一題多解匯編之三角函數---12.14

1、一題多籌匯編之三角函數例題1：2016江蘇第14題】在銳角三角形A8C中，若5譏4 = 2$也3411。，則 tan A tan 3 tan C的最小值為.解法一：由己知得，sin cosC+cosBsin C = 2sin Bsin C,故tan + tanC = 2tanBtanC ,有結論：x = tan A + tanB + tanC = tan AtanBtanC 知，x = tan A + tan B + tan C = tan A+2 tan B tan C 2/tan A2 tan B tan C=2f2x , 即：x14xt 平方得x8,當且僅當x = tanA=tanB+t

2、anC = 4,取等號解法二：同方法一，得至Utan3 + tanC = 2tanBtanC，有結論：tan A + tan B + tan C x = tan A + tantan C = tan A tan B tan C 知，2x = tan A-2 tan B tan C= tan A(tan B + tan C) 即f N8x, xN8,當且僅當 x = tanA=tan + tanC = 4,取等號.解法三：同方法一，得至iJtanB + tanC = 2tan5tanC,故cotB + cotC = 2.將上式代入結論：cot Acot B+cot Bcot C+cot Ccot

3、 A = L 得到：2cotA+cot3cotC = l,故2cot Aecot Bcot C J= 82t2ttt當且僅當，=1, RPcosBcosC = cosA (即tan4 = 4 )取等號.方法五:門 - sin A sin B sin C tail A tan B tan C=-cos(B + C) cos BcosC2sinfisinC sin SsinC 2(sinBsinC) sin8sinC-cosBcosC cosBcosC - sjnbsinC j7T汽1 + sin B例題2：【全國課標】理科8】設a e %）,匹（09，且=京/，則（）A . 3a /B3a +

4、/3 = 3C. 2a /D .2a + = |sine? 1 + sinZ? . 八.八解法一：=, sin a cos p = cos a + cos a sin pcosacosp/. sin(a-/7) = sin71 a【2: a - 0 e _,一 (2271八%- -a e 0,一71第36頁共28c 冗、c 冗a-p = - -ay:. La-p =解法二：tana =l + sin/7 _cos + sinT22cos + sin22cos B 2 P - 2 P 了 cos - - sin cos-sin22，c 夕+萬12 4）又分耕為卜。-尸=5 例題3：【2013年新

5、課標卷文填空題第16題】設當犬=8時，函數/（x） = sinx - 2cosx取得最大值，則cosd =解法一：因為/（X）= sinx-2cosx =sinx2-=cos x) J5所以 Aux W=f=邪 sin（e夕）=正25/52=邪sin(x - (p).其 中 cos (p =彳,sin (p = -j=所以sin(x-0) = l ,此時83=2%4+ g所以：0$8 =（：0$（2 + 9 + 0）=一$山夕=解法二：因為 J、(x) = sinx- 2cosx所以/(x) = cosx + 2sinx，又因為當x = 8時，/(工)取最大值,故/(6) = 0,即cosd+

6、2sind = 0,解得tand = -L,故cos6 = * 25解法三：由柯西不等式有/(x) = sinx - 2cosx +(-2)(sirx + cos2x) = 5當且僅當，H =即當tan = l時，等號成立，1-22即當tand = -g時，/(x)取得最大值.故cos6 = 若解法四：由己知/(x) = sinx-2cosx,令 =cos x,v = sin x,則 u2 + v2 = 1, y = -2u + v ,如圖當直線y = -2u +1，與圓相切時，y取最大值.當land = -,時，/(幻取得最大值.2M n 2故 cos 6 = -5解法五：因為/(x) =

7、sinx- 2cosx = J5sin(x-p),其中 tan(p = 2所以由已知$也夕一285夕=6 ,其中cos。0所以 sin。e-dsindcose + dcos。6 = 5siir 8-4sin6cos8 + 4cos一 夕 .所以；=5sirr 8 + cos- 0化簡 4taiJ 9 +4tan 夕+1 = 0,所以 tan 3 = ，所以cos6 =解法六：因為/(X)= sinx 2cosx = J5sin(x-p),其中 tan(p = 2 ,依題意有/（夕） = 6，所以sin（。一夕）=1, tan（p = 27尺所以 cos(8 - 9) = 0, sin (p =

8、所以 cose = cos(e-) + G = cos( - (p) cos (p - sin( - (p) sin (p =-sino = -例題4：2015江蘇14】設向量q=9。$文，5皿土 +。$豆）（攵=0,1,2,2）,則666iiZ （怎4.】）的值為 解法一:k7T ( + 1)因為COS cos66rk冗( + 1)萬k九k亢、.(攵 + 1)江 (A + l)%所以得4 aL, =cos cos-+ (sin + cos) sm- + cos-666666(2攵+ 1)九1(24+ 1)4 3/ f八 ，C- + -COS- + _ /=0,1,2 .12) 6264注意到

9、：sin上士,cosdq的周期均為6, 66易得fsin出上= 0=fin蘭業(yè)=0, 66(2A + 1)4八 R (2k+ 1)1 n 又cos- = 0= cos= 0a66iio /T所以得(4 怎z)= *xl2 = 9jlD4解法二 % %=（8s竺sin竺+ csM）（cs史”sin0f + cs竺2 666666.（2攵+ 1）/1（24+ 1）乃 36f，八= sin-+ -cos-+ _/=01,2,12）6264苦（2攵+ 1）乃3G .（2 + 1）%故“（6 6+】）= ；*cos - + -X12+2sin-一A-02 A=0U4k=00而函數y = cos業(yè)的圖象分

10、別關于（L0）和（7,0）對稱，函數y = sin生上業(yè)圖象 66關于點（口,0）對稱，因此LfcosGi*22 d 6= OVsin cos- 十 7 xl2+smI a=o 。4 a=o例題5： 2012年浙江卷理科第4題】把函數y=cos2x+l的圖像上所有點的橫坐標伸長 到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是（）解法一：把函數丁=85公+1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變） 得到y(tǒng)i=cosx+l,向左平移1個單位長度得到J2=cos（x1）+1,向下平移1個單位長度 得到J，3=cos（x1）.令x=0,得到”0；

11、 X=g + 1,得到J3=O：結合圖像，答案A.賞析：用三角函數圖像變換的思想解題，好！但還是沒有把握圖像變換根本，請看解法2解法二：（利用求曲線方程的方法）設（X,），）為所求曲線上任意一點，則向上平移1個單位長度得到點（x,y + l），再向右平移1個單位長度得到點（x+l,y + l）,最后把圖像上所有點1（1A的橫坐標縮短到原來的一倍（縱坐標不變）得到點-x + -.y + ,該點滿足方程 2122）y=cos2x+l,代入得到 y = COS（X + l）即為所求。因為x = 0,y = cosl0：x = -l,y = cos= 0,所以選擇答案A. 2.2賞析：三角函數圖像的變

12、換問題，本質上就是函數圖像的組成單位點的變換問題（注意相對運動），這是圖像變換之根本，變換教學之本質。例題6： 2012年四川卷理科第4題】如圖，正方形A3CD的邊長為1,延長A4至E,使AE=1,連接EC、ED,則 sin/CEO =(A,亞10B.巫10D.V5IT).解法一：sinNCEQ=sin(ZAEZAEO = sin( /8EC)4= sin- cos NBEC -cos - sin /BEC =x -=44252510解法二：在ACE。中，運用正弦定理可得:CDCEV5sin /CED sin AC DE = sin NCED y2=sinZCED= 10解法三：在ACEZ）中

13、，運用余弦定理可得:cosZCED= EL廣 EC-二 CL： = 3 = sin ZCED =2EDEC10io解法四：設線段，）與廢 相交于點尸，在ED中，運用正弦定理可得:FDsin ZCDV52V2一 2sin ZCED= .10解法五：設線段，口與CE相交于點尸，在石。中，運用余弦定理可得/廠巾 ED2+EF2-FD2 3 癡./“八 McosZCED= sin ZCE）=.2EDEF 1010解法六：設線段,m與CE相交于點尸，因尸為AO中點，利用同底同高三角形而積相等, 則 Ssef = SubE。 EFsin NCE。= g EA Efsin= sin NCEO =* .解法七

14、：設線段4D與CE相交于點凡因為尸為EC中點，利用同底同高三角形面積相等，則 Sef = S.CF =1七。 EFsin ZCD = ； C 。/=sin ZCED =*.EC = (2,1),則解法八：以為原點，E8所在直線為x軸來建系，可得7) = (1,1),cosZCED=ED EC= = sin/=1010互=匕Zc 2 + i原式=1 cos 202-1 + cos80+2+ sin 10 cos 40解法九：如解法八所建系，則Z0=l + i, Zc=2 + i,于是= - + -i = tanZ.CED = - = sin/.CED =.5 5310例題7：求 sin，10 +

15、cos解法一：所以原式=sin? 10 +cos2(30 +10 ) + sinl0 cos(30 +10 )=sin210 +(coslO -sin 10 )2 +sin 10 -coslO -sin210 222 = -(sin210 +cos210 ) = -. 4解法二: 40 + sin 10 cos40 的值.= + Cos(50 +30 )-cos(50-30)+sEiQ cos402,cos 50 cos 30 - sin 50 sin 30 - cos 50 cos 30 - sin 50 sin 30,4c=1 +sinl0 cos40=1 - sin 50 sin 30

16、+ sin 10 cos 40 = 1 - cos 40 (sin 30 -sin 10 )=l-cos40 sin(20 +10 )-sin(20 -10 ) =l-2cos40 cos20 sin 10=12 cos 40 cos 20 sin 10 cos 10cos 10sin 8001 _3=1 一?HF一廠a解法三：sin 10 =a + b, 令I cos40 = u-b,a = ； (sin 10 + cos 40 ) = 1 (sin 10 + sin 50 ) = sin 30 cos 20 = icos 20；b = 1(sinl0 -cos40 ) = 1(sin 10

17、 -sin50 ) = cos30 sin(-20 ) = -sin20333則原式=( + b)2 + (a-b)2 + (a + b)(a-b) = 3a2+b2cos2 20 +-sin2 20 =-444解法四:iS：x = sin210 +cos240 +sin 10 cos40 ,y = cos210 +sin240 +cosl0 sin40x+y = l + l + sinl0 cos40 + cos 10 sin40 = 2 +sin50 =2 + cos40 ,x-y = cos80 -cos20 - - = - sin50 - -= -cos40 .222解法五：由余弦定理

18、,ai+b2-2abcosC = c2,又由正弦定理，得一 =/_ =/一 = 2R, sin A sin B sin C于是 4R2 sin2 A+4R2 sin2 B - 2 - 2/?sin A -2/? sin 8 cosc = 4/?2 sin2 C,得 sin，A 4-sin2 Z/-2sin Asin Z?cos C = sin2 C故sin 10 +cos，40 +sinl0 cos40 =sin: 10 +sin50 + sin 10 sin50= sin210 + sin2 50 -2sin 10 sin 50 cos 120=sin2120 = (y-)2 =；,汽317

19、萬7zr ia. sin 2x + 2sin- x r 例題8：cos(x + )- 4=一， 5x一，求：的值1241 - tanx17九 V17乃T解法一：cos(x + ) = 11( cosx - sin x)=-,得 cosx sinx=2 42557732平方得 2sinxcosx=,(cosx + sinx)2 = 1 + =2525 254y夕/. cosx + sinx 0, cosx + sinx =, /.原式=575. cosx + sinx .1 + tanx g . / ,江、解法一：zsinxcosx= sin2x= sin2xtan(x + cosx-siiix

20、 1 - tanx4兀4由已知得tan(x + )= 437Q 原式=75解法三:COSX = cos=c。s(C + x)8s 三一sm(巳+ x)sm2=巫444410又史一絲. sinx=-迪12410tanx=7,. 原式= 75例題 在AA8C中，內角ABC所對的邊分別是己知“cos8 = cosA ,邊6c上 的中線長為4,求AABC面積的最大值.解法一：由 A = 5知c = 2ncosA ,及法=/+（：）2 一知 gcosA ,解得=史221 + 8cos2A所以MBC 的面積S = -acsinA = 64sin八cos,. 2siir A + 9cos-A由基本不等式得奇

21、，當且僅當sinA = 3cosA時，等號成立. 所以而積的最大值為王.3解法二:5/打111 1 6設CA = %CD = 乂則S齪=2心xsinC,由余弦定理得cosC = 工一2“2 2廠=29：岫-乙 乙 320解法三：如圖建系，設A（-,0）,8（二0）（0,）,則中點。（二緘222則中線長|AD|2 = 16 =9c2 h2 、 c 3c h1644 2=ch 黑（當與=9 2存取=）一1 ,1 64 32所以S arc = ch x一 =一ABC 22 338解法四：如圖，G為“18。的重心，則G4 = ，設NG4C = a, 36q.以*久山2aA（當。=三，取“二”）4解法五

22、:8由|C4| = 2|CD|, |A0| = 4,知C的軌跡為阿波羅尼斯圓，圓心在直線AD上，半徑為-，3為減函數所以存在唯一實數公使得:（?。?。且滿足5抽入c 8.62- -sinx- -cosx5528.6+ -SU1,V + -COSX5512255525 2527T例題 10：/(x) = sin xcosx + sin x + - coSzt,(0 x ,交4。于點E,延長4。交48于點M依角平分線定理知理=笠=2,所以4M=1=當MB BC 3/7 355 認 2 J 52所以 tanZACE =班，sinZACE = .所以竺=： = 2sinZACE =正56 AC AC3

23、解法一:AD sin B 2而 sin5 = l-2sin1-U 2)在M6O中,解法二：在 AACQ 中，2(/2x（n-/?）*2回（。-。）所以一% = 士竺，所以從一+ = 0,所以（21+9一1 = 0,所以2 = sin8 = 9二1 ba J aa2解法四：因為四 =、2（一）,所以sin8 = 2=cosC = l-2sh? = 2紇 2 2ba2 lr所以 f L2 + l = 0,所以 j2 i jj2；+2 1 =0,所以 2 = sin6 = 2zl. a aa J ya； aa2、/ 例題12：滿足條件AB = 2,AC = yflBC的ABC的面積的最大值是解法一：

24、以A4所在直線為x軸，線段A6中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系 設C（x,y）,由45 = &C,得到點C的軌跡方程為（x + l + y2=2（x l+y2 即（x-3）2+/=8 .軌跡上的點到A3的最遠距離是272 ,所求面積為25/2.解法二：如圖，過C作CZ）_LAB的延長線于。.設3D = 1,8C = x,則C）=F-J,c又C02=2/_（2 + /）2,由此可得/ =4+41,/從而仁。2=/+4/+4 = -。-2）2+88, CDniax = 2724-解法三：設BC = x,則AC = rI 222SHC = ；AC. 8CsinC = ； VIr. xjl-c

25、os2c =Ly/2x-xll-:三；：4= 1-（x2-12）2+128 17128= 2加v2（V2-l）x2（+l）, .12-8五/3 ,則c+2。的最大值為解法一：由余弦定理得b = a1 + c2 - 2accos 3即/ + c1 -ac = 3設 2+c = / 則 c = 7-2。代入a2 +c2-ac = 3 整理得 7/ -5& + / -3 = 0A = 25r-28(r-3)0 r 282a + c/3 cos C = 27 sin(C + 6)42其中tan。= X，當sin(C + 6) = 1時取最大值例題14： 在AA8C中，a = 2,c = 2b,則AAB

26、C面積S的最大值為解法一：由余弦定理得cr = lr+ c2- 2/?ccos A即cos A = *4 b-1 )S又 S = brsin A=/rsinA ,所以 sin A =2 lr所以(3!)2+ = 1,整理得 52=_2/+*_=_2仍2_4)2+334 b2 b4162169994所以SW 一3解法二：以BC中點為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，設4*,)，)有已知得 y(x+)2 + y2 =2yl(x-)2+y2化簡得 3/ = -3x2 +1 Ox 3 = -3(x-)2+ 14又 SxZxlylTyKg解法三：由c = 2可得4點的軌跡是如圖以。E為直徑的圓去

27、掉(Q、上兩點)，其中4BD = 2DC,BE = 2EC易知圓的半徑為R = ，一3 /FaS =DFsin /BAD= 25.解法四:過。作A3的垂線，垂足為尸，則。尸= 4Osin4 = 33x2= l1313（圖二）165而且 cosNBO /=-=BD 3313ji12sin /BDF = sin( B) = cosB =2134 sin ZADC =5cosZADF = cos(/r /BDF - ZADC) = cos(/BDF + ZADC)=-cosZBDFcosZADC + sin ZBDFsin ZADC =65DF從而 AD = 25cosZADF解法五:4再由sin

28、B =（圖三）AE=ix過4作8c的垂線AE,垂足為E.設AO=二則由sin/AOC = ?可得 5得 x = 25.解法六:過4作8C的垂線AE,垂足為E .3512由 cosZADC =二，可設 A* = 4x, DE = 3x.AD = 5x.vsinB = tan 4 = * .即. 4 v131233 + 3x解得x = 5.從而AO = 5x = 5x5 = 25.解法七：過。作A8的垂線DF，垂足為尸;過A作8C的垂線AE,垂足為E.則ABDF與相似，這樣* =%：DF BF3又 cosZAOC = =，可設 AE = 4x,OE = 3x,AO = 5r5512由 sin 3

29、=二律 /=33 x 二，8尸=33 x .（圖四）1313134x33 + 3t因此一二 =二5,解得x = 5.從而AO = 2533x 33x 1313例題18：cos 15 - sin 15 _cos 15 + sin 15解法一：/ cos 150 =cos(45 -30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30V2 V3 V2 1 娓 + 應= + 一=2 22 24sin 150 = sin(450 - 30) = sin 45 cos 300 -cos 450 sin 300人石 0 1 a/6-72=-=2 22 24.二原式二4-4_ 痣+點 x/

30、6-V2 - 3 4+ 4解法二:gf 1 - tan 15 tan 45 -tan 15/ 、”原式二=tan(45 -15) = tan 301 + tan 151 + tan 45 tan 15。=無V解法三:_ 八 a cos 150 - sin 15/ cos 15 sin 15 0.令cos 15 + sin 150)則產=cos2150 -2sinl5 cos 15 +sin215cos215 +2sin 15 cosl50 +sin215I-sin30c 1 _ I+sin30 3 ,3解法四:cos 15 -sin 15 _ 2cosl5 (cosl5 -sinl5 )cos

31、 15 + sin 15 2cosl5 (cosl5J +sin 15 )出1=2cos15 -2sin 15 cos 15。= cos300+lsin30 =彳=走2 cos215 + 2 sin 15:, cos 15cos 30 +1 + sin 30 有 3322解法五:cos 150 - sin 150 _ (cosl5 +sin15 ) (cosl5 -sinl5 ) cos 150 + sin 15(cos 15 +sinl5 )2_ cos2150 - sin215_ cos30-cos2150 + sin215C + 2sin 150 cos 150 * 1 + sin 30

32、解法六：cos 150-sin 15 = _ sin 150-cos 150 = _ VJsin(15-45)cos 15 + sin 15sin 15 + cos 15 應sin (150 +45)1sin(-30) _ sin30? _ _ Gsin 60 sin 60 耳 3T例題19：函數，=也!竺二1的最大值是2cos工一4解法一：【反表示法】由y = 4、畝，得2ycosx - 4sinx = l + 4y, 2cosx 4即 J4y2 + 16 cos(x + 0)= 1 + 4 v(cos (p = / 1. 二), J4+161 + 4y所以cosQ + *) = = .,/

33、4)廣 +16因為|cos(x+0)|Vl,所以l + 4yJ4y2+161,所以所求最大值為二. 6I4sinZ Sinx + T解法二：【幾何意義法】因為)，= =22cosx-4 cos x - 2由此可把函數理解為點(cosx,sinx)到點(-,2)的直線斜率的2倍，4而(cosx,sin工)的點的集合為單位圓，易知過點(-,2)的直線的斜率不存在時，不與圓相切. 41-2攵1設此直線的方程為y + - =攵。-2),圓心到直線的距離為d = ,1 = 1,4%+(T)2解得4=3或女=一)，所以函數y= 4sin.i + l的最大值是2x* = W.1242cosx 412 6例題

34、20：12015重慶卷理科第13題】在回(：中，B= 120 , AB=應，A的角平分sin 1200 -sinZADB線 AD= G 則 AC=得 4403 = 45得 NBA。= 15易得248C為等腰三角形得 N/MC = NC = 30 ,= 一式sinC sin 1200解法二：過點8作AC的平行線與AO的延長線交于點E由解法一得 NE80 = NC = 3O, ZAO8 = 45, BE = 0RF DF5。中由正弦定理得Z)石=1,有=AC AD代入數據得AC =痣AEAD得 ac = B解法三：過點A作BC的垂線與CB的延長線交于點E AE = -72 sin 60 =, si

35、n ZADB =2得44。3 = 45，由243。內角和180”,af得N3AO = 15,進而NC = 30，sinZC = - AC解法四：如圖，以B點為原點，以BA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則4、反,0）,BC的方程為.y = 8x,設。（方，一屆。），由AO = J5,解得 二、二、,則AO的斜率為后一2,于是N3AO=15,故AC的方程為，=一上（x 忘），與），= r歷 7聯(lián)立得C（2,J）,故AC = M%.22例題21：內角4，氏。茜足sin2A + sin(A-8 + C) = sin(C-A-8) +，而積S滿足1S8B.ac(a + b) 16/2C.6abc12

36、 D, 12Z?c 2sin Acos A + cos(C-B)| = 22即 2sinA-cos(C + 8) + cos(C-8) = = sinAsin8sinC =-28而 S = 1 absin C = - 2/?sin 4 - 2/?sin B - sin C = 2R2 sin A -sin B sinC = /?2224n2故 1W 2 R。，所以尻,S + c)，以后8,選擇兒解法二：由題意知sin2A + sin23 + sin2C = ，又21n2成.=_r2(sin2A + sin28 + sin2C)=e1,2,即 2 W RK 2班. 2SBC =業(yè) e 1,2知

37、8 abc /2.4R選項A： /，( +c) 。兒, 2 8正確；B、C、D易知不符.解法三：由 sin 2A + sin(C- 3 + A) -sin(C 3 A)=，和差化積有2=sin 2A + 2 cos(C - 3) sin A = 2 sin A(cos A + cos(C - B) = 4 sin A sin B sin C 2故sin Asin BsinC = 1, S = absinC = 2R . 7，sin(8 + A)sin(3 A) = sinC sin AsinBsinC = R1 e(l,2, 824Re2,2 也,5XWC = 84/?c8/?/2 .選項 A

38、. 4R例題22；在AA8C中，44二 ,邊。力,c滿足/一/=一。2,求tanC的值.421Q解法一：因為 一。？ = c1, bsin(/r 2A C) = / sin Ccos C = sinC ,即 tan C=22 +c2 -a1 = 2bccosA,所以二，H|J3c=2f2b223sin C=22 sin B = 2/2sin( C)=2cos C + 2sinC,即 tanC=2.4解法二：因為一a2=c2,所以$抽3，-5由42=15也(72 22二(sin B + sm A)(sin B -sin A) = sin2c . A + B B-A A + B . B-A 1 .

39、2 sincos2 cossin= smC-22222解法三：【射影定理】2sin C 2 sin Cb = ccosA + - = c( +tanC 2tanC代入 一/ =!/得：tanC=2 2解法四：【正弦定理】因為 一力=c2,所以 sin3, - sin A2 = - sin C2， sin( A+ C)2 - = -sinC2 222 21 ,11 , (sin C + cosC) - - = sinC ,得 tan C=2例題23：已知函數/(%)=3意一+ sin2015x在區(qū)間-2015,2015上的最大值、最4I 1小值分別為.?，則M +m =解法一：因為當x = 0時函數/(x)有意義，且定義域關于原點對稱，所以 M + ? = 2/(0) = l.解法二： 112201f (力=22。 7 + 廣 sin 2015(f) + 22。0+ j +sin2015x =1 _ 正+ ?刈一1Z A/+/n = l.解法三：令尸(幻=/(工)一；=于上 +力2015；1-；，易證廠(幻是奇函