【初中數(shù)學】等差數(shù)列的前n項和ppt課件_第1頁
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1、天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321+2+3+4+5+100=？天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632 1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ， ， 49+52=101，50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.德國著名數(shù)學家高斯德國著名數(shù)學家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年年1855年），年），10歲時曾很快歲時曾很快求出它的結果！求出它的結果！ 1+99=100 1+99=100 ，

2、 2+98=100 2+98=100 ， 3+97=100 3+97=100 ， ， ， ， 47+53=100 47+53=100 ， 48+52=100 48+52=100 ，49+51=100 49+51=100 ， 1+2+3+4+5+100 =49100+150 =5050解法解法1 1：1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101.1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.解法解法3：設：設：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+2S=(1+100)+(2+99)+ +

3、(99+2)+(100+1) =100 =100101101 s=100 s=100(1+100)/2(1+100)/2S=5050 .S=5050 .解法解法1 1：1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101.1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.算術法算術法解法解法3：設：設：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100 =100101101 s=100 s=100(1+100)/2(1+100)/2

4、S=5050 .S=5050 .解法解法1 1：1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101.1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.算術法算術法解法解法3：設：設：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 ,2S2S=(1+100)+(2+99)+=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100 =100101101 s=s=100100(1+100)/2(1+100)/2S=S=5050 .5050 .解法解法1 1：1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50

5、+51=101.1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.算術法算術法解法解法3：設：設：S= 1+2+99+100 , S=100+99+2+1 ,2S2S=(1+100)+(2+99)+=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100 =100101101 s=s=100100(1+100)/2(1+100)/2S=S=5050 .5050 .代數(shù)法代數(shù)法（倒序求和倒序求和）設：設：S= 1+2+3+4+97+98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+2S=(

6、1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100 =100101101 s=100 s=100(1+100)/2(1+100)/2S=5050S=5050注：此法稱倒序求和（屬代數(shù)法）注：此法稱倒序求和（屬代數(shù)法）設：設：S= 1+2+3+4+97+98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 ,2S=(2S=(1 1+ +100100)+()+(2 2+ +9999)+()+(3 3+ +9898)+()+(4 4+ +9797)+)+ (97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)

7、 = =100100101101 s= s=100100( (1+1001+100)/2)/2S=5050S=5050注：此法稱倒序求和（屬代數(shù)法）注：此法稱倒序求和（屬代數(shù)法）設設求等差數(shù)列求等差數(shù)列an 的前的前n項和為項和為Sn，即，即 Sn=a1+a2+a3+an,則則 sn=n(a1+an)/2設設:S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an ,n , S Sn n=a=an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+a3 3+a+a2 2+a+a1 122S Sn n =(a=(a1 1+ + a an n)+(a

8、 a2 2+a+an-1n-1)+(a a3 3+a+an-2 n-2 )+ +(a+(an-2n-2 +a+a3 3 )+(a an-1n-1+a+a2 2 )+(a an n+a+a1 1 ) ？ 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2定理定理 ：數(shù)列：數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，m,n,p,q分別為自然數(shù)分別為自然數(shù) 若若m+n=p+q,則則am+an=ap+aq.證明：設等差數(shù)列首項為證明：設等差數(shù)列首項為a1，公差為公差為d,則則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2

9、a1+(p+q-2)d m+n=p+q, m+n-2=p+q-2 am+an=ap+aq證明：S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an ,n , S Sn n=a=an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+a3 3+a+a2 2+a+a1 122S Sn n =(a=(a1 1+ + a an n)+(a a2 2+a+an-1n-1)+(a a3 3+a+an-2 n-2 )+ +(a+(an-2n-2 +a+a3 3 )+(a an-1n-1+a+a2 2 )+(a an n+a+a1 1 )1+n=2+n-1=3

10、+n-2=1+n=2+n-1=3+n-2= =n-2+3=n-1+2=n+1 =n-2+3=n-1+2=n+1 由由定理定理 得得 (a(a1 1+ + a an n)=(a a2 2+a+an-1n-1)=(a a3 3+a+an-2 n-2 )= =(a=(an-2n-2 +a+a3 3 )=(a an-1n-1+a+a2 2 )=(a an n+a+a1 1 ) 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2 sn=n(a1+an)/2 由由定理定理 得得 (a(a1 1+ + a an n)=(a a2 2+a+an-1n-1)=(a a3 3+a+an-2 n-2 )= =(a

11、=(an-2n-2 +a+a3 3 )=(a an-1n-1+a+a2 2 )=(a an n+a+a1 1 ) 2Sn=n(a1+an) sn=n(a1+an)/2 sn=n(a1+an)/2 由由定理定理 得得 (a(a1 1+ + a an n)=(a a2 2+a+an-1n-1)=(a a3 3+a+an-2 n-2 )= =(a=(an-2n-2 +a+a3 3 )=(a an-1n-1+a+a2 2 )=(a an n+a+a1 1 ) 2Sn=n(a1+a2) sn=n(a1+an)/2 sn=n(a1+an)/2 1+2+3+4+100+100 =3+3+4+100 =3+3

12、+4+100 =6+4+ =6+4+100+100 = = =5050 =5050 把問題把問題1看成看成a1=1,d=1,n=100的等差數(shù)的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的中項公式，得列，則根據(jù)等差數(shù)列的中項公式，得 1+99=250，2+98=250，3+97=250, ， ， , , 47+53= 47+53=250,48+52=,48+52=250,49+51=,49+51=250, 1+2+3+4+5+100 1+2+3+4+5+100 =49 =49250+50+100+50+100 =5050 =5050用數(shù)列觀點：求等差數(shù)列用數(shù)列觀點：求等差數(shù)列 1，2，3，4，5，6，n,n,的

13、前的前100100項的和項的和. .從而研究從而研究等差數(shù)列：等差數(shù)列： a1 ,a2 ,a3 ,an ,設設求等差數(shù)列求等差數(shù)列an 的前的前n項和為項和為Sn，即，即 Sn=a1+a2+a3+an S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n S Sn n=a=an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+a3 3+a+a2 2+a+a1 122S Sn n =(a=(a1 1+ + a an n)+(a a2 2+a+an-1n-1)+(a a3 3+a+an-2 n-2 )+ +(a+(an-2n-2 +a+a3

14、3 )+(a an-1n-1+a+a2 2 )+(a an n+a+a1 1 )2Sn=a1+a1+(n-1)d+a1+d+a1+(n-2)d+a1+(n-2)d+ a1+d+ a1+(n-1)d+ a12Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d/2 2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)

15、d/2 2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d/2 2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(n-1)d/2 a an n=a=a1 1+ + +(n-1)d Sn=na1+ an /22Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn

16、=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(n-1)d/2 a an n=a=a1 1+ + +(n-1)d Sn=na1+ an /22Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+ +2a1+(n-1)d+ 2a1+(n-1)d 2Sn=n2a1+(n-1)d Sn=n2a1+(n-1)d/2 Sn=na1+a1+(n-1)d/2 a an n=a=a1 1+ + +(n-1)d Sn=na1+ an /2 S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an,n,則則 S Sn n=a=a1 1

17、+(a+(a1 1+d)+d)+a1+(n-1)d , (1) S Sn n=a=an n+(a+(an n-d)+a-d)+an n-(n-1)d , (2)-(n-1)d , (2) 由（由（1 1）+ +（2 2）得）得 2 2S Sn n = (a= (a1 1+ + a an n) +(a1+an)+(a+(a1 1+ + a an n) S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an,n,則則 S Sn n=a=a1 1+(a+(a1 1+d)+d)+a1+(n-1)d , (1) S Sn n=a=an n+(a+(an

18、n-d)+a-d)+an n-(n-1)d , (2)-(n-1)d , (2) 由（由（1 1）+ +（2 2）得）得 n n個個2 2S Sn n = (a= (a1 1+ + a an n) +(a1+an)+(a+(a1 1+ + a an n) S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an,n,則則 S Sn n=a=a1 1+(a+(a1 1+d)+d)+a1+(n-1)d , (1) S Sn n=a=an n+(a+(an n-d)+a-d)+an n-(n-1)d , (2)-(n-1)d , (2) 由（由（1 1

19、）+ +（2 2）得）得 n n個個2 2S Sn n = (a= (a1 1+ + a an n) +(a1+an)+(a+(a1 1+ + a an n) =n (a(a1 1+ + a an n) S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an,n,則則 S Sn n=a=a1 1+(a+(a1 1+d)+d)+a1+(n-1)d , (1) S Sn n=a=an n+(a+(an n-d)+a-d)+an n-(n-1)d , (2)-(n-1)d , (2) 由（由（1 1）+ +（2 2）得）得 n n個個2 2S Sn

20、n = (a= (a1 1+ + a an n) +(a1+an)+(a+(a1 1+ + a an n) =n (a(a1 1+ + a an n) Sn=na1+ an /2 S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an,n,則則 S Sn n=a=a1 1+(a+(a1 1+d)+d)+a1+(n-1)d , (1) S Sn n=a=an n+(a+(an n-d)+a-d)+an n-(n-1)d , (2)-(n-1)d , (2) 由（由（1 1）+ +（2 2）得）得 n n個個2 2S Sn n = (a= (a1 1+ + a an n) +(a1+an)+(a+(a1 1+ + a an n) =n (a(a1 1+ + a an n) Sn=na1+ an /2 Sn=na1+ an /2 (1) Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)1+2+3+4+5+100=？解：由題意可知，它是等差數(shù)列前由題意可知，它是等差數(shù)列前n項和求和項和求和問題，則問題，則 a1=1,an=100,n=100Sn=100(1+100)/2 =5050 . 如圖如圖3-4，一個堆放鉛筆的，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放放一支鉛筆，往上每

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