中考數(shù)學(xué)專題：反比例函數(shù)中的直角

1、專題13 反比例函數(shù)中的直角三角形問(wèn)題 1、如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連結(jié)BC若ABC的面積為2 （1）求k的值； （2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k0）的圖象與反比例函數(shù)y=（m0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，6），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），且tanACO=2 （1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （3）在x軸上求點(diǎn)E，使ACE為直角三角形（直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)） 【答

2、案】（1）y=，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0） 3、如圖，一次函數(shù)ykx+b（k0）與反比例函數(shù)y（a0）的圖象在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，6），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），連接OA，過(guò)B作BCy軸，垂足為C （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； （2）在射線CB上是否存在一點(diǎn)D，使得AOD是直角三角形，求出所有可能的D點(diǎn)坐標(biāo) 解：（1）點(diǎn)B（2，3）在反比例函數(shù)y的圖象上， a3×26， 反比例函數(shù)的表達(dá)式為y， 點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6， 點(diǎn)A在反比例函數(shù)y圖象上， A（1，6）， ， ， 一次函數(shù)的表達(dá)式為y3x+9； （2）

3、如圖，當(dāng)OD1A90°時(shí)， 設(shè)BC與AO交于E，則E（，3）， AEOED1E， E（，3）， D1的坐標(biāo)為（，3）； 當(dāng)OAD290°時(shí)， 可得直線AD2的解析式為：yx+， 當(dāng)y3時(shí)，x19， D2的坐標(biāo)為（19，3）， 綜上所述，當(dāng)AOD是直角三角形，D點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）或（19，3） 4、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn) （1）求OCD的度數(shù)； （2）如圖2，連接OQ、OP，當(dāng)DOQOCDPOC時(shí)，求此時(shí)m的值； （3）如圖3，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸和y軸正半軸

4、上的動(dòng)點(diǎn)再以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形OAMB若點(diǎn)M恰好在函數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象上，且四邊形BAPQ為平行四邊形，求此時(shí)OA、OB的長(zhǎng)度 解：（1）設(shè)直線PQ的解析式為ykx+b，則有， 解得， yx+m+1， 令x0，得到y(tǒng)m+1， D（0，m+1）， 令y0，得到xm+1， C（m+1，0）， OCOD， COD90°， OCD45° （2）如圖2，過(guò)Q作QMy軸于M，過(guò)P作PNOC于N，過(guò)O作OHCD于H， P（m，1）和Q（1，m）， MQPN1，OMONm， OMQONP90°， OMQONP（SAS）， OQOP，DOQPOC， DOQOCD

5、POC，OCD45°， DOQPOCQOHPOH22.5°， MQQHPHPN1， OCDODC45°， DMQ和CNP都是等腰直角三角形， DQPC， OCODm+1， CDOC， CDDQ+PQ+PC， 2+2， m+1； （3）如圖3， 四邊形BAPQ為平行四邊形， ABPQ，ABPQ， OAB45°， AOB90°， OAOB， 矩形OAMB是正方形， 點(diǎn)M恰好在函數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象上， M（，），即OAOB， ABPQ， ， 解得：m或（舍）， OAOB 5、如圖，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，射線AB與反比例函數(shù)的圖象的

6、另一個(gè)交點(diǎn)為B（1，a），射線AC與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)C，BAC75°，ADy軸，垂足為D （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）求DC的長(zhǎng)； （3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得APE與ACD相似，若存在，請(qǐng)求出滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)， k2， 反比例函數(shù)的解析式為：； （2）過(guò)點(diǎn)B作BMAD于M，把B（1，a）代入得， B（1，2）， AMBM21， BAM45°， BAC75°， DAC75°45°30°， CDADtanDAC2×2； （3）存在， 如圖，OCC

7、DOD1， OEOC， 當(dāng)APx軸時(shí)，APECDA，則：OP1AD2， P1（2，0）， 當(dāng)APAE時(shí)，APEDCA，AP11，AP2P190°30°60° 則， 綜上所述，滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），（，0） 6、如圖，直線yx+b與反比例函數(shù)y（x0）的圖象交于A（2，6），B（a，3）兩點(diǎn)，BCx軸（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)），且BCm，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E （1）求b的值和反比例函數(shù)的解析式； （2）填空：不等式x+b的解為 ； （3）當(dāng)OC平分BOD時(shí)，求的值； （4）如圖，取BC中點(diǎn)F，連接DF，AF，BD，當(dāng)四邊形AB

8、DF為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo) （1）將A（2，6）代入yx+b得，3+b6， 解得：b9， 將A（2，6）代入y得，k12， 反比例函數(shù)的解析式為：y； （2）當(dāng)y3時(shí)，3， 解得：x4， B（4，3）， 由圖象可知不等式x+b的解為：2x4， 故答案為：2x4； （3）將B（a，3）代入y得，3， 解得：a4， OC平分BOD， BOCCOD， BCx軸， BCOCOD， BOCBCO， OBBC， B（4，3）， OBBC5， C（9，3）， E（9，），D（9，0）， DE，CE3， ； （4）作AHBC于H，則H（2，3）， AH3，BH2， 四邊形ABDF為平行四邊形， ABDF

9、，ABDF， CFDCBQ， AHBDCF90°，ABHCBQ， CFDABH， ABHDFC（AAS）， CFBH2， F是BC中點(diǎn)， BFCFBC2， B（4，3）， F（6，3） 7、定義：在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位的平移稱為一次斜平移已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A經(jīng)過(guò)n次斜平移得到點(diǎn)B，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn) （1）當(dāng)n3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ； （2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M落在y的圖象上，求n的值； （3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M落在直線l上，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，BC與直線l相交于點(diǎn)N 求證：ABC是直角三角形； 當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，

10、求MN的長(zhǎng) 解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，點(diǎn)A（1，0）經(jīng)過(guò)n次斜平移得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+n，2n）， 當(dāng)n3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6）， 點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)， 點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2.5，3）， 故答案為：（4，6），（2.5，3） （2）由題意，A（1，0），B（1+n，2n）， 線段AB中點(diǎn)M（，n）， 點(diǎn)M落在y的圖象上， ×n4， 解得n2或n4（舍去）， n2； （3）連接CM，如圖1， M是AB的中點(diǎn)， AMBM， 由軸對(duì)稱可知：BMCM， AMCMBM， MACACM，MBCMCB， MAC+ACM+MBC+MCB180°， ACM+MCB90°，即ACB

11、90°， ABC是直角三角形； 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)A（1，0）， AC5， 點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)， BNCN， 點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn) AMBM， MNAC 8、如圖（1），正方形ABCD頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y（k0）的圖象上，點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改變時(shí)，正方形ABCD的大小也隨之改變 （1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)； （2）如圖（2），當(dāng)k8時(shí)，分別求出正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）當(dāng)變化的正方形ABCD與（2）中的正方形ABCD有重疊部分時(shí)，求k的取值范圍 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEy軸于點(diǎn)E，則AED90°

12、 四邊形ABCD為正方形， ADDC，ADC90°， ODC+EDA90° ODC+OCD90°， EDAOCD， 在AED和DOC中 ， AEDDOC（AAS）， ODEA5， 點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為5； （2）作AMy軸于M，BNx軸于點(diǎn)N， 設(shè)ODa，OCb， 同理可得BCNCDOADE， CNODAMa，BNCODMb， A（a，a+b），B（a+b，b）， 點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y的圖象上， a（a+b）8，b（a+b）8， 解得ab2或ab2（舍去）， A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，4），（4，2）； （3）設(shè)直線AB的解析式為ymx+n， 把A（2，4），B（4

13、，2）代入得 ， 解得， 直線AB解析式為yx+6， 同樣可求得直線CD解析式為yx+2， 由（2）可知OCD是等腰直角三角形， 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，m）， 當(dāng)A點(diǎn)在直線CD上時(shí)，則2mm+2，解得m， 此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）， k×； 當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，有m6，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，12）， k6×1272； 綜上可知：當(dāng)變化的正方形ABCD與（2）中的正方形ABCD有重疊部分時(shí)，k的取值范圍為x72 9、如圖，如圖，一次函數(shù)yx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（m，1）和B （1，3） （1）填空：一次函數(shù)的解析式為 ，反比例函數(shù)的解析式為 ；

14、 （2）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接AP，BP當(dāng)ABP是直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 解：（1）點(diǎn)A（m，1）和B （1，3）在反比例函數(shù)的圖象上， k1×（3）3，km×1， m3， 點(diǎn)A（3，1）， 反比例函數(shù)解析式為：y； 一次函數(shù)yx+b過(guò)點(diǎn)B（1，3）， 31+b， b2， 一次函數(shù)解析式為：yx2； 故答案為：yx2，； （2）如圖1，當(dāng)ABP90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作CDx軸，過(guò)點(diǎn)A作ACDC于C，過(guò)點(diǎn)B作BDCD于D， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）， ACx+3，CP1，PD3，BDx1， APB90°， APC+BPD90°， 又APC+

15、CAP90°， CAPBPD， 又CBDP90°， ACPPBD， ， ， x11，x21（舍去）， 點(diǎn)P（1+，0）； 當(dāng)ABP90°時(shí)， 直線yx2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D， 點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)D（0，2）， OC2，OD2，CD2，BC3， tanOCD， ， CP6， 點(diǎn)C（2，0）， 點(diǎn)P（4，0）， 綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（4，0） 10、如圖，一次函數(shù)yx+3的圖象與反比例函數(shù)y（k0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）若點(diǎn)P在x軸上，且APC的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3

16、）若點(diǎn)P在y軸上，是否存在點(diǎn)P，使ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入yx+3，得a2， A（1，2）， 把A（1，2）代入反比例函數(shù)， k1×22； 反比例函數(shù)的表達(dá)式為； （2）一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)C， C（3，0）， 設(shè)P（x，0）， PC|3x|， SAPC|3x|×25， x2或x8， P的坐標(biāo)為（2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：聯(lián)立， 解得：或， B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）， 點(diǎn)P在y軸上， 設(shè)P（0，m）， AB，AP，PB， 若BP為斜邊， BP

17、2AB2+AP2 ， 即 2+， 解得：m1， P（0，1）； 若AP為斜邊， AP2PB2+AB2 ， 即 +2， 解得：m1， P（0，1）； 綜上所述：P（0，1）或 P（0，1） 11、如圖，直線yx+6與反比例函數(shù)y（x0）分別交于點(diǎn)D、A（ABAC），經(jīng)探索研究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論ABCD始終成立另一直線ymx（m0）交線段BC于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)y（x0）圖象于點(diǎn)F （1）當(dāng)BC5時(shí)： 求反比例函數(shù)的解析式 若BE3CE，求點(diǎn)F的坐標(biāo) （2）當(dāng)BE：CD1：2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出k與m的數(shù)量關(guān)系 解：（1）針對(duì)于直線yx+6，令x0，則y6， A（0，6）， OA6， 令y0，則0x+6， x8

18、， D（8，0）， OD8， AD10， BC5， AB+CDADBC5， ABCD， AB， 過(guò)點(diǎn)B作BGy軸于G， AGB90°AOB， BAGDAO， ABGADO， ， ， AG，BG2， OGOAAG， B（2，）， 點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x0）圖象上， k2×9， 反比例函數(shù)的解析式為y； BC5， BE+CE5， BE3CE， BE， AEAB+BE， 過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H， AHE90°AOB， HAEOAD， HAEOAD， ， ， AH，BG5， OHOAAH， E（5，）， 直線OE的解析式為yx， 聯(lián)立，解得，（舍）或， F（2，）； （2）

19、BE：CD1：2， BEa，則CD2a， ABCD2a， AEAB+BE3a， 過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H， 同（1）的方法得，HAEOAD， ， ， AHa，EHa， OHOAAH6a， E（a，6a）， 將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線ymx（m0）中，解得am6a， a， 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y（x0）中， 解得，ka（6a）a（103a）×（10） 13、如圖，已知直線y2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，矩形ACBE的頂點(diǎn)B在第一象限的反比例函數(shù)y圖象上，過(guò)點(diǎn)B作BFOC，垂足為F，設(shè)OFt （1）求ACO的正切值； （2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含t的式子表示）； （3）已知直線y2x+2

20、與反比例函數(shù)y圖象都經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE，如果DEx軸，求m的值 解：（1）直線y2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C， 點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，2） OA1，OC2， tanACO； （2）四邊形ACBE是矩形， ACB90°， ACO+BCF90°，且BCF+CBF90°， ACOCBF， OFt， CF2t， tanCBFtanACO， BF42t， 點(diǎn)B（42t，t）； （3）如圖，連接DE，交x軸于H點(diǎn)， DEx軸， AHE90°， HAE+AEH90°，且CAO+HAE90°，CAO+ACO90°，ACO+BCF90°， AEHBCF，且CFBAHE，AEBC， BCFAEH（AAS） AHBF42t，CFHE， 點(diǎn)A（1，0）， 點(diǎn)H（32t，0）， 當(dāng)x32t時(shí)，y2（32t）+284t， 點(diǎn)D坐標(biāo)為（32t，84t）， 點(diǎn)D，點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y上， （32t）（84t）t（42t） t12（不合題意舍去），t2； 點(diǎn)B（，） m× 14、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為BAD的平分線