復(fù)變函數(shù)課件：2-1 解析函數(shù)的概念

1、1 1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念& 1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義& 2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義如果如果w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。zzfzzfz )()(lim000定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果極限如果極限 存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，記作記作0)( 0zzdzdwzf zzfzzfz

2、 )()(lim000(2)求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然數(shù)是自然數(shù)).證明證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z), ,g (z) 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(

3、10處處可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)外外）處處在在復(fù)復(fù)平平面面上上（除除分分母母為為導(dǎo)導(dǎo)；在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中，其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且(w) 0。)( 1)( wzf 例例2 問：函數(shù)問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？是否可導(dǎo)？!0, 020, 012lim0 不不時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxxyyixyixz.故故函函數(shù)數(shù)處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo))( 11)5()

4、(22zfzzzzf，求求已已知知 例例1解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解例例3 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導(dǎo)。處才可導(dǎo)。 時(shí)時(shí)不不時(shí)時(shí)0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明！不不時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0, 000, 01lim0yxxyyixxzA (1) (1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得在一

5、點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因?yàn)槎啵@是因?yàn)閦 z00是在平面區(qū)域上是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原因。以任意方式趨于零的原因。 (2) (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, , 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù)若若 w=f (z) 在點(diǎn)在點(diǎn) z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn)點(diǎn) z0 處連續(xù)處連續(xù).?2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱

6、可導(dǎo)，則稱f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 f (z)在在D內(nèi)解析，或稱內(nèi)解析，或稱f (z)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) (全全 純函數(shù)或正則函數(shù)）純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果如果f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0不解析，就稱不解析，就稱z0是是f (z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。A (1)w=f(z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析 在在D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。 (2)函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。解析。例如例如 w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)；上的解析函數(shù)；定理定

7、理 設(shè)設(shè)w=f (z)及及w=g(z)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，內(nèi)的解析函數(shù)，則則f (z)g(z)，f (z)g(z)及及f (z) g(z) (g (z)0時(shí)時(shí))均是均是D內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。 w=zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例見例3)。 w=1/z，除去，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；函數(shù)；定理定理 設(shè)設(shè)w=f (h)在在h 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域G內(nèi)解析，內(nèi)解析， h=g(z)在在z平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值集合的函數(shù)值集合 G，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) w=f g(z)在在