周一|尸娟=2,當(dāng)點產(chǎn)的縱坐標(biāo)是!時，點p到坐標(biāo)原點的距離是（） 23B. - C. a/3 P. 222 .已知橢圓的焦點是月、鳥，夕是橢圓的一個動點，如果"是線段寫尸的中點，則動點M的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線3 .（2006河南）侵?jǐn)?shù)2 =、+人工，y tR）,i為虛教單位，且閆2 2。在宣平面上，宣教Z對應(yīng)的點p（h y）的坐標(biāo)滿足0£y<3-卜+1,則P點的軌跡所確定的圖形的面積為（）A.九+ 7 B. 10-C 10 +4 D. 7一乃4 . （2005北京）如圖，正方體A8CO-A百G"中，點P在側(cè)面8CG用的

24、邊界上運動,并且總保持AP 1 BD,則動點尸的軌跡是（）DiCiA.線段BCB.線段BGC. 中點與CG中點連成的線段d. bc中點與4G中點連成的線段5. （2005北京）方程9/一9y2 -父+ V =。所表示的曲線是（）A.雙曲線和一個圓B.雙曲線和兩條相交直線C.兩條相交直線和一個圓D.兩條平行直線和一個圓6. （2005北京）若“、N為兩個定點且1WN| = 6,動點P滿足而麗=0,則點尸的軌跡 是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線7. 平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點。已知力（3,1）、8（-1,3）,若C滿足：OC = aOApOB ,其中。、且。+4=1,則點C的軌跡方程為

25、（）A. （X-1）'=5B. 3x + 2y-l 1 = 0C. 2x-y = 0D. x +2y 5 = 08. （2005湖北）已知兩個定點A （-a, 0）、B （a, 0） （a>0）,動直線卜1分別繞A點、B點轉(zhuǎn)動,并保持4到6的角為45,，則方與4的交點的軌跡是（）A. 一條直線B.兩條相交直線C.兩條平行直線P, 一個圓二、埴空題：229.過橢圓二十=1上任意一點“作不軸的室線，垂足為N,則線段中點的軌跡方程是110.（2005 重慶）已知 A - ,028是圓氏（x +丁=4 （尸為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P ,則動點P的軌跡方程為 o11.

26、 （2005上海）平面直角坐標(biāo)系my中,若定點A（ 1,2）與動點P（x,，）滿足麗市=4, 則點P的軌跡方程為=.12. （2005江西）以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中設(shè)A、8為兩個定點，%為非零常數(shù)，若|西卜|而卜k ,則動點P的軌跡為雙曲線;過定圓C上一定點A作圓的動弦A3,。為坐標(biāo)原點，若。戶=3（蘇+。月），則 動點尸的軌跡為橢圓；方程2x2-5x + 2 = 0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;r* 、廣r-雙曲線”一萬=1與橢圓+r = i有相同的焦點；其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）。三、解答題:13. （2005江西）設(shè)拋物線C：,，=爐的焦點為尸,動點尸在直線/

27、： x y 2 =。上運動，過 P作拋物線。的兩條切線/%、尸£且與拋物線。分別相切于A、8兩點。求AAP3的重心G的軌跡方程；證明= 方。 2214. 已知橢圓亍+今=1（"力。）的左、右焦點分別是£（一。,0）、鳥（c,0）,Q是橢圓 外的動點，滿足|麗卜2"，點尸是線段”。與該橢圓的交點，點T在線段入。上，并且 滿足西麗=0,再w6。設(shè)工為點P的橫坐標(biāo)，證明|*卜+（工；求點丁的軌跡C的方程；試問：在點7的軌跡C上，是否存在點使AF/W鳥的面積5= 若存在，求鳥的正切值；若不存在，請說明理由。15. （2005北京）巳知直線/:），= 吠+1與曲線

28、。：0+丁=2（"?、awK）交于兩點 A、B。設(shè)無=3+礪，當(dāng)” =一2時，求點尸的軌跡方程；是否存在常數(shù)。，對任意?£農(nóng)，都有兩礪=-2?如果存在，求出。的值；如 果不存在，說明理由；是否存在常數(shù)小，對任意eR+,都有市麗為常數(shù)？如果存在，求出?的值； 如果不存在，說明理由。G嬴燎生命嗎？那密施費時間;因荷間是組贏一益命的材科-富蘭克林【達(dá)標(biāo)測試答案】一、選擇題1 .答案：A解析：設(shè)P(x(p%)，M(x,y), PM =4MM = 2,_%)+ 2x0_/ 汽 + 2、(-1)_%_2pv°=3x1 + 23 -1 + 23y0=3y + 2又夕(小，%)在

29、已知拋物線上，=2,%2 +1 = 3y + 2 = 2(3x) +1,即 y = 6x2 ；2 .答案：B解析：連結(jié)OW,則|(W| = L|P引。|尸61+1”1=2。(=>1號鳥I), 2IMFJ+IM0l= 1(1 PF, 1+1 PF2l) = a(a >1 F.OI),M點的軌跡是以5、O為焦點的橢圓。3.答案：D解析：如圖所示，設(shè)焦點坐標(biāo)為F(x, y), 4、4分別為A、8到圓的切線/的距離。,拋物線過點 A(-1,0)、5(1,0),IAFI= J, BF= d2, AF+BF= +cl2 = Id ("為。至M 的距離),.,.IAFI+IBFI=4,

30、即產(chǎn)到A、8的距離之和為4,22尸的方程為：+千=1()號0)4 .答案：C解析：由加次=丸（荏+g團(tuán)）得/二；/麴+3冊）設(shè)8C中點為。，則有而=2而，因此點尸在直線AO上移動，故經(jīng)過AA6C的重 心。5 .答案：B解析：設(shè)點。、戶的坐標(biāo)分別為（蒼y）、（l，%），由OQ_LO尸，得k°Q,kop=l, 即:牛=f九=一： 又由|OQ| = |OP|,得"+了 =折+ 1 ,即/ + 丁2 =%2 + 1由、消去兒，得點。的軌跡方程為，=1與），= 16 .答案：D解析：PA = （x+2, y）,麗= （x-3, y）,則西麗= （x+2）（x_3） + y2=/，化簡

31、得V = x+6,軌跡為拋物線。工答案：C解析：因為點尸在線段AM的垂直平分線上，所以=仍網(wǎng)，PA + PO = PM+PO = OM | = 10,即點 P 到定點 A（-6,0）和 0（0,0）的距離之和為 定長10,所以動點尸軌跡是以4。為焦點的橢圓，中心為（-3,0）,長軸長為io,故尸點（X + 3）2 y2的方程為L + 2- = l 25168 .答案：D解析：設(shè)動圓圓心為A/（x,y）,動圓半徑為，定圓圓心為C（2,o）,半徑h=2,由題設(shè)得|MC| = 2 +廠，又r = |x|, /. |MC| = 2 + |a-|,故狀了+產(chǎn)=2 + 兇, 化簡得丁=4工+ 4凡 當(dāng)x&

32、gt;0時，）3=8x；當(dāng)xVO時，），=0, .,所求軌跡方程為 y2 =8x（x）0）fq y=0 （x<0）二、埴空題：9 .答案：（x_3）? + y2=i解析：設(shè)"（x,y）,則 3（2工一6,2），），將 8 代入 F + y2=4 得（,.3+），2=110.答案:< +1=1-41廠解析：由oO = pR +困,又所+ * =0疝=2夕。=2。戶，設(shè)Q（x, y）,即p點坐標(biāo)為-£，-£ ,又尸在橢圓上, 22）廠 y'即。的軌跡方程是彳+萩=】11 .答案：x2- = l(x>l)解析:設(shè) A(x, y),則 tan Z

33、ABC = ,tan ZACB = ,又 ZACB = 2ZABC, x + x-22上/. tan ZACB = tan 2ZABC = 2tanZ-4BC即一二_ =2,1-tan2 ZABCx - 29一W2整理得儲一. = l(x>l)。J12 .答案：解析：根據(jù)橢圓及雙曲線的第一、第二定義，結(jié)合條件及可能出現(xiàn)的變化情況即得。三、解答題：13 .解析：設(shè)尸（X，y）,由尸4=（_1_第_力，尸5=（1_g_力，PA = （；_x,_y .麗齊=（-17）67）+（-»玉+1）正西= （17）匕X +(-)')三"-1)/. 3 (x + 1)(x4)+

34、/ +(1)+產(chǎn)°,化簡得4 y2 4即為0點的軌跡方程。PF . DA Dp DA假設(shè)存在，則 cosN"PA = cosNAPF）。v J, ,_d = . _2 ., 附上網(wǎng)P司網(wǎng)將條件3P1o4代入上式，顯然不可能，,這樣的P點不存在。14.解析：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）,則由aa/ = -gwQ,得由、（ a 、蘇病 =0,得3,-； - x,-y =0=），2=4x,故所求動點"的軌跡。的方程為y2 = 4x o軌跡C的焦點為E（LO）,準(zhǔn)線為/： x = -1,對稱軸為戈軸。當(dāng)直線機(jī)的傾斜角為90°時，直線機(jī)的方程為x = l ,代入量2=

35、4x,得' = ±2 = （1,2）、G。, 2）, c/ = E（1,-2）,顯然區(qū) O、H 三點共線。當(dāng)直線加的傾斜角不為90°時，直線機(jī)的方程為），= k（x - l）,代入V=4x,得V4=0。設(shè)”、g的坐標(biāo)分別為（今，）'J，（手，火.c/ = E(-l, y2), :.OE = (-,)，2)，麗=信'y ,又 A(-3p,0),x得）-E °、”三點共線。15.解析：設(shè)Q(x, y),因為8c = $CQ,所以8 0,- 乙 N所以/公=（3,一）,8.=由巳知方麗=0,則3px-2）3=。，y?=4px,即動點。的軌跡方程為

36、y2 =4px 4設(shè)過點A的直線為y = k（x+3p）（女W0）, £（,卬凹）、尸（孫 必），聯(lián)立方程組y = k（x + 3pk .,消去x得丁 ）/一），+ 3切=o,.g=i2p2y-=4px4k +k _ y ）'2_）'/2-3/%+小x3乃AL X -3p x2-3p（演一3）（±-3）'又）；=4px,>'22 = 4px2,片子-3/%+為23/?。↘ + %） 手-3P,怙 ”（x,-3/?）（x2-3/7）（內(nèi)-3）（“3）由 M必=122,得、ae +L =0【綜合測試答案】一、選擇題：1 .答案：A解析：由巳

37、知4 = 1，C = " b = l, P的軌跡為雙曲線r - y2 = l,將y =；代入得則|qp| = F7=J|M=當(dāng)2 .答案：B解析：如圖所示，由題知|P娟+ |”| =，（設(shè)橢圓方程為，+今=1,其中a>b>0）。連MO,由三角形的中位線可得：1月用1+1/。1=43>1/，1）,則M的軌跡是以6、。為焦點的橢圓。3 .答案：D4 .答案：A解析：設(shè)4、鳥為尸的軌跡上的兩點,則AP2 1 BD.,因A、小 鳥不共線，A.4、鳥確定一個平面。，與面8c交于直線<2 ,且知BQ _La ,Eg _L84 ,又在面BC平行且只有B.C與點A確定的平面與

38、耳。垂直，二P點的軌跡為8。5 .答案：C解析：原方程化為卜2-)弓卜2 +)，2-9)= 0, Mx2-y2 =0wgx2 + y2-9 = 0 ,即y = ±x或a2 += 9 ,方程表示兩相交直線和一個圓o6 .答案：A解析：以MN的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)(-3,0)、N(3,0), P(x, y),則麗.麗= (_3_x,_)，>(3_x,_y) = (x2_9)+ y2=0,即/+),2=97 .答案：D解析:由= a次+尸礪=反=(1_尸)礪+)礪=祝一厲=處方一次)=>AC = /7AB ,設(shè)C點坐標(biāo)為(X y),則 aC = (x-3, y-l

39、),AB = (,2)= (x-3, y-l) = /7(-4,2)=>- =>x+2y-5 = 08 .答案：D解析：設(shè)卜/,交點坐標(biāo)為(x，y),則勺=-，鼠=,而/洌，2的角為45° , x + a x-atan 45 =-堂里=一" =1 ,即 i +),? 一 2ay-a2 =0 是一個圓。1 +與4 1 +上.上 x-a x + a二、埴空題：9 .答案:£ +與=1 cr lr解析：設(shè)MN的中點為尸（%，兒），則點M（如2%）在橢圓上，,% + 個】=1，由此得點P的軌跡方程為5 +注 =1cr Zr10 .答案：x2+iy2=解析：由圖

40、知，PA = PB, PA + PF = BF = r,結(jié)合橢圓定義，知點P的軌跡為橢圓，-11 j 3其中 C = , 4 = 1, D = y244從而求得方程為W +3 = 111 .答案：x + 2y-4 = 012 .答案：解析：當(dāng)k為負(fù)值時，動點軌跡不為雙曲線；當(dāng)?shù)Z=-礪時，點尸不在橢圓上;正確，則真命題為、®o三、解答題：13 .解析：設(shè)切點4 8坐標(biāo)分別為（知a：）、（玉，片）（玉工內(nèi)），切線AP的方程為2x°x - y -玉；=。；切線BP的方程為-xj=。，解得尸點的坐標(biāo)為4 =X。+內(nèi)二燒PB的重心G的坐標(biāo)為% = / + ：+ ?=/2K）+ M _

41、 工0 +匯+入0再 _ （面 + 內(nèi)）一曲& _ 4%一 一）、）7=-3%；+4%2,由點尸在直線/：“一）2 = 0上運動，從而得到重心G的軌跡方程為X-(3y + 4/) - 2 = 0, gpy = l(4x2-x + 2)方法一：因為bA =，方=X, x.2 -11 4由于尸點在拋物線外，則歸可FP-FA.cos/"P = ；工 .2V + X</ _ 11"+了 ，同理有cos /BFP =竺,旦2網(wǎng)網(wǎng)1 知寸+ 74FP網(wǎng)."FA = "FB方法二：當(dāng)士改）=0時，由于玉工小，不妨設(shè)/=0,則%=0,.尸點的坐標(biāo)為lx I

42、,則P點到直線AF的距商為4=號；1犬而直線BF的方程為y-= 4 天(1 1X,則 2- x-xy + -xI =0 ,/qV-二尸點到直線8歹的距離為4 =_L %+土4； 2 42 1 , 1內(nèi)|14jT_W.4=“2,即得/PFA = /PFB,人“A當(dāng)與V。00時，直線A尸的方程為F(x-O),4 與一0)1(1 11 x - 7即 與2一: x_xy+ x =0,直線3廠的方程為=一三(、一0)，4J44 Xj - 014/4d空2卜+K _卜-()+(%)2|西同理可得到尸點到直線BF的距離4 = 因此知4 =出，可得到ZPM = "FB14.解析：證法一：設(shè)點戶的坐標(biāo)

43、為(蒼y)y+同一花小 、2 L° 4 J%-即V42，7。|L,由。(X,y)在橢圓上，得(1Ai即 V-工一為丁 +二為=0,.P點到直線4E的距高為= J(x+c)?+y?=J(x + ca + £xc由人之一4,知a + -xN-c + a證法二：設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,y)=(x-cf + V ,由八+4 =證法三：設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,y)an a J。，所以|"戶|=。+£工記|喬卜 不|可| =，3,則a = J(x + c + y2 ,2a,t2 +r22 =4cx ,得忻戶| = ” + £x”尸橢圓的左準(zhǔn)線方程由橢圓第二定義得-=crX+ 由 xN-a,知。+ £%之 一c + a >0,所以|"戶| = " + £工。解法一：設(shè)點廠的坐標(biāo)為（x,y）,當(dāng)=0時，點（&。）和點（t/,0）在軌跡上；當(dāng)|萬卜0且|匹卜0時，由萬麗=0得萬_1麗又同| = |7同，所以T為線段用Q的中點。在QZE中，囪 =；|咽=4,所以 乙綜上所述，點T的軌跡。的方程是+解法二：設(shè)點了的坐標(biāo)為（X,），），當(dāng)冏=0時，點,（）和點（-4,0）在軌跡上；當(dāng)尸卜。且阿卜。