內(nèi)切球和外接球例題

1、高考數(shù)學中的內(nèi)切球和外接球問題時間：2021.01.01創(chuàng)作：歐陽美一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為27龍 例2 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體 積為4血.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3 （2007年天津高考題）一個長方體的 各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條 棱長分別為123,則此球的表面積為.14心例4、（2006年全國卷I）已知各頂點都在 一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則 這個球的表面積為（）.C.A. 16兀B. 20龍c. 24龍D. 32兀3

2、. 求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè) 棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一9個球面上，且該六棱柱的體積為匚 底面周長為3 ,則這個球的體積為二解 設正六棱柱的底面邊長為"，高為，則有r6xv;，正六棱柱的底面圓=i=迺的半徑一匚球心到底面的距離"一空.外接 球的半徑R = JP +滬=1二、構(gòu)造法（補形法）1、構(gòu)造正方體例5 （2008年福建高考題）若三棱錐的三 條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為血，則其外接 球的表面積是“解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩 兩垂直，.把這個三棱錐可以補成一個棱長為 巧的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐

3、的外接球設其外接球的半徑為尺，則有（2町=（冏+何+（冏=9«匕.故其外接球的表面積S=4杖9心小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱 兩兩垂直，且其長度分別為山只c ,則就可以 將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的 體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設 其外接球的半徑為心 則有2r=jh、2 .出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。【例題】:在四面體曲飭中，共頂點的三 條棱兩兩垂直，其長度分別為若該四 面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表 面積。解：因為：長方體外接球的直徑為長方體 的體對角線長所以：四面體外接球的直徑為曲歐陽美創(chuàng)編 2021.01.01的長即：4宀血

4、+Q+Q 4宀F+3? +后=16所以R = 2球的表面積為S = 4曲阿例6個四面體的所有棱長都為血，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 5B. 4龍解析：一般解法,需設出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形,再計算球的半徑.在此,由于所有棱長都相等,我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段,所以構(gòu)造一個正方體,再尋找棱長相等的四面體，四面體a_bde滿足 條件，即 AB=AD=AE=BD=DE = BE = 2 ,由此可求 得正方體的棱長為1,體對角線為石，從而外 接球的直徑也為的，所以此球的表面積便可求得，故選A.例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60°

5、, E為AB的中點，將AADE與ABEC分布 沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三 棱錐P-DCE的外接球的體積為（）.D. 24解析：因為AE=EB=DC=1 , ZDAB=ZCBE=ZDEA=60° ,所以 AD = AE=EB=BC=DC=DE=CE= I, 即 三棱錐 P-DCE 為 正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故 選C.例8已知球。的面上四點A、B、C、D,DA丄平面ABC, AB丄BC, DA二AB二BC=>/5 ,則球O 的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時，需要找出 球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便 可找到球的直徑，由于DA丄平面

6、ABC, AB丄BC, 聯(lián)想長方體中的相應線段關(guān)系，構(gòu)造長方體， 又因為DA=AB=BC=V3 ,則此長方體為正方體，所 以CD長即為外接球的直徑，利用直角三角形解9出CD=3.故球。的體積等于?。?、構(gòu)造長方體例9.已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB丄平面BCD, BC丄DC 9 若AB = 6,AC=2>/n,AD二 8,則球的體積是.解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長方歐陽美創(chuàng)編 2021.01.01 體，于是AD為球的直徑，0為球心，OB=OC=4 為半徑，要求B、C兩點間的球面距離，只要求 出ZBOC即可，在RtAABC中，求出BC=49所以4兀ZB心0（：故B、C兩點

7、間的球面距離是3 .三.多面體幾何性質(zhì)法例1 0.已知各頂點都在同一個球面上的正 四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面 積是A. 16龍B. 20/rC. 24龍D. 32解 設正四棱柱的底面邊長為"，外接球的 半徑為心則有力-16,解得A = 2. 2R = y/i1 +22 +42 = 2>/6, R = >/6這個球的表面積是4肝?'24心選C.小結(jié) 本題是運用 歐陽美創(chuàng)編 2021.01.01“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直 徑”這一性質(zhì)來求解的.四尋求軸截面圓半徑法例11 正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè) 棱長都為血，點S、A、B、C、

8、Q都在同一球面 上，則此球的體積為,解 設正四棱錐的底面中心為外接球的球心為。，如圖1所示.由球的截面的性 質(zhì)，可得00丄平面ABCD.又SO丄平WiABCD J球心0必在SO所在的 直線上.MSC的外接圓就是外接球的一個軸截面 圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在msc 中， 由 SA = SC =邁，AC = 2, SA2 + SC2 = AC21 .AASC是以AC為斜邊的RtA是外接圓的半Vijc =徑，也是外接球的半徑.故3.五確定球心位置法例11在矩形ABCD中，A3 = 4,3C = 3,沿AC將矩形A3CD折成一個直二面角b-ac-d9則四面體ABCQ的外接球的體積為125125125兀兀兀A. 12B 9C 6D.125 兀3解設矩形對角線的交點為則由矩形對角線互相平分，可知= a = =.點。到四面體的四個頂點A、3、C、Q的距離相等，即點。為四面體的外接球的球心，：外接球的半徑r = OA = - 卩球=2故 3125 兀 ,6 選 C.【例題】:已知三棱錐的四個頂點都在球。的球面上，恥丄眈且刊=7, PB = 5 9 氏二厲i, =io,求球o的體積。解：ABIBC且刊=7,PB = 5 , PC 二 75T,因為72 + ./512 = 102 所以知如嚴二尸才+曰廠所以以丄PU所以可得圖形為:在RiAABC中斜邊為,在Rt