2020-2021上海市蘭生復旦中學九年級(上)期中數(shù)學仿真試卷-解析版

1、2020.2021學年上海市楊浦區(qū)蘭生復旦中學九年級（上）期中數(shù)學仿真試卷一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分）1.已知線段“、b、c,求作第四比例線段x,則以下正確的作圖是（）B.第7頁，共22頁2.如圖，在梯形A8C。中，AB/CD,過。的直線MNCD,則2+ /=（）3.A 1A而如圖，在力8C中，。、上分別在A3、AC上，DE/BC,EF/CD交AB于F,那么下列比例式中正確的是（）K AF DEA = DF BCo AF AD D.=BD ABc=笫4.已知點從廠分別在力BC的A3、AC邊上，則下列判斷正確的是（）A.若力EF與力BC相似，則EF/BCB. AE X BE = A

2、FXFC,則力EF與力BC相似C,若竺=竺，則力EF與力BC相似 AB BCD. AF -BE =AE- FC9則4力岳尸與4月8c相似5.下列正確的是（）A. ka = kaB.二為單位向量,則b = | h | oC.平面內(nèi)向量之、入總存在實數(shù)機使得向量2 =加入D.若胃=沆+元，沆五，元石，則沆、元就是Z在五、石方向上的分向量6 . 如圖，在直角梯形A8CZ）中，DC/48,乙D力8= 90%A. V2-1B. 2 + V2C. V2 + 1D.V2AC IBC. AC=BC.乙48C的平分線分別交A。、AC 于點E, F,則煞的值是（）二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）7 .

3、若2=那么嗅的值為.a 3a + o8 . 計算：tanlS0 - tan4S0 tan7S0 =.9 .若不是與非零向的反向的單位向量，那么2=君.10 .如圖，在力8c中，BC = 6, G是/8C的重心，過G作邊3c的平行線交AC于點H,則G的長為.11 .二次函數(shù) =。/一3% + 02一。的圖象經(jīng)過原點，則12 .若過O0內(nèi)一點M的最長弦為10,最短弦為6,則OM的長為.13 .已知。的半徑為13,弦力8 = 24, CD = 10. KAB/CD.則弦A8與CO之間的距離為.c14 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨,廠7、度是40米，在線段上離中心M處5米的地方，

4、橋A的高度是徵6取3.14）.15 .小亮的身高為1.8米，他在路燈下的影子長為2米：小亮距路燈桿底部為3米，則 路燈燈泡距離地面的高度為 米.16 .如圖，力8c中，BC = 5, AC = 3, ABC繞著C點、旋轉到 AC的位置,那么 BBC與444（的面積之比為.如圖,在匚口， ABACD,。為AC邊中點，三=2,連接5。交A。于F,作。交8c邊于點則黑的值=18 .將一個無蓋正方體紙盒展開(如圖)，沿虛線剪開，用得到的5張紙片(其中4張 是全等的直角三角形紙片)拼成一個正方形(如圖)廁所剪得的直角三角形較短的 與較長的直角邊的比是.三、解答題(本大題共7小題，共73.0分)19 .計

5、算：3tcm300 + cos60。一於+2sin245。20 .已知在直角坐標系中，點A的坐標是(-3,1),將線段OA繞著點O順時針旋轉90。得到OB.(1)求點8的坐標：(2)求過月、B、。三點的拋物線的解析式；(3)設點B關于拋物線的對稱軸L的對稱點為C,求力BC的而枳.21 .如圖，在平行四邊形A8CQ中，過點8作BE J. CD, 垂足為連接從 F為AE上一點,且48FE = . (1)求證：EADx(2)若AD = 3, Z,BAE = 30%求8尸的長.(計算結果保留根號)22 .已知：如圖，力BC中，點E在中線AO上，乙DEB =乙48c.求證：(1)DB2 = DE DA；

6、(2)乙 DCE =乙 DAC.23.如圖，力BC中，。為8C邊上的一點，E在A。上，過點E作直線，分別和A3、AC兩邊交于點P和點Q,且EP = EQ.當點尸和點8重合的時候，求證：言=%(2)當P、。不與A、B、C三點重合時，求證：啜+器=關 Ao /IC AU24 .如圖，在平面直角坐標系xO.V中，正方形QA8C的邊長為2d，點A、C分別在.V軸和負半釉和x軸的正半軸上，拋物線/ =。/ +6” +以。：0)經(jīng)過 的 A、B,且 12a +5c = 0.(1)求拋物線的解析式；(2)若點尸由點A開始邊以2cm/s的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC 邊以lsn/s的速度向點C移動

7、.當一點到達終點時，另一點也停止運動.當移動開始后第，秒時，設5 =(22(61),試寫出$與，之間的函數(shù)關系式，并 寫出，的取值范圍.當/取何值時，s取得最小值？此時在拋物線上是否存在點R,使得以P、B、。、 R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標，若不存在，請說明理由.25 .已知：在Rt 力8c中，ZC = 90% AC = 4.乙4 = 60。，CO是邊A3上的中線，直 線8M/C, E是邊CA延長線上一點，ED交直線BM于點F,將EDC沿CD翻 折得,”?，射線。爐交直線8時于點G.(1)如圖1,當CDJLEF時，求5尸的值:(2)如圖如當點G在點F的右側時;求證：

8、ABDFfBGD；設/E = x, DFG的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍： (3)如果DFG的面積為6標，求AE的長.答案和解析1.【答案】B【解析】解：線段x為線段“、b、。的第四比例線段，a c ,廠7正確的作圖是反故選：B.根據(jù)第四比例線段的定義列出比例式，再根據(jù)平行線分線段成比例定理對各選項圖形列出比例式即可得解.本題考查了平行線分線段成比例定理, 靈活運用.2.【答案】B【解析】解：-AB/CD. MN/CD. MN/AB.v ON/AB. OMI 1 AB.ON DN OM CM: = ， = ， AB DA AB CBDN CM , 一 DA CBON _

9、 OM AB / ON = OM, ON/CD.AONA acd,喑嗯， OM/AB. COMs CAB.絲=吆，AB CA+得器+器=1，主要考查了第四比例線段的作法，要熟練掌握并DCAB第7頁，共22貞臉竺迎=1, CD AB1 . 1 _ 2赤 +而-MN9故選：B.先得到MN48,利用平行線分線段成比例定理得到吟=哈，登=箸，篙=篝，則 Ao UA Ao Co UA Co可判斷ON = OM,再證明力ON-力CD得到第=翌，證明 COM八 ”8得至 CD ACAB雪，把兩式相加后利用等式的性質(zhì)可得到卷+缶=言.本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已

10、 有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般 方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關系.3 .【答案】D【解析】解：A、EFCD, DE/BC. AF AE AE DE _ - , - *DF EC AC BCv CE AC, 豐照故本答案錯誤：B、v DE/BC. EF/CD. AE AD AE AF ,AC AB AC AD AF AD 一=一， AD AB , AD*DF, 黑.多故本答案錯誤： BD ABC、VEF/CD, DE/BC.AF AE AE AD DF - EC EC - BDAF AD：= DF BDv

11、 AD 豐 DF, 黑.第，故本答案錯誤；。、 DE/BC. EF/CD.DE AE EF AE iF -就CD 茄.黑=故本答案正確. CD BC故選：D.根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)找準線段的對應關系，對各選項分析 判斷后利用排除法求解.本題考查了平行線分線段成比例的運用及平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的 新三角形與原三角形相似的定理的運用，在解答時尋找找對應線段是關健.4 .【答案】?！窘馕觥拷猓哼x項A錯誤，與力8c相似，可能是=推不出EFBC.選項3錯誤，由力E XBE =力尸XFC,推不出力EF與力BC相似.選項。錯誤,選項。正確.理由：AF - BE = A

12、E - FC.由啜=推不出 AEFjAnBC相似. Ao o CAE _AFAEFA ABC.EF/BC,故選：D.根據(jù)三角形相似的判定定理一一判斷即可.本題考查相似三角形的判定，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，屬于中考常考題型.5 .【答案】A【解析】解：A、421 = Z |,正確.B、記為單位向量，則b = |b| 碼，錯誤，應該是Z = |b| 4.C、平面內(nèi)向量Z、乙總存在實數(shù)，使得向量2 = m2,錯誤，因為Z與之不一定是平行 向量.。、若之=記+元，沆二，元瓦，則泥、另就是Z在五、石方向上的分向量，錯誤， 也可能是Z在二、不反方向上的分向量.故選:A

13、.根據(jù)平而向量的性質(zhì)一一判斷即可.本題考查平面向量，平行向量等知識，解題的關犍是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?題型.6 .【答案】C【解析】DC分析】寸作FG_L/8于點G,由4E尸G,得出第=詈，求出Rt BGFBRt ABCF,再由B = 6bC求解.本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識，解題的關鍵是找 出線段之間的關系，CB = GB, A8 = 6bC再利用比例式求解.【解答】解：作FG 1 AB于點G,:乙DAB = 90, AE/FG, BF BG: = , EF GAv AC 1 BC, ACB = 90。，又BE是乙48c的平分線， FG =FC9在A

14、t A BGFWRt 8CF 中，(BF = BFtCF = GF Rt BGFRt BCF(HL), CB = GB, AC = BC, Z,CBA = 45% AB = /2BCf.bf = bg= bc = _1_ = 6 EF GA C-BC V2-1故選：C.7 .【答案】|3:.= = _a+b a+二 a 5 s故答案為:根據(jù)已知得出b =:再代入要求的式子進行計算即可得出答案.此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵.8 .【答案】1【解析】解：原式=tanl5 tan750 - tan450= 1X1=1.故答案為：1.直接利用銳角三角函數(shù)關系以及特殊角的三角函數(shù)

15、值代入得出答案.此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶公式變形是解題關鍵.9 .【答案】-|a|【解析】解：若石是與非零向量Z反向的單位向量，那么胃=-|可,用，故答案為I引.根據(jù)向量的幾何意義填空即可.本題考查平面向量，平行向量等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?題型.10 .【答案】2【解析】解：如圖，連接AG,并延長AG交8C于。:V G是力BC的重心，a AG： GD = 2： 3,且。是BC的中點；v GH/BC,GH AG 2 一.CD AD 3 CD = -BC = 3,2 GH = 2.連接AG,并延長AG交BC于。：根據(jù)重心的性質(zhì)知：。是3c中點，且AG：

16、 AD = 2：3：可根據(jù)平行線分線段成比例定理得出的線段比例關系式及C。的長求出GH的值.此題考查了平行線分線段成比例定理以及重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三 條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.11 .【答案】1【解析】解：將(0,0)代入y = ax2 3X + a? a, 0 = a? q， a = 0(舍去)或a = 1,故答案為：1.將(0,0)代入二次函數(shù)的解析式即可求出的值.本題考查二次函數(shù)，解題的關鍵是正確理解待定系數(shù)法，本題屬于基礎題型.12 .【答案】4【解析】解：由己知可知，最長的弦是過M的直徑AB,最短的是垂直平分直徑的弦CD,己知力8

17、 = 10, CD = 6,則0。=5, MD = 3,由勾股定理得OM = 4.故答案為:4.根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出.此題考查了垂徑定理，勾般定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵.13 .【答案】7或17【解析】解：當弦A3和C。在圓心同側時，如圖1,V AB = 24, CD = 10, AE =12, C尸=5,v OA = OC = 13, EO = 5, OF = 12, EF = 12 5 =7：當弦AB和。在圓心異側時，如圖2, , AB = 24, CD = 10, AE =12, CF = 5, OA = OC = 13,第15貞，共22頁 EO = 5,。尸=12,

18、 EF = OF + 0E = 17.48與CD之間的距離為7或17.故答案為7或17.分兩種情況進行討論：弦A8和CD在圓心同側：弦AB和C。在圓心異側；作出 半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可.本題考查了勾股定理和垂徑定理的應用.此題難度適中，解題的關鍵是注意掌握數(shù)形結 合思想與分類討論思想的應用，小心別漏解.14 .【答案】15【解析】解：設拋物線的方程為y = ax2 + bx + c己知拋物線經(jīng)過(0,16), (-20,0), (20,0),(16 = c故可得 0 = 400a - 20b + c,(0 = 400a + 20b + c可得a =一3 b = 0, c

19、= 16,故解析式為y= -2/ + 16,當x = 5時，y= 15m.根據(jù)題意假設解析式為 =。/ +及+的用待定系數(shù)法求出解析式.然后把自變量的 值代入求解對應函數(shù)值即可.本題考查點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應用.此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解 決實際問題.15 .【答案】4.5【解析】【分析】此題主要考查了相似三角形的應用，屬于基礎題.根據(jù)已知得出圖形，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可.【解答】解：結合題意畫出圖形：E易得力DC”力E8,AC CD : = ,AB BEAC ABCD BE小亮的身高為1.8米，他在路燈下的影子長為2米；小亮距路燈桿底部為3米, ： AC = 2,

20、BC = 3, CD = 1.82 S ,1.8BE解得：BE = 4.5,故答案為4.5.16.【答案【解析】解：48C繞著C點旋轉到的位置,a AC = CA BC = CB1 乙BCB=乙式4,BC BfC : = , AC AfC/. ACAA BCB.Srbc = zx2 =空 See - - 9 故答案為：y.由旋轉的性質(zhì)可得AC = CA BC = CB乙BCB=乙ACA,可證 ACAA BCB由相 似三角形的面積比等于相似比的平方可求解.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，證明8CB是本題的關鍵.17.【答案】2【解析】解：-ADLBC, LDAC + ZC = 90

21、. 乙BAC = 90, Z.BAF = ZC. OE 1。8, 乙BOA + 乙COE = 90, 乙8。力尸= 90。， ABF = /LCOE.過。作AC的垂線交8c于H,則。H/4B, :乙ABF = (COE,力尸=乙。. Z,AFB = EC, AFO =(HEO,而NB力尸=乙C, LFAO =乙EHO, OEHs4。尸力，OF _ OA OE - oh又。為AC的中點,OH/AB. OH為/BC的中位線，a OH =-AB, OA = OC = -AC, 22哈2,OA r = 2, OH哈2,故答案為：2.先證明乙 B/F = NC, Z-ABF = Z.COE, .OH L

22、AC,交 BC 于，易證：。岳”和4。/相似，可得黑=篇由三角形中位線定理可得。=氏OA = OC =即可求解. Uc Un乙乙本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵.18 .【答案】1： 2【解析】解：由圖可得，所剪得的直角三角形較短的邊是原正方體棱長的一半，而較長 的直角邊正好是原正方體的棱長，所以所剪得的直角三角形較短的與較長的直角邊的比 是 1 ： 2.本題考查了拼擺的問題，仔細觀察圖形的特點作答.本題必須以不變應萬變，透過現(xiàn)象把握本質(zhì)，才能將問題轉化為熟悉的知識去解決.19 .【答案】解：原式=3X當+ ：逐+2X(勺=V3 + i-

23、V3 + l乙_ 3- 2-【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案.此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.20.【答案】解：(1)過點A作/軸，過點8作BM_Ly 軸，由題意得。力=。8,乙4。” = 480M.：,hAOHHBOM F的坐標是(-3,1), AH = BM = 1, OH = OM = 3 8點坐標為(1,3)(2)設拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c(a + b + c = 3 貝49。- 3b + c = 1.(c = 0 拋物線的解析式為y =ob(3)對稱軸為x = -葛 .C的坐標為(一名,3) D S,abc =

24、. hBC = (1 + ) X 2 =三【解析】(1)本題可通過構建全等三角形來求解.過點A作力” J.X軸，過點B作8M軸，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知：。力=。8,而小08與乙40H都是乙40M的余角，因此兩角相等，因此這兩個直角三角形就全等，那么0” = 0M, AH=BM,由此可得出5點坐 標.（2）根據(jù)求出的B點坐標以及已知的A、。的坐標即可用待定系數(shù)法求拋物線的解析式. （3）先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線的對稱軸及。點坐標，即可得出的長，求三 角形ABC的面積時，可以8c為底，以A、8縱坐標差的絕對值為高來求解.本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識

25、. 21.【答案】證明：在平行四邊形A5CD中， 乙D + 乙。=180, AB/CD. Z.BAF =乙AED.v 乙4FB + 乙BFE = 180% 乙D + 乙。=180,乙BFE =乙C,C 乙4FB =乙D, 3t.-.ABFA EADX (2)解：BE 1CD, AB/CD, BE LAB.乙4BE = 900.在Rt 力BE中，/.BAE = 30% 由（1）知，EAD,AB _ BF EA AD【解析】（1）可通過證明乙8/尸=乙力ED, 2FB =功,證得（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE _L AB,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan乙B/E = 詈 =鼻 根 據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

26、可得到結論.本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，同時也用到了平行四邊形的性質(zhì)和等角的補 角相等等知識點.22.【答案】證明：（1）在ABDE和D/B中:乙DEB = ZABC,乙BDE = ADB, （1 分）/. BDEAADB, （1 分）冷得（1分） BD2 = AD - DE.(1（2） v力。是中線,，CD = BD. CD2 =AD-DE,:喑，（1分） 又乙ADC = (CDE, (1 分)DECDCA, (1 分) Z.DCE = Z.DAC. (1)【解析】（1）根據(jù)已知可證aBDEs。力B,得到黑=券，BD2 = AD-DE.（2）在（1）的基礎上，因為CD = 8D,可

27、證累=茶 即可證DEC7DC4.得到4DCE = Ug CDZ.DAC.本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意 正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等.23.【答案】證明：（1）如圖，過點。作QF8C交A。于F,QF _QE _ EF訪iF 防又 QE = EP, BD =FQ. EF = DE, QF/CD, AFQADC,FQ _ AFCD AD第21貞，共22頁BD+CD AF+AD 一 , CD ADBC _ 2AE,而一AD(2)如圖，過點。作QFBC交A。于F,過點、P作PH/BC交AD于H, QF/PH,:.dFQEsdHPE,FQ EF

28、 EQ PH - EH - PE又QE = EP.:,PH = FQ, EF = HE, FQ/BC, ， AQFACD,，絲=竺，AC AD PHI IBC,APHA ABDAP AH 一=一， AB AD.AP AQ _AF AH _ /1F+4F+2EF _ 2AE AF 十 AC - HD 十 AD - AD AD【解析】(1)過點。作QFBC交A。于凡 由相似三角形的性質(zhì)可得器=署=,可得BD = FQ, EF = DE.通過證明力尸Q力DC,可得察=*,即可得結論； C/ AD(2)過點。作QFBC交A。于凡 過點尸作P”BC交AO于H,由相似三角形的性質(zhì) 可得舒=篇=箓可得P =

29、 FQ，EF = E,由相似三角形的性質(zhì)可得笫=去箸=捺 即可得結論.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用平行線分線段成比例解決問題是本題的關鍵. 24.【答案】解：(1)據(jù)題意知：4(0,-2), 5(2,-2), 4點在拋物線上， c = -2, 12a + 5c = 0,s a =-， 6由力B = 2知拋物線的對稱軸為：x = l.，拋物線的解析式為：y =，2_ 2； o 3(2)由圖象知：PB = 2-2t + t2,即S = St2 -8t+ 4(0 t 1)：假設存在點R，可構成以P、B、R、。為頂點的平行四邊形， s = 5t2 - 8t + 4(0 t 1),a S =

30、S(t-)2 + |(0 t 1), .當t時，S取得最小值士8這時PB = 2 - = 0.4, BQ = 0.8, P(L6,-2), Q(2,-1.2),分情況討論：若 PB 與 PQ 為邊,這時QR=PB = 0.4, QR/PB,貝Ij： R 的坐標為(2.4, 1.2),代入y =，/一%-2,左右兩邊相等，.這時存在取2.4,1.2)滿足題意：若PB與QB為邊,這時PR = Q8. PR = QB = 0.8,則：R的坐標為(161.2),代入y左右兩邊不相等，R不在拋物線上：若PQ與QB為邊,這時PA=Q8, PR/QB,則：R的坐標為(1.6,2.8),代入 =，/一：一2,

31、左右不相等，R不在拋物線上.綜上所述，存在一點A(2.4,1.2)滿足題意.【解析】(1)根據(jù)已知條件，結合正方形的性質(zhì)求出A、8點的坐標，利用待定系數(shù)法可求解；(2)用，表示出P8、8。的長，利用勾股定理建立起它們之間的關系：利用中關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S取最小值時的，的取值，計算出P以 BQ的長，然后分三種情況討論利用平行四邊形的性質(zhì)可求解.本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的有關知識，平行四邊形的性質(zhì)，是一個典型的 動點問題，運用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.25.【答案】解：(1) LACB = 90, AD = BD, * CD = AD = BD,v Z-BAC = 6

32、0% ADC = LACD = 60% 乙ABC = 30% AD = BD = AC,v AC = 4,a AD = BD =AC = 4,v BM/AC. Z.MBC =乙 ACB = 90%又, CD IFF, 乙CDF = 90, 乙BDF = 30, Z.BFD = 30。， 乙BDF =乙BFD, .BF = BD = 4：(2)證明：由翻折，得乙/CD = 2CD = 60。， ADC =乙EkD, CE / AB, 乙CED =乙 BDG,v BM/AC. 乙CED =乙BFD,又4CED = MED, 乙BDG =乙BFD, 乙DBF =乙GBD,BDF公 BGD；由8DF“a8GD,得需=能， 。為AB的中點，