灰色系統(tǒng)分析講義

1、數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析五步建模思想研究一個(gè)系統(tǒng)，一般應(yīng)首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的整體功能、協(xié)調(diào) 功能以及系統(tǒng)各因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系、因果關(guān)系、動(dòng)態(tài)關(guān)系進(jìn)行具體的量化研 究。這種研究必須以定性分析為先導(dǎo)，定量與定性緊密結(jié)合。系統(tǒng)模型的建立， 一般要經(jīng)歷思想開發(fā)、因素分析、量化、動(dòng)態(tài)化、優(yōu)化五個(gè)步驟，故稱為五步建 模。第一步：開發(fā)思想，形成概念，通過定性分析、研究，明確研究的方向、目標(biāo)、 途徑、措施，并將結(jié)果用準(zhǔn)確簡(jiǎn)練的語言加以表達(dá)，這便是語言模型。第二步：對(duì)語言模型中的因素及各因素之間的關(guān)系進(jìn)行剖析，找出影響事物發(fā)展 的前因、后果，并將這種因果關(guān)系用框圖表示出來（見圖1）。!| !果亠

2、 環(huán)4X：Y節(jié)4(a) (b) 圖1壞P14師* 4q -壞布$亠和2一對(duì)前因后果（或一組前因與一個(gè)后果）構(gòu)成一個(gè)環(huán)節(jié)。一個(gè)系統(tǒng)包含許多這樣 的環(huán)節(jié)。有時(shí)，同一個(gè)量既是一個(gè)環(huán)節(jié)的前因，又是另一個(gè)環(huán)節(jié)的后果，將所有 這些關(guān)系連接起來，便得到一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的、由多個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的框圖（如圖2所 示），即為網(wǎng)絡(luò)模型。圖1第三步：對(duì)各環(huán)節(jié)的因果關(guān)系進(jìn)行量化研究，初步得出低層次的概略量化關(guān)系， 即為量化模型。第四步：進(jìn)一步收集各環(huán)節(jié)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)，利用所得數(shù)據(jù) 序列，建立動(dòng)態(tài)GM模型，即動(dòng)態(tài)模型。動(dòng)態(tài)模型是高層次的量化模型，它更為深刻地揭示出輸入與輸出之間的數(shù)量關(guān)系 或轉(zhuǎn)換規(guī)律，是系統(tǒng)分析、優(yōu)化的基礎(chǔ)。第

3、五步：對(duì)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行系統(tǒng)研究和分析，通過結(jié)構(gòu)、機(jī)理、參數(shù)的調(diào)整，進(jìn)行 系統(tǒng)重組，達(dá)到優(yōu)化配置、改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的目的。這樣得到的模型，稱之為 優(yōu)化模型。五步建模的全過程，是在五個(gè)不同階段建立五種模型的過程：網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)化模型在建模過程中，要不斷地將下一階段中所得的結(jié)果回饋，經(jīng)過多次循環(huán)往復(fù)，使 整個(gè)模型逐步趨于完善。數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析 灰色系統(tǒng)建模的基本思路可以概括為以下幾點(diǎn)： 1科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；02經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；03生產(chǎn)數(shù)據(jù)；04決策數(shù)據(jù)。(1)建立模型常用 的數(shù)據(jù)有以下幾種：O(2) 序列生成數(shù)據(jù)是建立灰色模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。(3) 般非負(fù)序列累加生成后，得到準(zhǔn)光滑序列，對(duì)于滿足光滑條件的序列，

4、 即可建立GM微分模型。(4) 模型精度可以通過不同的灰數(shù)生成方式，數(shù)據(jù)的取舍，序列的調(diào)整、修正 以及不同級(jí)別的殘差GM模型補(bǔ)充得到提高。(5) 灰色系統(tǒng)理論采用殘差大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)三種方法檢 驗(yàn)、判斷模型的精度?；疑到y(tǒng)分析白”指信息完全確知， 黑”指信息完全不確知， 灰”則指信息部分確知，部分不 確知，或者說信息不完全。這是 灰”的基本含義。對(duì)于不同問題，在不同的場(chǎng)合，灰”可以引伸為別的含義。如：從表象看：明”是白，暗”是黑，那么 半明半暗或若明若暗”就是灰。從態(tài)度看：肯定”是白，否定”是黑，那么 部分肯定，部分否定”就是灰。從性質(zhì)看：純”是白，不純”是黑，那么 多種成分”

5、就是灰。 從結(jié)果看：唯一”是白，無數(shù)”是黑，那么 非唯一”就是灰。從過程看：新”是白，舊”是黑，那么 新舊交替”就是灰。 從目標(biāo)看：?jiǎn)文繕?biāo)”是白，無目標(biāo)”是黑，那么 多目標(biāo)”就是灰。類似地可以舉出許多例子，就其基本含義而言，灰”是信息不完全性與非唯一性。信息不完全性與非唯一性在人們認(rèn)識(shí)與改造客觀世界的過程中會(huì)經(jīng)常遇到的。 客觀世界是物質(zhì)世界，也是信息世界。所謂系統(tǒng)是指：由客觀世界中相同或相似 的事物按一定的秩序相互關(guān)聯(lián)、相互制約而構(gòu)成的整體。例如工程技術(shù)系統(tǒng)，社 會(huì)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等等。所謂白色系統(tǒng)是指：信息完全明確的系統(tǒng)。如，一個(gè)家庭，其人口、收入、支 出、父子、母女上下間的關(guān)系等等完全明確；

6、一個(gè)工廠。其職工、設(shè)備、技術(shù)條 件、產(chǎn)值、產(chǎn)量等等信息完全明確。像家庭、工廠這樣的系統(tǒng)就是白色系統(tǒng)。 所謂黑色系統(tǒng)是指：信息完全不明確的系統(tǒng)。如遙遠(yuǎn)的某個(gè)星球，其重量、體 積、是否有生命等等全然不知；湖北原始森林神農(nóng)架的野人，其生活習(xí)性、群體 關(guān)系，交換信息的方法等等完全不清楚，這樣一類的系統(tǒng)都是黑色系統(tǒng)，還有飛 碟、百暮三角洲等等目前只能看成黑色系統(tǒng)。所謂灰色系統(tǒng)是指：介于白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)之間的系統(tǒng)(Grey System)，即系統(tǒng)內(nèi)部信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。例如人體，其身高、體重、 年齡、血壓、脈搏、體溫等等都是已知的，而人體的穴位的多少，穴位的生物、 化學(xué)、物理性能；生

7、物信息的傳遞；溫度場(chǎng)；意識(shí)流等等尚未確知或者知道不透 徹。因此把人體看成灰色系統(tǒng)?；疑P(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否 緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小?；疑到y(tǒng)分析方法主要是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分利用數(shù)量不多 的數(shù)據(jù)和信息尋求相關(guān)因素與各因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。、基本概念灰數(shù)，是客觀系統(tǒng)中大量存在著隨機(jī)的，含混的，不確知的參數(shù)的抽象。因此灰 數(shù)是在指定范圍內(nèi)變化的所有白化數(shù)(確知數(shù)值的數(shù))的全體。如某人的年齡18歲左右”這“1歲左右”就是灰數(shù)。0000是由于對(duì)某人確定的出身年月缺乏信息。又如今天氣溫在2

8、533之間”這“ 253之 間”就是灰數(shù)。?。令a為區(qū)間，a為a中的數(shù)，若灰數(shù)？在a內(nèi)取值，稱a為？的一個(gè)可能的白化 值。用ii(a)是灰數(shù)？的白化值。注意：符號(hào)描述是：？為一般灰數(shù)，？(a是以a為白化值 的灰數(shù)，？ii某個(gè)只知大概范圍，而不知其準(zhǔn)確數(shù)值的全體實(shí)數(shù)，稱為灰數(shù)，記 作數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析(a河以為a,也可以不為a,關(guān)鍵是取決于取數(shù)時(shí)所獲得的補(bǔ)充信息。例如最近氣溫在？(29) 25,33(這里25,33,或記作？，即最近的氣溫是灰數(shù)？，可記作? 2533之間” 00(29)=29,而29是一個(gè)可能的白化值)。如果指定某一天某一刻(這叫補(bǔ)充信息)其氣溫為29度，則？(29)=某天

9、某時(shí)刻的氣溫為31度，則？31，意思是以29度為白化值的最近灰氣溫 的白化值為31度。二、灰色關(guān)聯(lián)分析1. 灰色關(guān)聯(lián)分析的目的尋求系統(tǒng)中各因素間的主要關(guān)系，找出影響目標(biāo)值的重要因素，從而掌握事物的 主要特征，促進(jìn)和引導(dǎo)吸引迅速而有效地發(fā)展。2. 灰色關(guān)聯(lián)分析的方法它是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢(shì)的定量描述和比較的方法。發(fā)展態(tài)勢(shì)的比較，依據(jù) 空間理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，按照規(guī)范性、偶對(duì)對(duì)稱性、整體性和接近性這四條原則， 確定參考數(shù)列(母數(shù)列)和若干比較數(shù)列(子數(shù)列)之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度。3. 灰色關(guān)聯(lián)分析與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)分析的區(qū)別(1) 理論基礎(chǔ)不同灰色關(guān)聯(lián)分析基于灰色系統(tǒng)的灰色過程，而相關(guān)分析則基于概率論

10、的隨機(jī)過程(2) 分析方法不同灰色關(guān)聯(lián)分析進(jìn)行因素間時(shí)間序列的比較，而相關(guān)分析則進(jìn)行因素間數(shù)組的比較；(3) 數(shù)據(jù)量要求不同灰色關(guān)聯(lián)分析不需要太多的數(shù)據(jù)，而相關(guān)分析則需要足夠的數(shù)據(jù)量；(4) 研究重點(diǎn)不同灰色關(guān)聯(lián)分析主要研究動(dòng)態(tài)過程，而相關(guān)分析則以靜態(tài)研究為主。4. 關(guān)聯(lián)度與關(guān)聯(lián)系數(shù)兩個(gè)系統(tǒng)或兩個(gè)因素間關(guān)聯(lián)性大小的度量，稱為關(guān)聯(lián)度。關(guān)聯(lián)度描述了系統(tǒng)發(fā)展的過程中，因素間相對(duì)變化的情況，也就是變化的大小， 方向與速度等相對(duì)性。如果兩者在發(fā)展過程中，相對(duì)變化基本一致，則認(rèn)為兩者 關(guān)聯(lián)度較大，否則認(rèn)為關(guān)聯(lián)度較小。(1) 單因素的情況如果系統(tǒng)行為只有一個(gè)因子x,而x受到多種因素x00i因子關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算

11、方法設(shè)系統(tǒng)行為因子的參考數(shù)列為一種利用因素x對(duì)i=1,2, ,n的影響，ixO的灰色關(guān)聯(lián)度來表示xi對(duì)xO影響大小的方法稱為灰色關(guān)聯(lián)分析。，相關(guān)因素為x0=x0(1),x 0(2), ,x0( n) xi=xi(1),xi(2), ,xi(n)i=1,2, ,m ，記?i(k)=x0(k)-xi(k)(k=1,2, ,n;其中a 0,1,稱為分辨率系數(shù)，當(dāng)aa =0.5 1 i m則參考數(shù)列x0在第k點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為minmin?i(k)+ a maxmax?i(K) kr(x0(k),xi(k)=i?i(k)+a maxma越大)ik分辨率越大；當(dāng)a越小，分辨率越小。一般情況取i=1,2,

12、 ,m灰關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式為：1nri=r(x0,xi)= 刀(r(x0(k),xi(k) nk=1(2) 多因子情況設(shè)系統(tǒng)行為有多個(gè)因子，不妨設(shè)因子集為X等，或者接近，或者同數(shù)量級(jí)等等；=xii=1,2, ,l,如果因素?cái)?shù)列xi滿足下列條件：1)數(shù)列x的數(shù)據(jù)x(k)之間具有可 比性，即指定x(k)與x(k)之間的數(shù)值可以比較的，或者相iiij3數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析2) 數(shù)列x之間具有可接近性，即非平等性；i3) 數(shù)列x之間具有同級(jí)性，即同為正(極大值)極性，或負(fù)(極小值)極性， 或中極性。i以灰關(guān)聯(lián)因子集X中的一個(gè)因子xi(1 5322112221133247E415102456361wan

13、理冀a 141761517215165LH7B14523L51T91642517177182016361911I 07160216 3&16311710機(jī)盧ft*1915213021212655300434203425數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析選取總能源xO為參考數(shù)列,234xO=6277O,64562,63721,63223,66772,71263,77847,85538以煤炭產(chǎn)量 x、石油 產(chǎn)量X、天然氣產(chǎn)量x、水電產(chǎn)量x為比較數(shù)列。1(1) 原始數(shù)據(jù)作均值化處理設(shè)原始數(shù)列為xi=xi(1),xi(2), ,xi(8)，對(duì)xi作均值化處理得到數(shù)列yi，令，則18xi=刀 xi(k)8k=1?

14、xi(1)xi(2)xi(8) ?yi=yi(1),yi(2), ,yi(8)= ? , ,? i=O,1,2,3,4xixi? xi(2) 求差序列？(3) 計(jì)算參考數(shù)列 i(k)=yi(k)-yO(k)(i=1,2,3,4;k=1,2,3,4,5,6,7,8)，取 a =0.5 r(yO(k),yi(k)=minmin?i(k)+a maxmax?i(k)在第y(k 點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為ik?i(k)+a maxmax?i(k)i=1,2,3,4(4) 計(jì)算灰關(guān)聯(lián)度18ri=r(yO,yi)= 刀(r(yO(k),yi(k)8k=1i=1,2,3,4用 MATLAB 編程得到結(jié)果為：r1 =

15、O.9O87, r2 =O.7151, r3 =O.5O73, r4 =O.5659這里r1 =O.9O87最大，說明煤炭在總能源中的地位十分重要，煤炭工業(yè)狀況和總 能源的發(fā)展關(guān)系最為密切，因此抓能源要重視煤炭工業(yè)的發(fā)展。三、灰色生成數(shù)列將原始數(shù)據(jù)x(k)按某種要求作數(shù)據(jù)處理，稱為生生成。數(shù)據(jù)的生成方式有多種， 最常見的有：O(1)累加生成把數(shù)列各時(shí)刻的數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程，記作AGO (AcumulatedGen erat ing Operati ng設(shè)原始數(shù)列為 x=x(1),x(2), ,x(n) , 0000令 x1(k)=刀x0(i)k=1,2, ,ni=1k，則x1=

16、x1(1),x1(2), ,x1(n)=x0(1),x0(1)+x0(2), ,x0(1)+x0(2)+ +x0(n)稱 x 為數(shù)列 x 的1次累加生成的數(shù)列。若令10xr(k)= Xx(i)k=1,2, ,ni=1k，稱之為數(shù)列x的0r次累加生成的數(shù)列。(2) 累減生成對(duì)于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)相減的運(yùn)算過程稱為累減生成過程，記作IAGO，如果原始數(shù)列為x為數(shù)列 0=x0(1),x0(2), ,x0(n)，令 x1(k)=x0(k)-x0(k-1)k=2,3, n，則稱 x1 而 x(k)=x 稱為數(shù)列 xx0 的 1 次累減生成。0rr-1(k)-xr-1(k-1)k=2,3,

17、 ,n的r次累減生成(3) 均值生成設(shè)原始數(shù)列為x0=x0(1),x0(2), ,x0(n),稱x0(k-1)與x0(k)為數(shù)列x0的鄰值，a 0,1，稱x0(k-1)稱為后鄰值，x(k)稱為前鄰值，對(duì)于常數(shù)0y0(k)= a x+)0(k四、灰色預(yù)測(cè)a(0x)為由數(shù)列x0的鄰值在生成系數(shù)(權(quán))a下的鄰值生成數(shù)。-k(1)5 數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析灰色預(yù)測(cè)，是基于灰色動(dòng)態(tài)模型(Grey Dynamic Model)，簡(jiǎn)稱GM的預(yù)測(cè)。 GM (m,n)表示m階n個(gè)變量的微分方程。微分方程適合描述社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，生 命科學(xué)內(nèi)部過程動(dòng)態(tài)特征。因此灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的建立，常常應(yīng)用微分?jǐn)M合法 為核心的建

18、模方法，GM (m,n)模型中，由于m越大，計(jì)算越復(fù)雜，所以用灰色 模型GM (1,n),稱為單序列一階線性動(dòng)態(tài)模型。灰色預(yù)測(cè)它是指利用MG的模型對(duì)系統(tǒng)行為特征的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)，同時(shí)也可以對(duì)行為特征的異常情況 發(fā)生時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)計(jì)算，以及對(duì)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)發(fā)生的事件的未來時(shí)間分布情況做 出研究等等。灰色預(yù)測(cè)方法的特點(diǎn)表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù)變量在其變化過程中 所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數(shù)據(jù)；而不直接使用原始數(shù)據(jù)而是由 它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對(duì)生成數(shù)列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機(jī) 誤差，顯示出規(guī)律性。1灰色系統(tǒng)理論的建模思想下面舉一個(gè)例子，說明灰色理論的建模思想。

19、考慮4個(gè)數(shù)據(jù)，記為X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)，19 34W131上圖表明原始數(shù)據(jù)X沒有明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢(shì)是擺動(dòng)的。如果將原始數(shù)據(jù) 作累加生成，記第k個(gè)累加生成為X(1)(k),并且(0)X(1)(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)+X(0)(2)=1+2=3X(1)(3)=X(0)(1)+X(0) (2) +X(0) (3)=1+2+1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)+X(0) (2) +X(0) (3) +X(0) (4)=1+2+1.5+4=8.5123符號(hào)Xlhl2)0X1U4J 1L59. 5上圖表明生成數(shù)列X是單調(diào)遞增

20、數(shù)列。2.灰色預(yù)測(cè)方法(0)(0)(0)(0)X=(x(1),x(2), ,x(n)，定義 1 設(shè)數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析X(1)=(x(1)(1),x(1) (2), ,x(1)( n)(0)(1)x(k)+ax(k)=b (1)為 GM(1,1)模型的原始形式。 稱符號(hào)GM(1,1)的含義如下：GGrey Model(灰色)(模型)(1,1)1階方程1個(gè)變量(0)(1)(1)(1)Z=(z(2),z(3), ,z(n) X,X 定義 2 設(shè)如定義 1 所示，z(1)(k)=其中 1(1)(x(k)+x(1)(k-1)(0)(1)x(k)+az(k)=b(2) 2 稱為GM(1,1)模型的基

21、本形式。定義3設(shè)X(0)為非負(fù)序列，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值 生成序列，(1) a,bT=(BTB)-1BTY，則稱 d 叫影子方程。定理1設(shè)X(0)(1)dt(1)+ax=b為GM(1,1)模型x(k)+az(k)=b的白化方程，也(0)為非 負(fù)序列：X(0)=(x(0)(1),x(0)(2), ,x(0)(n)(1)其中 x(0)(k) 0,k=1,2,iX 為 X(0)的 1-AGO 序列：X(1)=(x(1)(1),x(1) (2), ,x(1)( n)其中 x(k)=(1) Exi=1(1)k(0)(i)，k=1,2, n； Z(1)為 X(1

22、)的緊鄰均值生成序列：(1)(1) Z=(z(2),z(3), ,z(n)(1)其中 z(1)(k)=1(x(1)(k)+x(1)(k-1)，k=2,3 ,n。2T若a?=(a,b為參數(shù)列，且? (0)(2)? ? -(1)(2)x? (0)? ? z(1)，(3)? ? -z(3)Y=?xB=? ? ? (0)? ? (1)? ? ?- z(n)? x(n)?(0)1? ? 1?(3) ? 1?則 GM(1,1)模型 x(k)+az(1)(k)=b 的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足?=(BTB)-1BTY a數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析?=a,bT=(BTB)-1BTY，則 定理 2 設(shè) B,Y,a 如

23、定理 1 所述，a1白化方程？ A d(1)dt+ax=b 的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為 aa(1) x(1)(t)=(x(1)(1)-b)e-at+b (4)2? GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的時(shí)間響應(yīng)序列為 ?x(1)b-akb(0)(k+1)=(x(1)-)e+ ; k=1,2, n (5) aa3?還原值x?(k+1)=(0)? a x(1)(1)(k+1)=?x(1)(k+?)k)=(1-(1)eab-ak(0)(x(1)-)e； k=1,2, n a 定義4稱GM(1,1)模型中的參數(shù)-a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。反映了 x-a ?及 x?的發(fā)展態(tài)勢(shì)。一般情況

24、下，系統(tǒng)作用量應(yīng)是外生的或者前定的，而 GM(1,1)是單序列建模，只用到系統(tǒng)的行為序列(或稱輸出序列、背景值)，而無外作用序 列(或稱輸入序列、驅(qū)動(dòng)量)。GM(1,1)模型中的灰色作用量是從背景值挖掘出 來的數(shù)據(jù)，它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確切內(nèi)涵是灰的?；疑饔昧渴莾?nèi)涵外延 化的具體體現(xiàn)，它的存在，是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模(黑箱建模)的 分水嶺，也是區(qū)別灰色系統(tǒng)觀點(diǎn)與灰箱觀點(diǎn)的重要標(biāo)志。定理3 GM(1,1)模型x(k)+az(k)=b 可以轉(zhuǎn)化為(0)(1)(1)(0)x其中(0)(k)= -a x(k1) (6) (1)ba, a = 1+0.5a1+0.5aba定理 4 設(shè) B

25、= a=，且 1+0.5a1+0.5a B =?(1)=(x?(1)(1),x?(1)(2), ,x?(1)( n) X?(k)=(x為GM(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)序列，其中x則(1)(0)b-a(k-1)b(1)-)e+ ； k=1,2, n aax(0)(k)=( - a B(0)x(0)(1)e-a(k-2) (7)定理5若X為準(zhǔn)光滑序列，則其 GM(1,1)發(fā)展系數(shù)-a可 表示為ba=(1)(k-1)- p (k)1+0.5 p (k)(8)其中 p (k)=(k)x(k-1)(1)(0)數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析隨著發(fā)展系數(shù)的增大，模擬誤差迅速增加。當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于或等于0.3時(shí)，模擬精度

26、可以達(dá)到98%以上，發(fā)展系數(shù)小于或等于0.5時(shí)，模擬精度可以達(dá)到95%以 上，發(fā)展系數(shù)大于1,模擬精度低于70%，發(fā)展系數(shù)大于1.5,模擬精度低于 50%。一般地：(1)當(dāng)一a 0.3寸，GM(1,1)可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；(2) 當(dāng)0.3 a0.5寸，GM(1,1)可用于短期預(yù)測(cè)，中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用；(3) 當(dāng) 0.5 a 0.8寸，用GM(1,1)作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分謹(jǐn)慎；(4) 當(dāng)0.81時(shí)，不宜采用GM(1,1)模型。例1設(shè)原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5) =(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679) 試用下列三

27、種GM(1,1)模型對(duì)X(0)進(jìn)行模擬，并比較其模擬精度：1? x(0)(k)+az(1)(k)=b2? x(0)(k)= -a x(k1) (1)3? x(0)(k)=( - ax(1)e(0)(0)-a(k-2)解 1 第一步：對(duì) X?作 1 AGO，得X(1)=(x(1)(1),x(1) (2),x(1) (3) ,x(1) (4) ,x(1)(5) =(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558) 第二步：對(duì)X(0)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。由p (k)=(k)x(k-1)(1)(0)得 p (3)0.54, p (4)0,605)0.293時(shí)準(zhǔn)光滑條件滿足。第三步：檢驗(yàn)X(

28、1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。由(7 (1)(k)=(k)x(k-1)(1)(1)得 7 (3)1.54, 7 (4)1.362(5) 1(1) 當(dāng)k3時(shí)，7 (1)(k)E 1,1.5, S =0.5準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，故可對(duì) X建立GM(1,1) 模型。(1)(1)第四步：對(duì)X(1)作緊鄰均值生成。令 (1)(1)z(1)(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)得 Z(1)=(z(1) (2) ,z(1) (3),z(1) (4) ,z(1) (5) )=(4.513,7.820,11.184,14.718)數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析? -(1)(2)? z(1)-(3)于是 B=? z(1)?-？

29、 z(1)? ? -z(5)1? ? -4.513? ? 1? ? -7.820=? 1?-11.184? ? 1? ? ? -14.7181? ? (0)(2)? ? 3.278? ? x(0)? ? ? ? 1?，(3)? ? 3.337? xY=? (0)? =1? ? 3.390? (4)? x(0)? ? ? ? 1? 3.679(5)? ? ? ? ? x?=a,bT進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得第五步：對(duì)參數(shù)列a? -0.03720? TT-1?a=(BB)BY=? ? 3.06536? ?第六步：確定模型dt及時(shí)間響應(yīng)式 d(1)(1)-0.0372x=3.06536?x(1)0.037

30、2kba(k-1)b(0)-82.402151 (k)=(x(1)-)e+=85.276151eaa第七步：求X(1)的模擬值?(1)=(x?(1)(1),x?(1) (2) ,x?(1) (3) ,x?(1)(4),x?(1)(5) X ,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558) =(2.8704第八步：還原求出X(0)的模擬值。由?x(0)(k)= a (1)?x(1)(k)=?x(1-x?Xk-1) (1)?(0)=(x?(0)(1),x?(0) (2),x?(0) (3),x?(0),x?(0)(5)=(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6

31、136得 X第九步：檢驗(yàn)誤差。由表可算出殘差平方和? & ？ & (3)T? =0.01511 s= = & (2), & (3)? ? 44? ?&?(5)(5?15平均相對(duì)誤差?=E ?k=1.6025% 4k=2表1誤差檢驗(yàn)表睜 號(hào)實(shí)馬敢瞞(Of Xill相時(shí)優(yōu)總 - 1 -X 23.2783, 2300.0160L 10*313373. 35150. 01750.13” 3903. 481709172.71%S16793, 61360.0654L78%數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析2? 由 1?知 a=-0.03720,b=3.06536 所以a =-0.03720=0.0379 1+0.5

32、a1+0.5?0.03720) b3.06536=3.1235 1+0.5a1+0.5?Q.03720)(1) (1) B =于是得 x(k)= 恤 x(k1)=3.1235+0.0379x(k-1)。所以 ?(0)=(x?(0)(1),x?(0)(2),x?(0)(3),x?(0)(4),x?(0)(5) X ,3.2324,3.3567,3.4820,3.6105)= (3.2324作誤差檢驗(yàn)：由表2可得殘差平方和056表.2誤差檢驗(yàn)表序號(hào)實(shí)際戴獣X田嚴(yán)幻23.278J.23210. 045631337 0” 019：電3.3MX 4020T+ 0922*71%53*即9X61O5也W5T

33、平均相對(duì)誤差15?=E ?k=1.6375% 4k=23?由 1?,2?知 a=-0.0372, a =0.0379, B =3,1所以x(0)(k)=( - Bx(1)e(0)a(k-2)=(3.1235+0.0379?2.874)e0.0372(k-2)故?X(0)=(3.1144,3.2324,3.根料1堆那；歿繪相煒謀琴I A -一2X27810,015&】3鶉3549,3.4821,3.6141)工35帕-a.43. 18210.曲212.53j.ei n0.06441. ；M由表3可算出殘差平方和s= =0.01509 T15?=E ?k=1.6025% 4k=24?由三種模型的殘

34、差平方和與平均相對(duì)誤差可以看出：指數(shù)模型b-a(k-1)b(0)? (1)(k)=(1)-)e+?x?xaa? (0)(1)(1)? ?(k)=x?(k)-x?(k-1)? x和差分模型?x(0)(0)(k)=(-訛(0)(1)ea(k-2)精度較高，?x(k)= - 0x(1)(k1)精度稍低一 些。3.灰色預(yù)測(cè)步驟：(1)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理首先，為了保證建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)列做必要的檢驗(yàn)處理。設(shè)參考數(shù)列為x(0)計(jì)算數(shù)列的極比=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3), ,x(0)( n) 22-x(0)(t-1)n+1,en+1)入(t)=e(0)x(t)(t=2,3,

35、,n)2n+1, (0)如果所有的級(jí)比入(k都落在可容覆蓋據(jù)灰色預(yù)測(cè)否則需要對(duì)數(shù)列x則使數(shù)列y(0)(0)?-2X= en+1,e ?內(nèi)，則數(shù)列x?可以作為 模型GM(1 , 1)進(jìn)行數(shù)y(0)(t)=x(0)(t)+c做必要的變換處理，使其落入可容覆蓋 內(nèi)。即取適當(dāng)?shù)某?shù)(t=1,2, ,n)，22c,作平移變換=(y(0)(1),y(0)(2), ,y(0)(n)的級(jí)比-y(O)(t-1)入(t)= (en+1,en+1)(0)x(t)(t=2,3, ,n)(2) 建立模型GM (1, 1)對(duì)通過極比的數(shù)列y(0)做一次累加，記作y(1)將=(y(1)(1),y(2)(2), ,y(1)(

36、 n)(t=2,3, ,10) y(1)進(jìn)行均值生成 z(1)(t)=0.5y(1)(t)+0.5y(t-1) 由灰色預(yù)測(cè)理論，如果存在(BT,B)-1，由最小二乘法則有：?)T=(BT? B)- 1BTY ?=(a?,buN12于是得到預(yù)測(cè)值數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析b? b? ?(1)(t+1)= y(0)(1)-? e-at+ya? a?并且 y?(0)(t+1)=(3) 檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值 計(jì)算(t=1,2, ,n-1) ?(1)(t+1)-y?(1)(t)y(t=1,2, ,n-1)，稱?(0)(t)y(0)(t)- y & (t)=t=1,2,ny(0)(t)到一般要求，若& (t)0.1則

37、認(rèn)為達(dá)到較高要求。(4) 計(jì)算殘差q(t)=殘差的均值殘差方差1n=Eq(i)ni=1為相對(duì)誤差，如果& (t)0,當(dāng)Cc時(shí)，稱模型為均方差比合格模型。00稱p=pq(k)-q0,當(dāng)pp時(shí)，稱模型為小 誤差概00率合格模型。件均方辱比值0. 01(L 3510,95二旃0.060,50Q, S0orw0.650. 700.206 900.60GM(1,N)模型 定義5設(shè)X1X2(0)(0)(0)(0)(0)=(x1(1),x1 (2), ,x1(n)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而(0)(0)(0)=(x2(1),x2(2), ,x2( n)(0)(0)(0)(0) X3=(x3(1),x3(2), ,

38、x3( n)J J J J J J(0)(0)(0)(0) XN=(xN(1),x N(2), ,xN( n)(1) 為相關(guān)因素序列,Xi(1)為Xi(0)的1 AGO序列(i=1,2, ,N), Z1為X(1)的緊鄰均值生成序列，則稱數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析x(0)1(k)+az(k)= 刀 bixi(1)(k) 9) (1)1i=2N為GM(1,N)模型。定義6在GM(1,N)模型中，一a稱為系統(tǒng)發(fā)展系數(shù)，bixi(1)(k)稱為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，bi稱 為驅(qū)動(dòng)系數(shù)，?=a,b1,b2, ,bNT稱為參數(shù)列。a定理6設(shè)X1(0)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，Xi(0) (i=2,3, ,N)為相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)序列

39、，Xi(1)為諸Xi(0)的1 AGO序列，Z1(1)為X1(1)的緊鄰均值生成序列，?-(1) (2) ?z1(1)-z1(3)? B=? ? (1)? ? -z1(n)? ? (0)(2)? (2)2N? ? x1? (1)(1)(0)，(3) (3)(3)?x1?2NY=? ? ?(0)?(1)(1)?(n) (n)?x2xN?x1(n)?xx(1)(2) xx(1)?=a,b1,b2, ,bNT的最小二乘估計(jì)滿足 則參數(shù)列a?=(BTB)-1BTY a?=a,b1,b2, ,bNT,貝U稱定義 7 設(shè) ad(1)(1)(1)(1)(1)+ax1=b2x2+b3x3+ +bNxN (10

40、) dt為GM(1,N)模型(0)(1) x1(k)+az1(k)=b2x2(k)+b3x3(k)+ +bNxN(k) (1)(1)(1) 的白化方程，也稱影子方程。(1)定理 7 設(shè) Xi(0)，Xi(1) (i=1,2, ,N )，Z1，B，Y 如定理 6 所述，?=a,b1,b2, ,bNT=(BTB)-1BTY aNdx1(1)(1)則1白化方程+ax仁刀bixi(1)的解為：dti=2?x(1)(t)=e ?bx(t)edt+x(0)- E? bixi(1)(0)dt (1)i(1)i=2i=2-atNatN=ei-atx(O)-t 刀 bix(O)+?Sixi(1)(t)edt (

41、11) (1)1(1)ii=2i=2NNat2 當(dāng) X? ( i=1,2, ,N) 變化幅度很小時(shí)，可視 刀bxii=2N(1)i(k)為灰常量，則GM(1,N)模型數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析x(0)1(k)+az(k)= 刀 bix)(1) (1)1i=2N的近似時(shí)間響應(yīng)式為：?x(1)11N1N-ak(1)(k+1)=(x(0)-刀 bixi(k+1)e+刀 bixi(1)(k+1)12) ai=2ai=2(1)1(1)其中 x1(0)取為 x1(0)(1)。3累減還原式為？?1(0)(k+1)= a (1)x?1(1)(k+1)=x?1(1)(k+?1(1)(k) x4? GM(1,N)差

42、分模擬式為：? x(0)1?i(1)(k) (k)=-az(k)+ 刀 bix(1)1i=2N了解內(nèi)容：鄧聚龍教授對(duì) GM(1,1)模型作了十分深入的研究，得到了 GM(1,1)模 型的多種不同形式。主要有：(1) x(0)(k)+ax(1)(k)=b(2) x(0)(k)+az(1)(k)=bdx(1)+ax(1)=b (3) dtbb? (1)?(k+1)=(x(0)(1)-)e-ak+? x (4) ? aa? ?(0)(k+1)=x?(1)(k+1)-x?(1)(k)? x? (5) x(0)(k)= - a x(1)(k1), k=2,3, ,n； B =ba a = 1+0.5a1

43、+0.5a? ?(0)(2)= -aBx(0)(1)x(6) ? (0) (0)?x(k)=(1- a )x(k1);k=3,4 n? ?(0)(2)= -aBx(0)(1)? (7) ? (0) 1-0.5a(0)?x(k)=x(k-1);k=3,4 n? 1+0.5a? ?(0)(2)= -aBx(0)(1)? (8) ? (0) x(1)(k-1)-0.5b(0)?(k)=(1)xx(k-1);k=3,4 n? x(k-2)+0.5b?數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析? 1-0.5a?(0)(k)= (9) x? 1+0.5a? k-2? b-ax(0)(1)? 1+0.5a? ;k=2,3,

44、,n? (10) x? (11) x(0)(k)=1kIn(1- a )(0) k3 x(3)e(1-a )3a(k-2)(0)(k)=( - 3x(0)(1)e b-a(k-1)a(k)=(1-e)(x(0)(1)-)e ab-a(k-1)?(0)(k)=(-a)(x(0)(1)-)e (13) x a? (12) x(0)練習(xí)1:某大型企業(yè)1999年至2004年的產(chǎn)品銷售額如下表，試建立 GM(1,1)預(yù) 測(cè)模型，并預(yù)測(cè)2005年的產(chǎn)品銷售額。年份】99920002001200220032004(億朮)1673.133.253. 3&3. 563, 72解：設(shè) X(0)(k)=2.67，3

45、.13, 3.25, 3.36, 3.56, 3.72 第1步構(gòu)造累加生成序列X(1)(k)=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Yn? 1(1)(1)? -x(1)+x(2) ?2?-1? x(1)(2)+x(1)(3) ?2? 1(1)(1)B=? -? x(3)+x(4)? ?2? 1(1)(1)x(4)+x(5) ?-? 2? 1?(1)(1)-x(5)+x(6)?2? x(0)(2)? ?3.13? (0)? ? 3.25? ? x(3)? ? ? (0)Yn= ? x(4)? =? 3.36? (0)? ? ? 3.56x(

46、5)? ? (0)? ? 3.72? ? ? x(6)? ? ?=? ? =(BTB)-1BTYn 第 3 步 計(jì)算 a? b? ? 1? ? 1? ? -4.235? ? -7.425? ? 1? =? -10.73? ? -14.191? ?-17.83? 1? 1? 1? 1?，? 1? 1?a?數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析? 707.46375-54.41? BB=? ? -54.415? ?T? ? -0.043879? T- 1T? a =(BB)BYn=? 2.925663? ?第4步得出預(yù)測(cè)模型dx(1)-0.043879x(1)=2.925663 dt(x(0)(1)=2.67;

47、 b= 66.6757) a第5步殘差檢驗(yàn)?(1)(k)，得(1)根據(jù)預(yù)測(cè)公式，計(jì)算X?(1)(k)= 2.67, 5.78, 9.03, 12.43, 15.97, 19.68, 19.69 (k=0,1, , ,6) X ?(0)(k)序列，k=1,2, , ,6累減生成X?(0)(k)= 2.67, 3.11, 3.25, 3.40, 3.54, 3.71 X原始序列：X(0)(k) = 2.67, 3.13, 3.25, 3.36, 3.56, 3.72(3) 計(jì)算絕對(duì)殘差和相對(duì)殘差序列絕對(duì)殘差序列：？(0)= 0, 0.02, 0, 0.04, 0.02, 0.01相對(duì)殘差序列：=

48、0, 0.64%, 0, 1.19%, 0.56%, 0.27%相對(duì)殘差不超過1.19%，模型精確度高。第6步進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)(1) 計(jì)算序列x(0)?與x(0)的絕對(duì)殘差序列？(0)(k)?(0) = 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01mi n?max?(0)(k) = min 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01 = 0 (0)(k) = max0,0.02,0,0.04,0.02,0.01 = 0.04(2) 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)由于只有兩個(gè)序列(即一個(gè)參考序列，一個(gè)被比較序列)故不再尋求第二級(jí)最小 差和最大差。17數(shù)學(xué)建模講稿灰色系統(tǒng)分析min?(k)+Pmax?(k) n (k)=?(k)+Pmax?(k)(k=1,.,6,P=0.5)求得 n (併1,0.5, 1,0.33, 0.5, 0.67(3) 計(jì)算關(guān)聯(lián)度1nri=n En i(k)0.67k=1r=0.67是滿足P=0.5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r0.6的。第7步后驗(yàn)差檢驗(yàn)(1)計(jì)