自動控制原理：第六章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正-6-3

1、Automatic Control Principle Page: 1自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 6.3 Z Z變換理論1.Z Z變換定義)()()(*nTtnTete0n Z Z變換思想源于連續(xù)系統(tǒng)，是由采樣函數(shù)拉氏變換直變換思想源于連續(xù)系統(tǒng)，是由采樣函數(shù)拉氏變換直接引申出來的一種變換方法，亦稱采樣拉氏變換。接引申出來的一種變換方法，亦稱采樣拉氏變換。 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) 的拉氏變換為的拉氏變換為 ， 為為 的采的采樣函數(shù)，樣函數(shù)， 的拉氏變換為的拉氏變換為( )e t( )e t( )e t( )e t( )E s0( )( )()nsTnE sL e t

2、e nT e式中含有復(fù)變量式中含有復(fù)變量s s的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù) ，為便于應(yīng)用，取，為便于應(yīng)用，取sTesTze10ln(z)( )()nnszTEEse nT z稱稱z z為為Z Z變換算子，定義采樣信號變換算子，定義采樣信號 的的Z Z變換為變換為( )e t(z)( )( )EZ e tZ e t1ln(z)( )szTEEs？Automatic Control Principle Page: 2自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) (1) (1) 級數(shù)求和法級數(shù)求和法例例6.3-16.3-1 試求 采樣函數(shù)的Z變換2.Z Z變換方法 Z Z變換是通過置換將采樣信

3、號的拉氏變換即變換是通過置換將采樣信號的拉氏變換即s s的超越的超越函數(shù)表示為函數(shù)表示為z z的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。Z Z變換方法則是將冪級數(shù)表示變換方法則是將冪級數(shù)表示為閉合形式。為閉合形式。 由由例例6.2-16.2-1，對于控制系統(tǒng)分析的常用函數(shù)，諸如，對于控制系統(tǒng)分析的常用函數(shù)，諸如 等函數(shù)，其采樣拉氏變換的無窮級數(shù)均等函數(shù)，其采樣拉氏變換的無窮級數(shù)均可求得閉合形式?？汕蟮瞄]合形式。 1( ),/( !)1( )iatt ti et( )1( )ate tet解：解：按按Z Z變換定義變換定義 00( )( )anTnsTanTnnnE zE seeez1101=()()11 ()aTn

4、aTaTaTnzzezezezeAutomatic Control Principle Page: 3自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 拓展：拓展：若對若對 求導(dǎo)求導(dǎo)22( )()()()aTaTaTaTdE zzezedzzeze10anTnnnez ( )1( )1,2,iatite tetii！推廣：推廣：設(shè)設(shè) 是是 的的Z Z變換，則變換，則( )ie t( )iE z( )E z01anTnnnTezTz則有則有2()()aTataTTzeZteze 1()1aTze10( )1aTaTzE zz eze1+1( )( )=1,0,1,2,1aTiidE z

5、TzEzz eiidzAutomatic Control Principle Page: 4自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 部分分式法部分分式法 設(shè)設(shè) 的拉氏變換為的拉氏變換為E(s)E(s)，在離散系統(tǒng)分析時，常，在離散系統(tǒng)分析時，常需要由需要由E(s)E(s)求求 的采樣拉氏變換即的采樣拉氏變換即Z Z變換變換E(z)E(z)。部。部分分式法的基本思路是：分分式法的基本思路是：( )e t 建表建表 按典型環(huán)節(jié)或典型信號，計(jì)算按典型環(huán)節(jié)或典型信號，計(jì)算Z Z變換并構(gòu)變換并構(gòu)建建Z Z變換表；選擇典型環(huán)節(jié)或典型信號的常用組合，變換表；選擇典型環(huán)節(jié)或典型信號的常用組

6、合，計(jì)算計(jì)算Z Z變換并充實(shí)變換并充實(shí)Z Z變換表。變換表。( )e t 查表查表 將將E(s)E(s)進(jìn)行部分分式分解；合并具有共進(jìn)行部分分式分解；合并具有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的分式；按分式逐一查表得相應(yīng)的軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的分式；按分式逐一查表得相應(yīng)的Z Z變換變換；最后求各分式系數(shù)與對應(yīng)；最后求各分式系數(shù)與對應(yīng)Z Z變換乘積的代數(shù)和。變換乘積的代數(shù)和。Automatic Control Principle Page: 5自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 序號序號E(s)e(t)e(nT)E(z)12113145678910sNTsee1s21s31s1+sa21()sa31()

7、sa22+s22+ss()tNT( ) t1( ) ttateatte2/2att esintcos t2/ 2tnT22/ 2n T=nanTeb=anTnnTeTnb2222/ 2=/ 2anTnn T eTn bsin()nTcos()nTzzb2(1)Tzz 2(cos)2 cos1z zTzzT2sin2 cos1zTzzT23()2()T zzzbbb1zz2()Tzzbb23(1)2(1)T z zz(0)1; ()0,0ee nTn()1; ()0,e NTe nTnNNz常用Z變換表221131 3(1)(1)=2(1)2(1)T z zT zzzz2111113(1):2(

8、1)bbzzz bTzzbAutomatic Control Principle Page: 6自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 例6.3-2 設(shè)信號 的拉氏變換為222+1( )(1)()E sss( )e t試求采樣信號 的Z變換。( )e t解：作部分分式分解作部分分式分解2211( )+1sE sss ( )E z 按各部分分式逐一查表按各部分分式逐一查表2(cos)2 cos1z zTzzT2(sin)/2 cos1zTzzTTzze2222111ssss2(cos(sin)/)=2 cos1TzzzTTzezzTAutomatic Control Prin

9、ciple Page: 7自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 3.Z變換性質(zhì) 線性定理線性定理 實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移定理( (平移定理平移定理) )設(shè)設(shè) ，則采樣序列在時間軸上平移時有，則采樣序列在時間軸上平移時有左移，時間超前 與拉氏變換相似，與拉氏變換相似，Z Z變換具有一些重要性質(zhì)，由以變換具有一些重要性質(zhì)，由以下基本定理表示。下基本定理表示。1 12 211221122( )( )( )( )(z)(z)Z a e ta e ta Z e ta Z e ta Ea E( )( )Z e tE z()( )kZ e tkTzE z10( +)( )()kknnZ

10、e t kTzE ze nT z右移，時間滯后 設(shè)設(shè) ， 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 1122( )( )( )( )Z e tE zZ e tE z，12,a aAutomatic Control Principle Page: 8自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 證明：證明：由由Z Z變換定義變換定義0() =()nnZ e tkTe nTkT z10()()knnnn ke nTzekT zkTnT0()knnze nT z()()knnkkzeT znk( )0,0e ttnkn變變量量替替換換0( +) =(+)nnZ e t kTe nT kT z=z()knn

11、 ke nT z10=z( )()kknnE ze nT z( + )0( + )=zknnkeT zn k+n kn變變量量替替換換Automatic Control Principle Page: 9自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 對應(yīng)時域中的延遲信號對應(yīng)時域中的延遲信號( )1( )( )()1()( )sf ttF sf tteF s( )1( )( )()1()( )kf ttF zf tkTtkTzF z因此，因此， 對應(yīng)時域中的延遲環(huán)節(jié)，將采樣信號滯后對應(yīng)時域中的延遲環(huán)節(jié)，將采樣信號滯后k k個采樣周期。個采樣周期。kz()()fnk Tf nT因此因

12、此, ,預(yù)估器的輸出使采樣信號超前預(yù)估器的輸出使采樣信號超前k k個采樣周期。個采樣周期。kz 而而 則將采樣信號超前則將采樣信號超前k k個采樣周期。現(xiàn)代控制理個采樣周期?，F(xiàn)代控制理論中將當(dāng)前值作為論中將當(dāng)前值作為k k個采樣周期后時刻個采樣周期后時刻 的預(yù)的預(yù)測值，即有測值，即有 ()fnk TAutomatic Control Principle Page: 10自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理設(shè)設(shè) ，則，則( )( )Z e tE z( )()ataTZ ee tE ze 證明：證明：由由Z Z變換定義變換定義00( )()z()(z

13、)()atanTnnaTnaTnZ ee tee nTe nTeE ze 例6.3-3 設(shè)采樣信號 的Z變換為1 ( ) t1( )1zZtz試用復(fù)數(shù)位移定理求 的Z變換( )sin()1( )e ttt解：由正弦函數(shù)的復(fù)指數(shù)表達(dá)形式由正弦函數(shù)的復(fù)指數(shù)表達(dá)形式()()1sin()()2jtjtteejAutomatic Control Principle Page: 11自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 按復(fù)數(shù)位移和線性定理按復(fù)數(shù)位移和線性定理()1j Tjtjj tjj TzeZ ee Z eeze()1j Tjtjj tjj TzeZ eeZ eeze()()11

14、Z sin()ZZ22jtjtteejj1(1)(1)2(1)(1)jj Tj Tjj Tj Tj Tj Te zezeezezejzeze2121jj Tjj Tj Tj Tezeezej zej ze2()()21()()2() 1jjjTjTj Tj Tzeez eejzz ee22sinsin()2 cos1zzTzzT2sinsin2 cos1zTZtzzT=0Automatic Control Principle Page: 12自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 終值終值定理定理設(shè)設(shè) ，若，若 存在，則存在，則( )( )Z e tE zlim ()ne

15、nT1lim ()=lim(1) ( )nze nTzE z證明：證明：由實(shí)數(shù)位移定理由實(shí)數(shù)位移定理10()(0)(1)()nle nTee lTe lT取采樣序列的有限項(xiàng)的和進(jìn)行比較取采樣序列的有限項(xiàng)的和進(jìn)行比較00(1)00(1)()(1)(0)(0)()(1) (z)z (0)nnnnnnnne nT ze nT zze nT zeee nT zzEe由上式兩端求由上式兩端求 的極限，可得的極限，可得1z 01lim(1) ( )(0)(1)()nzzE zee nTe nT上式取上式取 的極限，即得的極限，即得1lim ()=lim(1) ( )nze nTzE zn 常用于確定常用于

16、確定系統(tǒng)誤差序系統(tǒng)誤差序列的穩(wěn)態(tài)值列的穩(wěn)態(tài)值A(chǔ)utomatic Control Principle Page: 13自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 例6.3-2 設(shè)信號及其采樣信號的Z變換分別為5552( )()(2)(tTTzTeE zzee tte，試檢查終值定理的結(jié)果。解：采樣信號的穩(wěn)態(tài)值和終值定理結(jié)果分別為采樣信號的穩(wěn)態(tài)值和終值定理結(jié)果分別為1(1)()1 lim (1)( )1zezE z ，結(jié)果相符結(jié)果相符結(jié)果相符結(jié)果相符結(jié)果不符結(jié)果不符(1)( )1( )( )1zE ze ttz，2sin( )2 cos1(5)( )sinzTE ztzTtze，3

17、332( )()(4)( )TtTzTeE zzee tte，2( )()1(3(TzE ze ttz ，1(2)()0 lim (1)( )0zezE z ，1(3)()lim (1)( )zezE z ，1(4)()lim (1)( )0zezE z ，1(5)()lim (1)( )0zezE z 不不定定，結(jié)果相符結(jié)果相符結(jié)果不符結(jié)果不符若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值不確定，則若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值不確定，則 終值定理不成立？終值定理不成立？若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值無窮大，則終值定理不成立？若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值無窮大，則終值定理不成立？問題？問題？若信號的穩(wěn)態(tài)值不存在，則采樣信號穩(wěn)態(tài)值亦不存在？若信號的穩(wěn)態(tài)值

18、不存在，則采樣信號穩(wěn)態(tài)值亦不存在？若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值不存在，則信號穩(wěn)態(tài)值亦不存在？若采樣信號的穩(wěn)態(tài)值不存在，則信號穩(wěn)態(tài)值亦不存在？采樣信號的穩(wěn)態(tài)值存在與否，可由其采樣信號的穩(wěn)態(tài)值存在與否，可由其Z Z變換判定？變換判定？采樣信號的穩(wěn)態(tài)值存在與否，取決于其采樣信號的穩(wěn)態(tài)值存在與否，取決于其Z Z變換的極點(diǎn)？變換的極點(diǎn)？Automatic Control Principle Page: 14自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 卷積卷積定理定理 設(shè)設(shè) 、 ，定義，定義離散卷積離散卷積( )( )Z x tX z( )( )Z y tY z0()()()()()kg nTx n

19、Ty nTx kT y nk T則則( ) ( )X z Y z證明：證明：由實(shí)數(shù)位移定理由實(shí)數(shù)位移定理000()()()nnnnkg nT zx kT y nk Tz()0=()()kn kn kkx kT zy nk Tznkn變變量量替替換換00=()()knnkx kT zy nT z 0( )()( ) ( )nnG zg nT zX z Y z Z Z變換的卷積定理是溝通時域和變換的卷積定理是溝通時域和Z Z域的橋梁。采樣信域的橋梁。采樣信號卷積的號卷積的Z Z變換是各采樣信號變換是各采樣信號Z Z變換的乘積變換的乘積-連續(xù)信號連續(xù)信號卷積的拉氏變換是各連續(xù)信號拉氏變換的乘積。卷積

20、的拉氏變換是各連續(xù)信號拉氏變換的乘積。Automatic Control Principle Page: 15自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 4.Z反變換變換的作用：變換的作用：( (包括包括L L變換、變換、F F變換、變換、Z Z變換變換) ) 通過變換將時域系統(tǒng)方程或時域信號轉(zhuǎn)換為復(fù)域通過變換將時域系統(tǒng)方程或時域信號轉(zhuǎn)換為復(fù)域表達(dá)式，由此開展復(fù)數(shù)域的系統(tǒng)研究、信號分析、控表達(dá)式，由此開展復(fù)數(shù)域的系統(tǒng)研究、信號分析、控制設(shè)計(jì)和信號濾波。制設(shè)計(jì)和信號濾波。 通過反變換將復(fù)數(shù)域的控制輸出或輸出響應(yīng)轉(zhuǎn)換通過反變換將復(fù)數(shù)域的控制輸出或輸出響應(yīng)轉(zhuǎn)換為時域信號，對控制對象實(shí)

21、施控制。為時域信號，對控制對象實(shí)施控制。 Z Z反變換是將反變換是將Z Z變換表達(dá)式變換表達(dá)式 轉(zhuǎn)換為采樣序列轉(zhuǎn)換為采樣序列 的過程的過程。( )E z()e nT常用的常用的Z Z反變換方法有兩種。反變換方法有兩種。 冪級數(shù)法冪級數(shù)法 又稱綜合除法，實(shí)際上是基于又稱綜合除法，實(shí)際上是基于 有理有理分式函數(shù)的多項(xiàng)式除法。該方法直接獲得采樣脈沖序分式函數(shù)的多項(xiàng)式除法。該方法直接獲得采樣脈沖序列的數(shù)值。列的數(shù)值。1zAutomatic Control Principle Page: 16自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 0(z)( )()znnEZ e te nT設(shè)設(shè)通常

22、可將其表示為通?？蓪⑵浔硎緸?1010(z )( )(z )miiiniiib zBE zAa z直接作多項(xiàng)式除法，可得關(guān)于直接作多項(xiàng)式除法，可得關(guān)于 升冪排列的級數(shù)升冪排列的級數(shù)0(z)c znnnE1z按照采樣函數(shù)及其按照采樣函數(shù)及其Z Z變換的定義變換的定義12301230( )()nne tctnTcc zc zc z實(shí)際應(yīng)用時，只需要計(jì)算有限的前若干項(xiàng)。實(shí)際應(yīng)用時，只需要計(jì)算有限的前若干項(xiàng)。Automatic Control Principle Page: 17自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 解：先將先將Z Z變換按變換按 降冪排列降冪排列12312120

23、( )1 1.5+0.5zzzE zzz由多項(xiàng)式除法得由多項(xiàng)式除法得1z例6.3-3 設(shè)采樣信號的Z變換為試用冪級數(shù)法求 的Z反變換。3221( )32-1.50.5zzE zzzz123( )1 3.54.756.375E zzzz ( )1 3.5 ()4.75 (2 )6.375 (3 )e ttTtTtT 根據(jù)采樣信號根據(jù)采樣信號Z Z變換的定義，變換的定義， 的的Z Z反變換即采樣反變換即采樣信號為信號為( )E z( )E zAutomatic Control Principle Page: 18自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 部分分式法部分分式法 可獲

24、得采樣序列的解析表達(dá)式。可獲得采樣序列的解析表達(dá)式。 均為單極點(diǎn)均為單極點(diǎn)( )E z( )E z 即即 所有極點(diǎn)所有極點(diǎn) 互互異，且可展開為部分分式異，且可展開為部分分式 ,1,2,ia iN0( )/zNiiicE zza其中，其中， 為極點(diǎn)為極點(diǎn) 對應(yīng)的留數(shù)，即對應(yīng)的留數(shù)，即icia1lim ()( ) ,1,2,iiizacza z E ziN由采樣序列的由采樣序列的Z Z變換變換0()nnzZatnTza11101( )() ()NNniiiiniic zZE zZc atnTza()e nTAutomatic Control Principle Page: 19自動控制原理自動控制

25、原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 例6.3-4設(shè)z變換為試求其Z反變換。解：作部分分式分解作部分分式分解12( )10.5b zb zE zzz由留數(shù)計(jì)算式由留數(shù)計(jì)算式1111lim(1)( )lim20.5zzzbzz E zz120.50.5lim(0.5)( )lim11zzzbzz E zz 由由Z Z變換式變換式0()nnzZatnTza10( )(20.5 ) ()nnZE ztnT2( )(1)(0.5)zE zzzAutomatic Control Principle Page: 20自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 具有重極點(diǎn)具有重極點(diǎn)( )E

26、 z( )E z 即即 具有互異極點(diǎn)具有互異極點(diǎn) ，且第且第i i個極點(diǎn)個極點(diǎn) 為為 重極點(diǎn)，因此可展開為部分分式重極點(diǎn)，因此可展開為部分分式 ,1,2,ia iNiain1(111( )()iikNni nkkikicazE zza ）其中其中 為對應(yīng)重根為對應(yīng)重根 的留數(shù)的留數(shù) ,1,ikicknia(1)1(1)(1)lim()( ) ,1,iiiinknkikiinkzadcazazE zkndz 關(guān)鍵在于求關(guān)鍵在于求 的的Z Z反變換。反變換。1( ),2,3,()kkkazE zkza0nnnza zza(1)01()nnna zzaK=1K=1時時Automatic Control Principle Page: 21自動控制原理自動控制原理 南南京京航航空空航航天天大大學(xué)學(xué) 1(1)2001(1)()()nnnnnnazaznazna zzaza2232011(1)()2()2nnnazazn na zzaza 1(1)201()nnnana zza1101(1),2,()kknniknjaznja zknzaj K=2K=2K=3K=3由上可推得通式由上可推得通式()ke nT1(111( )