復變函數(shù)課件：2-1 解析函數(shù)的概念

1、1 1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念& 1. 復變函數(shù)的導數(shù)定義復變函數(shù)的導數(shù)定義& 2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 1. 復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)(1)導數(shù)定義導數(shù)定義如果如果w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)點點可導，則稱內(nèi)點點可導，則稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導。內(nèi)可導。zzfzzfz )()(lim000定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果極限如果極限 存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)f (z)在點在點z0處可導。處可導。稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導數(shù)，的導數(shù)，記作記作0)( 0zzdzdwzf zzfzzfz

2、 )()(lim000(2)求導公式與法則求導公式與法則 常數(shù)的導數(shù)常數(shù)的導數(shù)c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然數(shù)是自然數(shù)).證明證明 對于復平面上任意一點對于復平面上任意一點z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z), ,g (z) 均可導，則均可導，則 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(

3、10處處可可導導點點外外）處處在在復復平平面面上上（除除分分母母為為導導；在在整整個個復復平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù) f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函數(shù)的導數(shù)反函數(shù)的導數(shù) ，其中，其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且(w) 0。)( 1)( wzf 例例2 問：函數(shù)問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導？是否可導？!0, 020, 012lim0 不不時時當當時時當當yxxyyixyixz.故故函函數(shù)數(shù)處處處處不不可可導導)( 11)5()

4、(22zfzzzzf，求求已已知知 例例1解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解例例3 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導。處才可導。 時時不不時時0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明！不不時時當當時時當當 0, 000, 01lim0yxxyyixxzA (1) (1) 復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù)復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù) 在一點處可導要求高得多，也復雜得在一

5、點處可導要求高得多，也復雜得 多，這是因為多，這是因為z z00是在平面區(qū)域上是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原因。以任意方式趨于零的原因。 (2) (2) 在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)，在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)， 但處處不可導的例題是很困難的但處處不可導的例題是很困難的, , 但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導與連續(xù)可導與連續(xù)若若 w=f (z) 在點在點 z0 處可導處可導 w=f (z) 點點 z0 處連續(xù)處連續(xù).?2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個鄰域內(nèi)處處的某個鄰域內(nèi)處處 可導，則稱

6、可導，則稱f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱內(nèi)每一點都解析，則稱 f (z)在在D內(nèi)解析，或稱內(nèi)解析，或稱f (z)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) (全全 純函數(shù)或正則函數(shù)）純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果如果f (z)在點在點z0不解析，就稱不解析，就稱z0是是f (z)的的奇點奇點。A (1)w=f(z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析 在在D內(nèi)可導。內(nèi)可導。 (2)函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0點可導，未必在點可導，未必在z0解析。解析。例如例如 w=z2 在整個復平面處處可導，故是整個復平面在整個復平面處處可導，故是整個復平面 上的解析函數(shù)；上的解析函數(shù)；定理定

7、理 設(shè)設(shè)w=f (z)及及w=g(z)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，內(nèi)的解析函數(shù)，則則f (z)g(z)，f (z)g(z)及及f (z) g(z) (g (z)0時時)均是均是D內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。 w=zRez在整個復平面上處處不解析在整個復平面上處處不解析(見例見例3)。 w=1/z，除去，除去z=0點外，是整個復平面上的解析點外，是整個復平面上的解析函數(shù)；函數(shù)；定理定理 設(shè)設(shè)w=f (h)在在h 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域G內(nèi)解析，內(nèi)解析， h=g(z)在在z平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值集合的函數(shù)值集合 G，則復合函數(shù)，則復合函數(shù) w=f g(z)在在