角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理

1、角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理基礎(chǔ)概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的證明和簡單應(yīng)用，掌握尺規(guī)作圖做角平分線，規(guī)范 證明步驟。（1）角平分線的性質(zhì)定理證明：角平分線的性質(zhì)定理： 角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。證明角平分線的性質(zhì)定理時，將用到三角形全等的判定公理的推論：推論：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（AAS ）推導(dǎo)過程：已知：0C平分/ MON , P是0C上任意一點(diǎn)，PA丄OM , PB丄ON , 垂足分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B.求證：PA = PB.0證明： PA丄 OM , PB丄 ON/ PAO = Z PBO = 90°/ OC 平分/ MON

2、/ 1 = Z 2在厶PAO和厶PBO中，PAOPBO PA= PB幾何表達(dá)：（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）如圖所示， OP 平分/ MON (/ 1 = Z 2), PA丄 OM , PB丄 ON , PA= PB.(2) 角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。推導(dǎo)過程已知：點(diǎn) P是/ MON內(nèi)一點(diǎn)，PA丄OM于A , PB丄ON于B,且PA= PB .求證：點(diǎn)P在/ MON的平分線上.證明：連結(jié)0P在 Rt PAO 和 Rt PBO 中， Rt PAOB Rt PBO (HL )/ 1 = Z 2 OP 平分/ MON即點(diǎn)P在/ MON的平分線

3、上.幾何表達(dá)：(到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.)如圖所示， PA丄 OM , PB 丄ON , PA= PB/ 1 = Z 2 (OP 平分/ MON )(3) 角平分線性質(zhì)及判定的應(yīng)用 為推導(dǎo)線段相等、角相等提供依據(jù)和思路； 實(shí)際生活中的應(yīng)用.例：一個工廠，在公路西側(cè)，至U公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為300米在下圖中標(biāo)出工廠的位置，并說明理由.(4) 角平分線的尺規(guī)作圖活動三：觀察與思考： 尺規(guī)作角的平分線觀察下面用尺規(guī)作角的平分線的步驟(如圖)，思考這種作法的依據(jù)。步驟一：以點(diǎn)0為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，弧與角的兩邊分別交于A , B兩點(diǎn)由作圖可知：

4、OA = OB步驟二：分別以點(diǎn)A , B為圓心，以固定長（大于AB長的一半）為 半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) C。由作圖可知：AC = BC步驟三：作射線0C,貝U OC就是/ AOB的平分線。Q由作圖可知： 定理，可得也同學(xué)們，討論交流一下，你能說出作圖的每一步驟的依據(jù)是什么嗎？試用證明的方法說 出作圖的正確性。二、【典型例題】例1.已知：如圖所示，/ C=Z C'= 90°，AC = AC' 求證：（1）z ABC = / ABC '（2） BC = BC '（要求：不用三角形全等判定）.例2.如圖所示，已知 ABC中，PE/ AB交BC于E，PF/ AC

5、交BC于F, P是AD上 點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分/ BAC，并說明理由.例3.如圖所示，已知 ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P,那么AP能否平分/ BAC ? 請說明理由由此題你能得到一個什么結(jié)論？例4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的 P點(diǎn)處，距公路400m，現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為 x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1) 學(xué)校距鐵路的距離是多少？(2) 請寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo).例5.如圖所示，在 ABC中，/ C = 90°, AC = BC, DA平分/ CAB交BC于D,問能否 在AB上確定

6、一點(diǎn)丘，使厶BDE的周長等于AB的長？若能，請作出點(diǎn)E,并給出證明；若 不能，請說明理由.練習(xí)一一、填空題：1如圖1-31， ABC中，AD是BC的垂直平分線，BE平分/ ABC交AD于E, EF丄AB ,則AB = ，BF = ;2已知：如圖 1-32，在 Rt ABC 中，/ C = 90° , AC = BC, BD 平分/ ABC 交 AC 于 D, DE 丄AB于E，若BC = 5,則厶DEC的周長為 .C圖 1-31二、選擇題：1. 如圖 1-33， ABC 中，/ B = 42 ED = EF,則/ AEC的度數(shù)為(A. 60 ° B. 62 °C.

7、 64°2. 給出下列命題：,AD丄BC于D，E是BD上一點(diǎn)，EF丄AB于F，若)；D. 66°垂直于同一條直線的兩直線平行； 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等； 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)； 全等三角形的面積相等；C其中原命題和逆命題都是真命題的共有(A. 1個B. 2個C. 3個三、解答題：D. 4個接BF.求證：BF是/ ABC的平分線.【綜合練習(xí)】已知：如圖1-35， ABC中，AB = 2AC, AD平分/ 求證：DC丄AC.圖 1-34例題答案例1.已知：如圖所示，/ C=Z C'= 90°, AC = AC' 求證：（1）Z AB

8、C = / ABC '（2） BC = BC '（要求：不用三角形全等判定）.證明：（1）vZ C=Z C'= 90°（已知）， AC丄BC, AC '丄BC '（垂直的定義）.又 AC = AC （已知），點(diǎn)A在/ CBC的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）./ ABC = / ABC .（2）vZ C=Z C，/ ABC = / ABC , 180° （/ C+Z ABC ）= 180° （/ C + Z ABC ）（三角形內(nèi)角和定理）. 即/ BAC = Z BAC , AC 丄 BC, AC 丄

9、BC , BC = BC （角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等）.例2.如圖所示，已知 ABC中，PE/ AB交BC于E, PF/ AC交BC于F, P是AD上 點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分Z BAC，并說明理由.解：AD平分Z BAC . D到PE的距離與到PF的距離相等, 點(diǎn)D在Z EPF的平分線上. Z 1 = Z 2.又 PE/ AB ,/ 1 = Z 3.同理，/ 2二/4./ 3=Z 4,二 AD 平分/ BAC .例3.如圖所示，已知 ABC的角平分線BM , CN相交于點(diǎn)P,那么AP能否平分/ BAC ? 請說明理由.由此題你能得到一個什么結(jié)論？

10、解：AP平分/ BAC .結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等. 理由：過點(diǎn)P分別作BC, AC , AB的垂線，垂足分別是E、F、D . BM是/ ABC的角平分線且點(diǎn) P在BM 上, PD = PE (角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等).同理 PF= PE,a PD= PF. AP平分/ BAC (到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上).例4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路， 學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的 P 點(diǎn)處，距公路400m,現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為 x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1) 學(xué)校距鐵路的距離是多少？(2) 請寫出學(xué)校

11、所在位置的坐標(biāo).解：(1)v點(diǎn)P在公路與鐵路所夾角的平分線上，點(diǎn)P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又點(diǎn)P到公路的距離是400m,點(diǎn)P (學(xué)校)到鐵路的距離是400m.(2)學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是(400, 400).評析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過角相等再結(jié)合垂直證明線段相等.例5.如圖所示，在 ABC中，/ C = 90°, AC = BC, DA平分/ CAB交BC于D,問能否 在AB上確定一點(diǎn)丘，使厶BDE的周長等于AB的長？若能，請作出點(diǎn)E,并給出證明；若 不能，請說明理由.解：能.過點(diǎn)D作DE丄AB于丘，則厶BDE的周長等于AB的長.理由如下: AD 平分/ CAB , DC丄AC, DE丄AB , DC = DE.在 Rt ACD 和 RtAAED 中， Rt ACD 也 RtAAED (HL). AC = AE .又