第五節(jié)高階常系數(shù)線性微分方程PPT課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 高階常系數(shù)線性微分方程高階常系數(shù)線性微分方程一一. 二階常系數(shù)線性奇次方程二階常系數(shù)線性奇次方程一般形式:) 1 (, 0 qyypyp,q為常數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 高階常系數(shù)線性微分方程高階常系數(shù)線性微分方程分析由方程特點可看出:為同一類型函數(shù),yyy ,之間相差常數(shù)因子.因此假設rxey rxey 將 代入(1)得:, 0)(2rxeqprr)2(, 02qprr當 滿足(2)時, 是(1)的一個特解.rrxe特征方程特征根根據(jù)特征根的三種不同情形,方程(1)的通解有三種情形.0 u0)()2(1211 uqprrupru21rr 1.特征根為相異實根 :xrxreyey2121,

2、是(1)的兩個線性無關的特解,xrxreCeCy2121則(1)的通解為21rr 2.特征根為二重根 :xrey11是(1)的一個特解, 求另一個線性無關的特解.xrexuy1)(2設 代入方程(1):取, xu xrxey12得到另一個線性無關的特解xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121則(1)的通解為線性無關特解)0(,21irir3.特征根為共軛復根:xixieyey)(2)(1,是(1)的兩個特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCey

3、x則(1)的通解為例:023 yyy, 0232 rr, 2, 121rr則通解為xxeCeCy221例:2|, 4|, 0200 xxyyyyy, 0122 rr, 121 rr則通解為xexCCy)(2144|10CyxxexCCCy)(21222|20Cyx則特解為xexy)24(例:032 yyy, 0322 rr,212, 1ir則通解為)2sin2cos(21xCxCeyx)3(, 0)2(2)1(1)( ypypypynnnn02211 nnnnprprpr注:上述解法可推廣到 n 階常系數(shù)線性奇次方程:特征方程 特征根 通解中的對應項單實根 r一項一對單復根 ir2 , 1兩項

4、k 重實根 rk 項一對 k 重復根ir2, 12k 項rxCe)(121 kkrxxCxCCe)sincos(21xCxCexsin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 例:0)3()4()5( yyyy, 02345rrrr, 1 ,0 ,0iir則通解為xCxCeCxCCyxsincos54321二二. 二階常系數(shù)線性非奇次方程二階常系數(shù)線性非奇次方程一般形式:)4(),(xfqyypy p,q為常數(shù)yYy由解的結(jié)構(gòu)可知, (4)的通解是:故只要求出(4)的一個特解 .y待定系數(shù)法1. 型xnexPxf)()(n 次多項式與指數(shù)函數(shù)乘積xexQy)(因此設待定多

5、項式將 代入(4)式并整理得:xexQy)()5()()()2(2xPQqpQpQn (1).當 不是特征根時:, 02qp因此取nnnnnbxbxbxbxQxQ 1110)()(xnexQy)(則設(2).當 是特征單根時:, 02 , 02pqp因此 是 n 次多項式,)(xQxnexxQy)(則設 是n+1次多項式,)(xQ例:求 的一個特解. 1332 xyyy, 0322 rr 型,xnexPxf)()(由于 不是特征根,0baxy則設將 代入方程得:y13323xbaax13233baa311ba31xy則一個特解為(3).當 是特征重根時:, 02 , 02pqp因此 是 n 次

6、多項式,)(xQ xnexQxy)(2則設 是 n+2 次多項式,)(xQ由于 是特征單根,2xebaxxy2)(則設將 代入方程得:yxbaax220212baa121baxexxy2) 121(則一個特解為因此通解為:xxeCeCy3221xexx22)2(例:求 的通解. xxeyyy265 , 0652 rr, 3, 221rr則對應的奇次方程的通解為xxeCeCY32212. 型sin)(cos)()(xxPxxPexfmlxsin)(cos)()2()1(xxQxxQexynnxk此時設特解為:iik10不是特征根是特征根證明略n 次多項式,max mln 例:求 的一個特解. x

7、eyyyxcos22 由于 是特征根,ii1)sincos(xbxaxeyx則設將 代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221, 0baxexyxsin2則一個特解為, 0222 rr,12, 1ir例: 求 的通解. xxyy2sin4 , 042r則對應的奇次方程的通解為xCxCY2sin2cos21,22, 1ir由于 是特征根,ii22sin)(2cos)(xdcxxbaxxy則設將 代入方程得:yxxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428(xxxxy2sin162cos82則一個特解為042180420bcadac1610081dcba因此通解為:x

8、CxCy2sin2cos21xxxx2sin162cos82題型解析通解求xeyyxyx36)1 (241. .e51ee.e51eee6dddddd41dd41dddddddddd21dddddd,322313u2u231322322222xxxuuxCCyxuuCCyyuyuyuyuuyuxuxyuxyuyuxuuyxyux帶回，得：將其通解為：，代入原方程可得：，則令.e ) 12(ee)(. 1,21:,e )()(*.ee)(:. 2, 1:,e)(2)( 3)( :22212221212xxxxxxxxxCCxbabaxxxCCxrrxxxxxQyP故微分方程的通解為：解得設一個特

9、解為的通解為從而對應齊次微分方程程的特征根為其所對應的齊次微分方非齊次微分方程，該微分方程為二階線性得由)(,)(,)()(2)(3. 22xxdyxydxxexxLx求有連續(xù)二階導數(shù)其中與路徑無關設的特解滿足求0)0()0(2sin4. 3 yyxexyyx;cos2*,02,0242,sin4cos2sin2sin4 cos)2(sin)2(*),sincos(*.sincos, 01111212, 12xxyBABAxxBxAxyyxAxBxBxAyxBxAxyxCxCYirr：即此微分方程的特解為，并整理得：代入微分方程，則個特解為：設非齊次微分方程的一通解為：故對應齊次微分方程的解得

10、特征根為：征方程為：對應齊次微分方程的特1102222,e2e )222(e2 ,e )(*2DCDCCxDCCxxyyDCxyxxxx，并整理得：代入微分方程一個特解為：設非齊次微分方程的另.e ) 1(cos2sin2cos,210)0( )0(,e ) 1(cos2sincos.e ) 1(*21212xxxxxxxxyCCyyxxxxCxCyxy故微分方程得特解為：代入通解得：把解為：原非齊次微分方程的通：即此微分方程的特解為. 2sincos)(, 2)(*. 2, 0, 1:) 1 (,)(*.sincos)(:,:, 01:) 1 (,)()( :221222122xxCxCxfxxfCBACBxAxxfxCxCxfirrxxfxfxQyP故式解得代入設的通解為從而對應齊次微分方程解得特征根為為該微分方程的特征方程得由及全微分方程的通解。求為全微分方程且有二階連續(xù)導數(shù)設)(,0)()()(, 1)0(, 0)0(,)(. 42xfdyyxxfd