第六講：一階隱式微分方程

1、1 若能從若能從(1)解出解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到一的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程，用前面的辦法求解。個(gè)或幾個(gè)顯式方程，用前面的辦法求解。 前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（微分方程，即顯式方程（ ）/( , )yf x y一階隱式微分方程是指一階隱式微分方程是指/( , ,)0(1)f x y y第六講第六講 一階隱式方程的解法一階隱式方程的解法2(3) 30.yxy yxy例例1: 試求解微分方程：試求解微分方程：2 本節(jié)主要介紹三種類(lèi)型隱式微分方程本節(jié)主要介紹三種類(lèi)型隱式微分方程的求解方法。的求解方法。 （1）不含

2、）不含 y （或（或 x）的方程）的方程 （2）可解出）可解出 x 的方程的方程 （3）可解出）可解出 y 的方程的方程 若不能從若不能從(1)解出解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。3 1、若方程（、若方程（1）不含）不含y，即，即 /( ,)0.f x y/( )( )xttyt,( 為)為參數(shù)參數(shù)若原方程可表示形式( )( ).ytt dtc/從而從而/( ),( )( )( ),dxt dtdyt dxtt dt那么4( )( )( )xttytt dtc/參.( 為參)數(shù)

3、數(shù)故得原方程形式的解222) (1)0yxx求方程求方程( (的通解.的通解.例例1 1/cos ,cot ,xtyt 設(shè)解： 代入原方程5sin( ),cos( )sin.,dxt dtdyt dtytc從那么而 cos( )sin( )xttyt dtc參數(shù).( 為參數(shù))故得原方程形式的解/cos( )cot.( )xtyt 為參數(shù)原方程可表示形式22()1.xyc參 數(shù)積上 式 消 去得 通 分63330.xyxy求方程的通解例例2 2： 若方程（若方程（1）不含）不含 x，即，即 則完全類(lèi)似求解。則完全類(lèi)似求解。/( ,)0,f y y22(1-)(2) .yyy求解方程例例3 3：7

4、 2、若可從方程（、若可從方程（1）解出）解出 x，即，即 /( ,).(4)xf y y 解法：解法： /( , ).xf y pypyp引入?yún)?shù), 于是（4）等價(jià)于引入?yún)?shù), 于是（4）等價(jià)于/( , )1( , )( , ).ypdpfy pfy pxf ydypyp對(duì)關(guān)于 求導(dǎo)，得對(duì)關(guān)于 求導(dǎo)，得 這個(gè)方程可化為顯式形式，用前面類(lèi)這個(gè)方程可化為顯式形式，用前面類(lèi)似的方法能求出（似的方法能求出（1）的解。）的解。 8/(ln)1yxy求方程的通解.求方程的通解.例例4 4/1ln.1ln.xyydypxpdxpx由原方程解出 得：即有解解 令, 令, .1dppdyp得得整理2111,d

5、pdppdyp dypy 兩端關(guān)于 求導(dǎo)得兩端關(guān)于 求導(dǎo)得91lnlnxpppyppc.( 為參數(shù))參數(shù)則則原方程有形式的通解ln,yppc變用分離量法求解上式得10 3、若可從方程（、若可從方程（1）解出）解出 y，即，即 /( ,).(2)yf x y 解法：解法： /( , ).yf x pypyp引入?yún)?shù), 于是（2）等價(jià)于引入?yún)?shù), 于是（2）等價(jià)于/( , )( , ).( ,xpyf x pxdppfx pfx pdx對(duì)關(guān)于 求導(dǎo)，得對(duì)關(guān)于 求導(dǎo)，得11( ,),( , ( ,).pp x cyf xdpdxp x c從上式解出,若能求得解從上式解出,若能求得解則（2）有通解則（

6、2）有通解這/ 里p = p(x,c)只能代入y = f(x,p),不能代入y= p.53-( ) -( ) 50.yyyy解方程例例5 5：12( , ,)0,( , )( , ,)0gp x cyf x pgpdxxpdcp， 若只能從關(guān)于的方程求得通積分若只能從關(guān)于的方程求得通積分則可通過(guò)聯(lián)立方程則可通過(guò)聯(lián)立方程再消去 ，得到原方程的通積分。再消去 ，得到原方程的通積分。( ,),( ,)( ( ,), )xp cxp cyfdp cppdx參數(shù).(p為參數(shù)) 若只能從關(guān)于的方程求得解若只能從關(guān)于的方程求得解則則原方程有形式的通解13求方程的通解.求方程的通解.222()2xyxyy例例

7、6 6解令,原方程寫(xiě)為解令,原方程寫(xiě)為2/22( ) .2ypxyxpp(12)0,dppxdx（）化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得1.2dppxdx 或者222,dpdpppxxpdxdxx兩端關(guān)于 求導(dǎo)得兩端關(guān)于 求導(dǎo)得14222( )21-.2xyxpppxyx 將將代入方程得到特解得到特解222211,22112 ()()2221.4dppxcdxxyxxcxcxc xc 為 由方程知于是原方程的通解15()()yxyy此方程稱(chēng)為克萊洛方程求方程的通解.求方程的通解.例例7 7/( ).yxpypp（3）解令,原方程寫(xiě)為解令,原方程寫(xiě)為( )0,dppxdx/（）化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得/( )( )0,( ),pd

8、pdpppxpdxdxppx 若二次可微且(3)兩端若二次可微且(3)兩端關(guān)于 求導(dǎo)得關(guān)于 求導(dǎo)得160,().dppcdxyc xc由得到從而有通解/( )0,( )( )( ( ).0( ),pxppp xyxp xp x由于則存在隱函數(shù)代入（3）即得到特解 /( )0( )0.( )xpxpyxpp取與（3）聯(lián)立有17()yxyy關(guān)萊們于克洛方程，我有().yxcc萊換數(shù)為/ （ 1） 克洛方程的通解由原方程的y成 任意常得到，即/( )0.( )xppyxpp萊為參數(shù)（ 為參數(shù)）（2）克洛方程的特解形式/( )0 xp時(shí)這個(gè)參數(shù)稱(chēng)為積線(xiàn)兩關(guān)導(dǎo) 此，形式的特解又方程的p分曲。而可直接由（3）端于p求得到。1821yxyy解求求方方程程. .例例8 821( )yxyy解求求方方程程. .思考：思考：19習(xí)題選講習(xí)題選講2ln() .yxyxxyex1ex1：2ln(1 ).yyex2ex2：222cotyyyxyex3ex3：33(1)yxyex4ex4：32 10.yyy ex5ex5：22()( ) .xyxyy yex6ex6：20小 結(jié)/( , ,)0f x y y （1）可解出）可解出 y 的方程的方程 （2）可解出）可解出 x 的方程的方程 （3）不含）不含 x （或（或 y）的方程）的方程 * 借助于一些變量代換 ，可將隱式形式的方程化為顯式方程