六年下冊奧數(shù)試題-奇數(shù)與偶數(shù)全國通用含答案

1、第5講奇數(shù)與偶數(shù)全體整數(shù)根據(jù)被2除的余數(shù)可以分為兩類： 余數(shù)為0的數(shù)叫偶數(shù)，余數(shù)為1的數(shù)叫奇 數(shù)。一個整數(shù) 要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，是奇數(shù)就不能是偶數(shù)，是偶數(shù)就不能是奇數(shù)，即 奇數(shù)工偶數(shù)。除此之外，運(yùn)用 奇偶分析解題，常常要用到下列幾個基本性質(zhì)：奇數(shù)士奇數(shù)二偶數(shù)偶數(shù)士偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)士偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)；若干個偶 數(shù)的和是偶數(shù)。若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)； 偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù)，下面我們就利用這些性質(zhì)解一 些題目。例1能否在下式的每個方格中，分別填入加號或減號，使等式成立。1 口2 口 3 口4 口 5 口 6 口 7 口 8 口 9=10分析：先隨便填入加號或減

2、號試一試，總也不能得到10,因此猜測答案應(yīng)該是不能。 特別是如果都填加號，得數(shù)是45,是奇數(shù)。但怎樣才能說明白呢？下面通過分析整數(shù)的奇偶性解決問題。解：由于任意兩個自然數(shù)之和與差的奇偶性相同，因此無論在方格中怎樣填加減號，所得結(jié)果的奇偶性與在每個方格中都填入加號所得結(jié)果的奇偶性一樣。但是在每個方格中都填入加號所得的結(jié)果45是奇數(shù)，而式子的右邊是10偶數(shù)，兩邊的奇偶性不同，奇數(shù)工 偶數(shù)，因此無論怎樣填，都不可能使等式成立。說明：因?yàn)閍-b=a+b-2b,因此a-b與a+b有相同的奇偶性?？此普f不清的題目，用簡單的奇數(shù)工偶數(shù)就解決了。例2兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每個數(shù)碼都不小于5,第二個四位

3、數(shù)只是 第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學(xué)得出的答案是16246。試問該同學(xué)的答案正確嗎？如果正確，寫出這兩個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由。分析：每個數(shù)碼都不小于5的四位數(shù)有很多， 一一去試驗(yàn)顯然不太現(xiàn)實(shí)。由于第二個 四位數(shù)只是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置，因此下面我們分析這兩個四位數(shù)的數(shù)碼之和的奇偶性。解：由于這兩個四位數(shù)僅僅是數(shù)碼調(diào)換了位置，所以這兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相 同。因此這兩個四位數(shù)的數(shù)碼之和是一個偶數(shù)。由于這兩個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5,因此，這兩個數(shù)相加時， 其個位、十位、百位、千位都要進(jìn)位。如果16246是正確的，那么這兩個四位數(shù)的個位上兩數(shù)字之和應(yīng)是16,十位上

4、兩數(shù)字之和應(yīng)是13,百位上兩數(shù)字之和應(yīng)是11 ,千位上兩數(shù)字之和應(yīng)是15,因此這兩個四位 數(shù)的數(shù)碼之和是 16+13+11 + 15=55是奇數(shù)。由于奇數(shù)工偶數(shù)，所以該同學(xué)的答案是錯誤的。說明：本題也可以這樣說明： 由于這兩個四位數(shù)僅僅是數(shù)碼調(diào)換了位置，所以這兩個 四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相同。因此這兩個四位數(shù)的數(shù)碼之和是一個偶數(shù)。這兩個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5,因此，這兩個數(shù)相加時，有四次進(jìn)位，每進(jìn)一次位，所得的數(shù)碼之和將減少9,四次進(jìn)位共減少36,所以和的數(shù)碼之和仍是偶數(shù)。但是1+6+2+4+6=19 是奇數(shù)，奇數(shù)工偶數(shù)，所以該同學(xué)的答案是錯誤的。例3在黑板上寫上數(shù)1,2,3, 4,98,

5、每次擦去任意兩個數(shù)，換上這兩個數(shù)的和或差，重復(fù)這樣的操作連續(xù)若干次，直到黑板上僅留下一個數(shù)為止，這個數(shù)能是1000嗎？分析：擦去任意兩個數(shù)，換上這兩個數(shù)的和或差，叫做一次操作?？疾烀坎僮饕淮?，這些數(shù)會發(fā)生什么變 化?？梢园l(fā)現(xiàn)奇數(shù)個數(shù)的奇偶性不變，從而黑板上只剩下一個數(shù)時,這個數(shù)只能是奇數(shù)。解：如果擦去兩個偶數(shù)或一奇一偶，那么操作一次，黑板上奇數(shù)個數(shù)不變。如果擦去兩個奇數(shù)，那么操作一次，黑板上奇數(shù)就減少2個。所以，每操作一次，黑板上的奇數(shù)或 不變或減少2個，即奇數(shù)個數(shù)的奇偶性不變。因?yàn)? , 2, 3, 4,98中共有49個奇數(shù)，所以，操作若干次后，黑板上僅留下一個數(shù)時，這個數(shù)只能是奇數(shù)，即這個

6、數(shù)不可能 是1000。說明：在一定的規(guī)則下進(jìn)行某種操作或變換，問是否 （或證明）能達(dá)到一個預(yù)期的目的，這就是所謂的操作變換問題。此類問題形式多樣，解法靈活，解題的關(guān)鍵是在操作變換中挖掘不變量、不變性。例4在4X 4的方格紙的16個小方格內(nèi)，從1、3、5三個數(shù)中任選一個數(shù)填入。能不能使得4X4的方格紙的每行、每列以及兩條對角線上的四個數(shù)的和均不相同。如果能，請在小方格內(nèi)填上滿足要求的數(shù)；如果不能請說明理由分析：4X4的方格紙的每行、每列以及兩條對角線上的四個奇數(shù)的和是偶數(shù)，且是 10個不同的偶 數(shù)，而從1、3、5中任選四個最多只有9個偶數(shù)。解：不能。因?yàn)?個奇數(shù)的和是偶數(shù)，從1、3、5中取出四個

7、數(shù)相加和最小是1+1+1 +仁4,最大是5+5+5+5=20,從4到20這17個自然數(shù)中共有偶數(shù)9個，而4X 4的方格紙的四行、四列以及兩條對角線上的四個數(shù)的和如果均不相同的話，需要4+4+2=10 個不同的偶數(shù)，9<10 ,故不可能填出。例5能否找到自然數(shù)a和b,使a2=2002+b 2?分析：直接去找很不容易，因此可以假設(shè)能找到自然數(shù)a和b,使a2=2002+b 2成立，從這一個假設(shè)出發(fā)，找到a與b應(yīng)滿足的關(guān)系式或推出矛盾。解：假設(shè)能找到自然數(shù) a和b,使a2=2002+b 2成立，貝U a2-b 2=2002 ,即(a+b)(a-b)=2 X 100 仁奇 數(shù)X偶數(shù)，而a+b與a-

8、b的奇偶性相同，不可能是一奇一偶，所以假設(shè)不成立。 故知找不到自然數(shù)a和b, 使 a2=2002+b 2。例6在10個容器中分別裝了 1, 2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8, 9, 10毫升的水，每次操作中由水多的甲容 器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量。問：能否在若干次操作后，使 5個容器都裝有3毫升的水，其余容器分別裝有6, 7, 8, 9,10毫升的水？如果能，請說明操作順序；如果不能，請說明理由。分析：從各個容器裝水毫升數(shù)的奇偶性入手，分析每次操作所涉及的兩個容器裝水毫升數(shù)的奇偶變化，從中挖掘不變量，找出規(guī)律，獲得答案。解：用奇t偶表示把從裝奇數(shù)毫升水的容

9、器向裝偶數(shù)毫升水的容器倒水。奇t奇，偶T奇，偶T偶的含義完全類似。因?yàn)橐粋€自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，所以每次操作，只有四種可能的情況：奇T偶奇T奇偶T奇，偶T偶對說，因?yàn)槠鏀?shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，所以奇t偶這種操作不會改變這 兩個容器裝水毫升 數(shù)的奇偶性。對說，因?yàn)榕紨?shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以偶t奇這種操作把這兩個容 器裝水毫升數(shù)的奇 偶性做了對換，但它不改變10個容器中裝奇數(shù)毫升水的容器的個數(shù)。對說，因?yàn)榕紨?shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，所以偶T偶這種操作不會改變這 兩個容器裝水毫升 數(shù)的奇偶性。對說，因?yàn)槠鏀?shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以奇T奇這種操作把兩個裝奇

10、 數(shù)毫升水的容器變 為兩個裝偶數(shù)毫升水的容器?？偨Y(jié)以上可知，進(jìn)行一次操作后，10個容器中裝奇數(shù)毫升水的容器的個數(shù)，或者沒有變化，或者減少兩個，從而進(jìn)行若干次操作后，裝奇數(shù)毫升水的容器個數(shù)小于或等于原裝奇數(shù)毫升水的容器個數(shù)。原裝奇數(shù)毫升水的容器有5個，不管經(jīng)過多少次操作，都不會使裝奇數(shù)毫升水的容器變?yōu)?個。閱讀材料戰(zhàn)爭中的數(shù)學(xué)擷趣(二)軍事邊緣參數(shù)是軍事信息的一個重要分支，它是以概率論、統(tǒng)計學(xué)和模擬試驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對地形、天侯、 波浪、水文等自然情況和作戰(zhàn)雙方兵力兵器的測試計算，在一般人都認(rèn)為無法克服、甚至容易處于劣勢的險惡環(huán)境中，發(fā)現(xiàn)實(shí)際上可以通過計算運(yùn)籌，利用各種自然條件的基本戰(zhàn)術(shù)參數(shù)的最高

11、極限或最低極限，如通過計算山地的坡度、河水的深度、 雨雪風(fēng)暴等駕馭戰(zhàn)爭險象，提供戰(zhàn)爭勝利的一種科學(xué)依據(jù)。1942年10月，巴頓將軍率領(lǐng)4萬多美軍，乘100艘戰(zhàn)艦，直奔距離美國4000公里的摩洛哥，在11月8日凌時晨登陸。11月4日，海面上突然刮起西北大風(fēng)，驚濤駭浪使艦艇傾斜達(dá)42。直到11月6日天氣仍無好轉(zhuǎn)。華盛頓總部擔(dān)心艦隊會因大風(fēng)而全軍覆 沒，電令巴頓的艦隊改在地中海沿海的任何其他港口 登陸。巴頓回電：不管天氣如何，我將按原計劃行動。11月7日午夜，海面突然息浪靜，巴頓軍團(tuán)按計劃登陸成功。事后人們說這是僥幸取勝，這位“血膽將軍”拿將士的生命作賭注。其實(shí)，巴頓將軍在出發(fā)前就和氣象學(xué)家詳細(xì)研究

12、了摩洛哥海域風(fēng)浪變化的規(guī)律和相關(guān)參數(shù)，知道11月4日至7日該海域雖然有大風(fēng)，但根據(jù)該海域往常最大浪高波長和艦艇的比例關(guān)系，恰恰達(dá)不到翻船的程序，不會對整個艦隊造成危險。相反，11月8日卻是一個有利于登陸的好天氣。巴頓正是利用科學(xué)預(yù)測和可靠邊緣參數(shù)，抓住“可怕的機(jī)會”，突然出現(xiàn)在敵人面前。練習(xí)題1.在1,2, 3, 4,5，二99 , 100這100個數(shù)之間，任意填上+,-運(yùn)算符號和()，運(yùn)算結(jié)果能否得到3219 ?解：由于任意兩個自然數(shù)之和與差的奇偶性相同，因此無論怎樣填加減號及(),所得結(jié)果的奇偶性與在這100個數(shù)之間都填入加號所得結(jié)果的奇偶性一樣。都填入加號所 得的名果5050是偶數(shù)，而3

13、219是奇數(shù)，奇數(shù)工偶數(shù)，因此無論怎樣填，都不可能使運(yùn)算結(jié)果是3219 。2.你能不能將自然數(shù)1到9分別填入下列3 X 3的9個方格中，使得每個橫行中的三個數(shù) 的和都是偶數(shù)?解：由于每個橫行中的三個數(shù)的和都是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)因此，9個格中三個橫行的的9個數(shù)的和是偶數(shù)。而這9個數(shù)的和恰好是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 是奇數(shù)，奇數(shù)工偶數(shù)，所以不能將自然數(shù)1到9分別填入方格中，使得每個橫行中的三個數(shù)的和都是偶數(shù)。3 .把1,2,99這99個自然數(shù),任意排列成 a1, a2 ,。a99 ,問(1-a1 )( 2-a2 ) (3-a3 )(99 - a99)是奇 數(shù)還是偶數(shù)？分

14、析：a1, a2,-o。ago是1, 2, 99的一個任意排列,雖然a1未必是1, a2未必是2,但它們的和是不變的：a1+a2+。+a 99=1+2+ ?+9則以讓同學(xué)們先猜測(1-a 1)(2-a 2)(3-a 3)(99 - a99)的奇偶性。容易猜出應(yīng)是偶數(shù)。下面用反證法說明。解：假設(shè)(1-a 1)(2-a 2) (3-a 3)(99 a99)是奇數(shù)，則(1-a 1)、(2-a 2)、(3-a 3)、(99 - a99)這99個數(shù)中不能有偶數(shù)，都是奇數(shù)，這99個奇數(shù)的和還是奇數(shù)。但是 (1-a 1)+(2-a2)+(3-a3)+(99 -a99)=(1+2+ +99 ) -(a 計a?

15、+。+a 99)=0是偶數(shù)。因此假設(shè)(1-a1)(2-a2)(3-a 3)(99- a99)是奇數(shù)不成立。即 (1-a 1) (2-a 2) (3-a 3)(99 -a99)是偶數(shù)。4 .把下圖中的圓圈涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？為什么分析：先假設(shè)每條線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，在這樣的假設(shè)下，采用兩種數(shù)紅圈數(shù)的方法數(shù)，得出的兩個結(jié)果不等，從而推出矛盾。否定原的假設(shè)。解：假設(shè)每條線上的紅圈都有奇數(shù)個，那么5條線上的紅圈數(shù)相加仍是奇數(shù)。但另一方面，5條線上的紅圈數(shù)加時，由于每一個紅圈都在兩條線上，因而都被計算了兩次，從而相加的總和應(yīng)當(dāng)是偶數(shù)。由于奇數(shù)工偶數(shù)，所以不可

16、能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。 5?有一串?dāng)?shù)，最前面的4個數(shù)依次是1 , 9, 8, 7，從第5個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前 面相鄰4個數(shù)和的個位 數(shù)字。問在這串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)2, 0, 0, 8這四個數(shù)嗎？分析：先按要求，寫出一些數(shù)分析：1、9、8、7、5、9、9、0、3、1、3、7、4、可以按要求無限地寫下去，因此這上述這些數(shù)按奇、偶分類，立刻就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即奇、 奇、偶、奇、 奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶、奇、奇、奇、奇、偶、 。解：根據(jù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，可以推出這些數(shù)有下列特點(diǎn)從第四個數(shù)開始，以后各數(shù)均按4個奇數(shù)、一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列著，而2, 0, 0

17、, 8是連續(xù)的4個偶數(shù)，所以數(shù)串中不會出現(xiàn)這4個數(shù)。6.27名小運(yùn)動員所穿衣服的號碼是1 , 2, 3,七26,27這二十七個自然數(shù)。問這些 小運(yùn)動員能否站成一個圓圈，使得任意相鄰 兩個運(yùn)動員號碼之和都是質(zhì)數(shù)？請說明理由。解：1 , 2, 3, 26,27這27個自然數(shù)中任意兩個奇數(shù)以及兩個偶數(shù)之和都是大于2的偶數(shù)，因而必是合數(shù)，所以要使任意相鄰兩個運(yùn)動員號碼之和都是質(zhì)數(shù)，運(yùn)動員必須奇偶相間地排成一圈。這表明號碼為奇數(shù)的運(yùn)動員與號碼為偶數(shù)的運(yùn)動員人數(shù)必須相等。因此運(yùn)動員總數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，而實(shí)際有27名運(yùn)動員，是奇數(shù)個。所以所要求的站法是不能辦到的。 7.有7只杯口向上的杯 子放在桌上，每次將其中4

18、只同時翻轉(zhuǎn)，使其杯口向下，問能否 經(jīng)過多次這樣的 翻轉(zhuǎn)后，使7只杯口全部向下？為什么？分析：用兩種方法數(shù)7只杯了被翻動的總次數(shù)。對每一個杯口向上的杯子，只要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次就能使杯口向下。要使7只杯子的杯口全部向下，一定要經(jīng)過7次奇數(shù)次的翻轉(zhuǎn)；同時由于每次只能動4只，故翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)應(yīng)為偶數(shù)。出現(xiàn)矛盾。解：要使7只杯子的杯口全部向下，每只杯子要翻奇數(shù)次，7個奇數(shù)的和仍是奇數(shù)；同時由于每次只能動4只，故翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)應(yīng)為4的倍數(shù)，故是偶數(shù)。奇數(shù)不可能等于偶 數(shù)，所以不可能 經(jīng)過多次這樣的翻轉(zhuǎn)后，使7只杯口全部向下。 &線段AB的兩個端點(diǎn)，一個標(biāo)以紅色，一個標(biāo)以藍(lán)色。在線段中間插入n個分點(diǎn)，每個分點(diǎn)

19、隨意標(biāo)上紅色或藍(lán)色，這樣分得n+1個不重疊的小線段。如果把兩端點(diǎn)顏色不同的線段叫標(biāo)準(zhǔn)線段，試證標(biāo)準(zhǔn)線段的個數(shù)是奇數(shù)。分析：當(dāng)線段AB中多插入一個點(diǎn)時，分析標(biāo)準(zhǔn)線段的個數(shù)的變化情況。解：當(dāng)在線段AB中插入第一個點(diǎn)時，無論紅色或藍(lán)色，標(biāo)準(zhǔn)線段只有一條。插入第二個點(diǎn)時有三種情況：(1)若插入的點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)線段中，則標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)不變(2)若插入的點(diǎn)不在標(biāo)準(zhǔn)線段中，即插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，但插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色相同，則標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)不變(3)若插入的點(diǎn)不在標(biāo)準(zhǔn)線段中，即插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，但插入點(diǎn)顏色與 線段端點(diǎn)顏色不相同，則標(biāo)準(zhǔn)線段增加2條。同樣每新插入一個點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)或不變或增加2條。由開始只有一條標(biāo)準(zhǔn)線段，再加若干個2仍然是奇數(shù)條。所以標(biāo)準(zhǔn)線段的個數(shù)是奇數(shù)。 9. 一個自然數(shù)自乘的結(jié)果是一個完全平方數(shù)。例如1, 4, 9, 36都是完全平方數(shù)。找出下列自然數(shù)11, 111 , 1111 ,