高考數(shù)學復習點撥 解析幾何中向量法解題的基本技巧與策略探求

1、解析幾何中向量法解題的基本技巧與策略探求平面解析幾何是利用坐標法去研究平面曲線的性質，這與向量的坐標形式有很大的相似性，同樣，對于解析幾何中圖形的重要位置關系（如平行、垂直、相交、三點共線等）和數(shù)量關系（如距離、角等），向量都能通過其坐標運算來進行刻畫，把幾何中錯綜復雜的位置關系的演化變?yōu)榧兇獾南蛄康拇鷶?shù)運算，問題就顯得更為簡單。因而向量在解析幾何中的應用就顯得較為廣泛。一、利用向量的定比分點的坐標形式解題例1 如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當時，求雙曲線離心率的取值范圍。解：以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立直角坐標系xo

2、y設雙曲線方程為（a>0,b>0）離心率，C（asec,btan）則D（asec,btan），A（ea,0），B（ea,0）由 即（2ea,0）=2（2 asec,0）得2ea = 4asec sec=（1） 設E（x,y） 由 即 解得 E（x,y）在雙曲線上 a2（=b2a2化簡得： （2）由（1）、（2）解得： 由題設得 解得 評析：有向線段所成的比，線段的定比分點等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點公式，也可以直接用有向線段的比解題。二、利用直線的方向向量求解題例2、已知常數(shù)，向量經過原點O以

3、為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以為方向向量的直線相交于點P，其中試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.解：=（1，0），=（0，a）， +=（，a）， 2=（1，2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點的坐標滿足方程.整理得 因為所以得：（i）當時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F； （ii）當時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點； （iii）當時，方程也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.評析：求解此類問題的關鍵是：根據直線的方向向量得出直線方程，再轉化為解析幾何問題解決。三

4、、利用共線向量的性質解題例3、已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求 的取值范圍；解：（1），。是共線向量，b=c,故。（2）設當且僅當時，cos=0，。評析：解析幾何中平行、共線問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題。四、利用向量的數(shù)量積的坐標形式解題.例4、一條斜率為1的直線與離心率為的橢圓C：（）交于P、Q，兩點，直線與Y軸交于點R，且，求

5、直線和橢圓C的方程。 解： 橢圓離心率為，所以橢圓方程為，設方程為：，由消去得 （1） （2） 所以,而所以 ,所以（3）又， 從而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 適合，所以所求直線方程為：或；橢圓C的方程為評析 ：向量數(shù)量積的坐標形式能很好地將向量與解析幾何融為一體，體現(xiàn)了向量的工具性。求此類問題的關鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標表示，將向量形式轉化為代數(shù)形式。五、利用向量夾角的坐標形式解題例5、已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數(shù)列，若點P坐標為，為的夾角，求tan。解：記P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 由已知有：即 即點P的軌跡方程為：；又。因為 0， 所以 即評析：求解這類問題的關鍵是：先把向量用坐標表示，再用解析幾何知識結合向量的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問題轉化為兩直線所成角的問題，用數(shù)形結合方法使問題獲解。六、利用向量的垂直關系解題例6、已知P是以、為焦點的橢圓上一點，若 ，求橢圓的離心率 。解：設