凸顯核心提高初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性

1、凸顯核心 提高初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性【摘要】 概念是思維的細(xì)胞，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識教學(xué)首先要強(qiáng)化概念教學(xué).本文總結(jié)了新課標(biāo)理念下初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的常規(guī)方法與存在問題，論述了如何在概念教學(xué)中圍繞概念的核心、核心概念、概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，提高概念教學(xué)的有效性.【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)概念的核心 核心概念、數(shù)學(xué)思想方法 人民教育出版社章建躍博士認(rèn)為“理解數(shù)學(xué)的核心是對數(shù)學(xué)概念及其所反映的思想方法的理解”.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更是強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)首先要重視“概念及其所反映的思想方法的教學(xué)”.但是，以應(yīng)試教育為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)把解題方法作為教學(xué)核心，以各式各樣的練習(xí)題來彌補(bǔ)學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延及其表達(dá)形式在理解上

2、的缺失，以題海戰(zhàn)術(shù)代替學(xué)生對概念由來與發(fā)展的抽象與認(rèn)知，往往是在無關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費學(xué)生寶貴時間，學(xué)生做無數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱.不僅加重了學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量“雙低下”. 本文擬對概念教學(xué)中怎樣抓住核心概念與概念的核心展開教學(xué)，從而提高教學(xué)的有效性做一些探討.1 概念教學(xué)的共識與缺失章建躍博士認(rèn)為“概念是思維的細(xì)胞，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)”.從某種意義上講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用，就是進(jìn)行推理與判斷.學(xué)生概念不清就無法進(jìn)行推理、判斷.因此，學(xué)生對概念理解與應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點，也是重點.常見的概念教學(xué)程序是：從學(xué)生熟悉的事例或數(shù)學(xué)知識的新舊聯(lián)系中引入給出定義讓學(xué)生

3、舉例通過反例對概念進(jìn)行辨析通過各種練習(xí)讓學(xué)生把握概念的內(nèi)涵與外延。這五個步驟包括了概念的引入概念的形成概念的明確用符號表示概念概念的鞏固和應(yīng)用.但是，在課堂教學(xué)中老師們對這五個環(huán)節(jié)的把握并不到位.原因在于許多教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是學(xué)一些結(jié)論去解題.在這五個教學(xué)環(huán)節(jié)中，很多老師認(rèn)為，重心是，因為形成學(xué)生的解題能力，他們認(rèn)為只是形式，忽視它的教學(xué)價值，其實從，目的是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)概念的背景和來源，體驗和體會概念的形成過程，也就是認(rèn)識上的適應(yīng)，從而引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的新建構(gòu)，是學(xué)生完成認(rèn)知心理學(xué)上的“同化、順化或與平衡”的重要認(rèn)知過程。 一般教師在教學(xué)中常見的缺失有如下幾個：缺失1：將概念的定義直接告訴學(xué)生，

4、不重視概念的形成過程.例如：“三角形”概念的教學(xué)，直接給出并讓學(xué)生熟讀“由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形”，由于沒有實際問題的呈現(xiàn)，所以學(xué)生覺得沒有任何意義，因為不需要用這個定義去判定一個圖形是否三角形。如果要讓學(xué)生真正理解這一概念，應(yīng)該讓學(xué)生從“金字塔、飛機(jī)、建筑物”等許多“三角形”常見圖片中，找出其共性，抽象出“三角形”圖形.缺失2：不重視讓學(xué)生歸納事物的共性，在互相糾錯中讓學(xué)生給概念下定議.掌握概念就是掌握同類物的本質(zhì)屬性.怎樣才能讓學(xué)生“體會”本質(zhì)屬性？只有通過觀察、比較、分析、歸納等思維活動抽象概括出概念.這是概念教學(xué)的突破口，但教學(xué)中，老師們往往是展示情

5、境，讓學(xué)生漫天舉例，唯獨不重視引導(dǎo)學(xué)生自己抽象出概念.缺失3：不能圍繞概念的核心，在細(xì)枝末節(jié)上花費時間.例如：“二元一次方程組”概念教學(xué)中，讓學(xué)生判定是否二元一次方程組.缺失4：不重視組織學(xué)生在概念體系中學(xué)習(xí)概念.這里的體系，取決于新舊知識的不同關(guān)系，包括概念學(xué)習(xí)中的直線式與螺旋式.例如；對“0”的認(rèn)識，在小學(xué)“0表示沒有1表示有1個蘋果，2表示有2個蘋果，0表示沒有蘋果”，但在初中“0有了新的含意不再只是沒有，可以是溫度為0，也可以是海撥高度為0米”.只有讓學(xué)生了解概念的發(fā)展過程和前后聯(lián)系的方式，才能使學(xué)生真正掌握概念。強(qiáng)調(diào)概念的前后聯(lián)系，有利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)功能強(qiáng)大的概念體系.缺失5：在幾何

6、與圖形部分的概念教學(xué)中忽視“幾何直觀”.例如：梯形定義的教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生熟讀“一組對邊平行，且另一組對邊不平行”，但不重視讓學(xué)生先畫一個梯形與平行四邊形，去觀察比較，從而理解定義.缺失6：在統(tǒng)計與概率部分有關(guān)概念的教學(xué)中忽視“數(shù)據(jù)分析的理念”.如“平均數(shù)、概率”概念的教學(xué)僅停留在計算的層面，實際上計算并不是重點，重點是用這兩個概念去分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論.2 凸顯概念的核心，強(qiáng)化學(xué)生對概念本質(zhì)的理解恩格斯說：數(shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念也就是學(xué)習(xí)、掌握一類對象的關(guān)于空間形式與數(shù)量關(guān)系共同的關(guān)鍵屬性.這一關(guān)鍵屬性也就是概念的核心.影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的因素眾多，但最主要的

7、還是沒有圍繞概念的核心和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)，糾纏于繁瑣的細(xì)枝末節(jié)，簡單問題復(fù)雜化. 怎樣才能讓學(xué)生掌握概念的核心？無論是接受式的概念學(xué)習(xí)，還是發(fā)現(xiàn)探究式的概念學(xué)習(xí)，都強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)形象，在此基礎(chǔ)上通過問題串，揭示概念的核心屬性。但有些老師為概念的外延所迷惑，不能正確把握概念的核心.不能正確把握概念的核心就可能導(dǎo)致學(xué)生對概念理解的不完整或錯誤。 案例1： “函數(shù)”概念的核心“對應(yīng)”，不是變化，盡管我們強(qiáng)調(diào)“在某一過程中存在兩個變量x與y”，但關(guān)注的是“每給x一個值y都有唯一確定的一個值與之對應(yīng)”。由于沒有在教學(xué)中抓住核心，學(xué)生形成的“函數(shù)”概念，似乎就是“y=

8、關(guān)于的x式子(用x表示的式子)”。為什么會這樣？因為老師也沒有理解教材，理解函數(shù).且看人教版教材第11.1節(jié)。教材首先從5個具有實際背景的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生通過填表和列式表示問題中相關(guān)的量，認(rèn)識“常量與變量”，進(jìn)而通過“歸納”欄目總結(jié)出這些問題中變量間關(guān)系的共同特征，即問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量有唯一確定的對應(yīng)值。教科書又用心電圖，人口統(tǒng)計表等問題對這種變化與對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了強(qiáng)化.案例2： “隨機(jī)事件” 概念的核心 “是結(jié)果不確定”，而不是“不知道結(jié)果”。很多學(xué)生誤認(rèn)為“火星上有沒有人”是隨機(jī)事件?；鹦巧嫌袥]有人要么有，要么沒有，只是我不知道結(jié)果，這沒有任何

9、隨機(jī)性，叫末知事件，不是隨機(jī)事件。一個硬幣在沒有擲以前，判斷是正面向上還是反面向上是隨機(jī)事件，如果擲完了后用紙蓋住讓第三個人猜，這已不是隨機(jī)事件，因為它不是“結(jié)果不確定”，而是“結(jié)果已確定”而我不知道.3 凸出核心概念的教學(xué)，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)凸出核心概念，也就是正確區(qū)分、把握重要概念和次要概念.一節(jié)課可能涉及3到5個概念，不能平均使用教學(xué)時間，不能平均安排鞏固訓(xùn)練.一章內(nèi)容可能涉及20多個概念，哪些是同化性學(xué)習(xí)概念，哪些是形成性學(xué)習(xí)概念，哪個概念對全章是有指導(dǎo)作用，這是老師在備課標(biāo)與備教材時必須要明確的。因為確定概念的地位和作用，是為確定教學(xué)重點提供依據(jù)，綱舉目張.由于教學(xué)時間有限,為了

10、使學(xué)生集中精力掌握最基礎(chǔ)的知識,并形成一定的能力,教學(xué)時應(yīng)注意突出核心概念. 無知者無能，沒有扎實的基本概念，就不可能有分析問題解決問題的能力.案例3： 初一數(shù)學(xué)第一章“有理數(shù)”概念教學(xué)分析本章涉及的概念很多，如“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、乘方、近似數(shù)、科學(xué)記數(shù)法、有效數(shù)字、以及正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)、自然數(shù)、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、非負(fù)整數(shù)等近20個概念，教材編排體系是：先從實例出發(fā)引入負(fù)數(shù)，接著引進(jìn)有理數(shù)的一些概念，在此基礎(chǔ)上、介紹有理數(shù)的運算。因此本章主要內(nèi)容為有理數(shù)的有關(guān)概念及其運算，既承接小學(xué)又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。這一章的核心概念主要有以下幾個：負(fù)數(shù)是實際的需要，更是

11、學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)與需要；溫度、增長率、足球比賽中的輸贏、個人財務(wù)中的收入與支出等這些學(xué)生熟悉的事情，都是成功的負(fù)數(shù)模型，因此學(xué)生并不難理解“負(fù)數(shù)”。難點是負(fù)數(shù)相關(guān)的加減是建立在絕對值的基礎(chǔ)上，半數(shù)以上學(xué)生出現(xiàn)思維不順，如經(jīng)常發(fā)生， 等錯誤；數(shù)軸不僅可以把有理數(shù)用數(shù)軸上的一個點直觀的表示出來，更重要的是可以借助數(shù)軸直觀的向?qū)W生介紹“相反數(shù)、絕對值”等概念，可以借助數(shù)軸讓學(xué)生理解加法法則與乘法法則；相反數(shù)表面上看是為了表示相反意義的量，加深學(xué)生對生活中相反意義量的認(rèn)識，但更多的是為學(xué)習(xí)絕對值、有理數(shù)減法做準(zhǔn)備.絕對值個有理數(shù)由符號與絕對值兩部分確定，因此，兩個負(fù)數(shù)比較大小，有理數(shù)運

12、算都要借助絕對值.各種練習(xí)冊對本章練習(xí)題的安排力量分散，各個概念都有涉及到，但核心概念的訓(xùn)練不突出，沒有針對性，因而導(dǎo)致看似簡單的有理數(shù)運算總是出現(xiàn)一些低級錯誤，老師認(rèn)為是學(xué)生不夠熟練，實質(zhì)是核心概念理解不到位，所以這一章應(yīng)該主要圍繞這幾個核心概念進(jìn)行訓(xùn)練.4 在概念教學(xué)的過程中凸顯核心思想方法20世紀(jì)最具影響的數(shù)學(xué)教育家費賴登塔爾（荷蘭）認(rèn)為“數(shù)學(xué)中最重要的成份始終是思想方法，而這確實是人類共同的思想源泉，即使作家或藝術(shù)家們也可以從中吸取營養(yǎng)”.中國教育古訓(xùn)亦云（老子）“授人以魚，不如授人以漁”。 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)僅僅是單純的知識傳授，更應(yīng)注意對其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的提練和總結(jié)，使之逐

13、步被學(xué)生掌握并對他們發(fā)揮指導(dǎo)作用，能更好的理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).其實，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“數(shù)學(xué)為其它科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)的基礎(chǔ)”。通過數(shù)學(xué)教育，使學(xué)生能夠獲得“適應(yīng)末來社會和進(jìn)一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識以及基本數(shù)學(xué)思想方法和必須的應(yīng)用技能”。這些都顯示了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性.同時，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，能幫助學(xué)生更好的理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.因為，數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)概念、知識等屬于上下位關(guān)系，學(xué)生了解了一些思想方法后，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的知識，就屬于下位學(xué)習(xí)有利于鞏固新的知識點，具有足夠的穩(wěn)定性（數(shù)學(xué)心理學(xué)意義）.因此，在概念教學(xué)的過程中凸顯核思想方法尤為重

14、要.一堂課新就新在思維過程上，高就高在思想性上。有思想深度的課，給學(xué)生留下長久的心靈激蕩和對知識的深刻理解，以后即使具體的知識忘記了，但數(shù)學(xué)的思考問題的方法將長存。在概念教學(xué)中、在雙基培養(yǎng)中，應(yīng)該有意識的凸顯核心思想方法。對課堂教學(xué)進(jìn)行精心設(shè)計，通過一定的形式，如教學(xué)情境、教師講解，學(xué)生探究，變式訓(xùn)練等，把凝結(jié)在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動“打開、解構(gòu)”.初中數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的核心的思想方法如：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再借助方程、或不等式等解決的模型化（數(shù)學(xué)建模）思想；數(shù)與式部分的各種運算律，都是從特殊對象歸納出一般規(guī)律的思想；利用數(shù)軸研究有理數(shù)的概念與運

15、算律的數(shù)形結(jié)合思想；解一元一次方程、解二元一次方程組中用的是化歸思想與程式化思想，函數(shù)思想等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們應(yīng)自覺地發(fā)現(xiàn)、挖掘、反思由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所反應(yīng)出來的數(shù)學(xué)思想方法.案例4：閱讀下列材料:解不等式，根據(jù)“兩數(shù)相乘，同號得正”，得或，分別解這兩個不等式組，得，即不等式的解集為. 仿照上述解題過程，解下面兩題：（1） （2）不等式的本質(zhì)是對數(shù)據(jù)符號的判斷從而得出數(shù)據(jù)出現(xiàn)的范圍，這是一道仿照深圳中考試題所出的考察學(xué)生提煉總結(jié)運用數(shù)學(xué)思想方法去解決再上一層次問題的題目，即運用初中所掌握的不等式組來解決高中一元二次不等式問題。本題中，如果教師在不等式組的教學(xué)中，給學(xué)生提煉過即為或；與是等

16、價的這一思想，則此題十分易解，如果平時教師對于數(shù)學(xué)思想方法一點都不進(jìn)行滲透，只是就知識而教知識，就問題而解問題，則學(xué)生對此類問題常覺得無從下手.案例5 ：基于“分式”概念所蘊(yùn)涵的核心思想方法的教學(xué)設(shè)計與思考（初二第16.1）教材分析：本節(jié)突出的數(shù)學(xué)思想是類比思想.分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系，即相對于分式而言分?jǐn)?shù)就是具體的、特殊的基礎(chǔ)對象.分式是把具體的分?jǐn)?shù)一般化后的抽象代表，根據(jù)這種關(guān)系，分式的基本性質(zhì)、約分與通分等應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分與通分等相對應(yīng)，即兩者具有一致性，這也可以說是數(shù)式通性.“從具體到抽象，從特殊到一般”，是人們認(rèn)識事物往往經(jīng)歷的過程，因此，教學(xué)中應(yīng)重

17、視分?jǐn)?shù)與分式的聯(lián)系，考慮到學(xué)生對分?jǐn)?shù)已有一定認(rèn)識的基礎(chǔ)，要發(fā)揮這樣的認(rèn)識基礎(chǔ)的作用，通過分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識分式，溫故而知新，完成知識的深化。這將有助于理解和記憶所學(xué)的分式內(nèi)容。同時，還應(yīng)充分發(fā)揮知識之間正向遷移的積極作用，對于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)方法也會起到引導(dǎo)作用.為了更好地滲透數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時應(yīng)充分展示“觀察、思考”的認(rèn)識過程，引導(dǎo)學(xué)生充分利用課程資源“思考”數(shù)學(xué)，在“思”中觀察、探索、猜想、推理、交流，真正理解、掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和思想方法，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展思維，形成能力.因此，類比著分?jǐn)?shù)的概念讓學(xué)生學(xué)習(xí)分式的概念，類比著分?jǐn)?shù)的性質(zhì)探討分式的性質(zhì)，類比著分?jǐn)?shù)的約

18、分、通分介紹分式的通分、約分。是本節(jié)教學(xué)的基本指導(dǎo)思想.教學(xué)設(shè)計與思考片段：【問題情境導(dǎo)入】：學(xué)習(xí)過整式,但在研究許多問題時會用到整式以外的式子,看下面的問題:一艘輪船在靜水中的最大速度是20千米時,它沿江以最大船速順流航行100千米所用時間,與以最大行速逆流航行60千米所用時間相等,江水的流速是多少?師生共同分析列式子：設(shè)江水的流速為v千米時, 輪船順流航行100千米所用時間:小時, 逆流航行60千米所用時間:.【學(xué)生活動】：同桌互助列式子:長方形的面積是10,長為7cm,寬為 ; 長方形的面積是S,長為acm,寬為 ;把體積為200的水倒入底面積為33的圓柱形容器中,水面高度是 : 把體積

19、為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中,水面高度是 : 【觀察思考】: 10÷7寫成的形式, S÷a, V÷S可以寫成什么樣的形式?學(xué)生對比列出:并且思考, 的相同點和不同點? 像這樣分母中含有字母的式子屬于分式設(shè)計意圖：觀察”是對兩個思考的承上啟下。承接前一個思考的結(jié)果進(jìn)行深化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式的特征，得出來分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性.過渡到對分式的分母的條件的思考.“觀察”有三個目的：作為前面思考中知識的深化；為歸納定義提供鋪墊為后一個思考做鋪墊.在教學(xué)時，要組織學(xué)生比較四個分式的共同點，與分?jǐn)?shù)的相同點和不同點.通過學(xué)生獨立觀察，合作交流來完成教學(xué)時，教師預(yù)先在多媒

20、體課件上設(shè)計好所觀察的幾個分式，要從簡到繁，如：.引導(dǎo)學(xué)生觀察幾個式子的共同點，以及他們與分?jǐn)?shù)的不同點，領(lǐng)會分式的意義。【學(xué)生充分討論后發(fā)言】,師生共同得出分式的概念: 一般地,如果整式A, B表示兩個整式并且B中含有字母,那么式子叫做分式. 分式中,A叫做分子,B叫做分母.設(shè)計意圖： 從分?jǐn)?shù)到分式 以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景，聯(lián)系學(xué)習(xí)過的常見的公式由數(shù)到字母的認(rèn)識，抽象出分式的概念，體會分式是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式. 借助對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識學(xué)習(xí)分式的內(nèi)容，是一種類比的認(rèn)識方法。5.判斷下列式子哪些是整式,哪些是分式?5x-7 3-1 -5設(shè)計意圖：讓學(xué)生對整式分式有統(tǒng)一的認(rèn)識，盡

21、快將分式概念容進(jìn)學(xué)生的舊的認(rèn)知體系中?！編熒餐懻摗?我們知道:除數(shù)不能為0,那么分式中的分母應(yīng)該滿足什么條件?通過學(xué)生思考、討論等活動,讓學(xué)生充分認(rèn)識到分式的一大要求:分母不能為0.師生共同歸納:分式的分母表示除數(shù).由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即,當(dāng)B0時,分式才能有意義.否則,無意義.【針對練習(xí)】: 1.當(dāng)x取什么值時，下列分式有意義？ (1) (2) (3) 設(shè)計意圖：明確分式中分母的條件.通過與分?jǐn)?shù)的類比，得到分式的分母B0時分式才有意義.通過比較、練習(xí)感受分式有意義的條件.經(jīng)過兩個思考活動，引導(dǎo)學(xué)生感受到分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，認(rèn)識到分式的一般性：分子與分母是整式，且分母不為0.思考活動是對分式的定義與分式有意義的條件的認(rèn)識.教學(xué)時要注意由淺入深、由數(shù)到字母、循序漸進(jìn)的過渡過程，不能操之過急.注