北師大版七年級下冊數(shù)學[簡單的軸對稱及利用軸對稱進行設計(提高)—知識點整理及重點題型梳理]

1、精品文檔用心整理北師大版七年級下冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習簡單的軸對稱及利用軸對稱進行設計（提高）知識講解【學習目標】1. 理解軸對稱變換，能按要求作出簡單平面圖形經軸對稱后的圖形；能利用軸對稱變換，設計一些圖案，解決簡單的實際問題.2. 探索等腰三角形的性質定理以及判定定理，能熟練運用它們進行推理和計算3. 會作線段的垂直平分線和角的平分線，探索線段垂直平分線和角平分線的性質定理與判定定理，能用它們解決幾何計算與證明題.4積累探究圖形性質的活動經驗，發(fā)展空間觀念，同時能運用軸對稱的性質，解決簡單的數(shù)學問題或實際問題，提高分析問題和解決問題的能力【要點梳理】要點一、作軸對稱圖

2、形和對稱軸1. 做軸對稱圖形可以根據兩個圖形成軸對稱的性質，先確定圖形關鍵點關于已知直線的對稱點，然后依順序連接點即可得已知圖形關系直線的對稱圖形.要點詮釋：已知一點和直線確定其對稱點的作法如下：過這一點作已知直線的垂線，得垂線段，再以垂足為起點，在直線的另一旁截取一點，使這條線段的長與垂線段等長，截取的這點就是已知點關于直線的對稱點.2. 對稱軸的作法若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線因此只要找到一對對應點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸軸對稱圖形的對稱軸作法相同要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應線段、對應角相等.

3、 成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上. 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.要點二、等腰三角形的性質及判定1. 等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”） 性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一” ） 要點詮釋：（ 1）性質1 證明同一個三角形中的兩角相等. 是證明角相等的一個重要依據（ 2）性質2 用來證明線段相等，角相等，垂直關系等（ 3）等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸，等邊三角

4、形有三條對稱軸2. 等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱 “等角對等邊”） .要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據. 等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.要點三、線段垂直平分線性質定理及其逆定理線段垂直平分線（也稱中垂線）的性質定理是：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；逆定理： 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上要點詮釋：性質定理的前提條件是線段已經有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理則是在結論中確定線段被垂直平分，一定要注意著

5、兩者的區(qū)別，在使用這兩個定理時不要混淆了.要點四、角平分線性質定理及其逆定理角平分線性質定理是：角平分線上的任意一點，到角兩邊的距離相等；逆定理：在角的內部到角兩邊的距離相等的點在角平分線上.要點詮釋：性質定理的前提條件是已經有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個定理時不要混淆了.要點五、利用軸對稱性質進行簡單設計欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，能利用軸對稱進行一些圖案設計，體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用和豐富的文化價值，感受生活中的數(shù)學美.【典型例題】類型一、作軸對稱圖形及對稱軸1 、公園內有一塊三角形空地（如圖），現(xiàn)要將它分割成三塊，

6、種植三種不同的花卉，為了美觀，要求每塊都要是軸對稱圖形，請你在右圖中畫出分割線，保留必要的畫圖痕跡【思路點撥】根據等腰三角形是軸對稱圖形，作任意兩邊的垂直平分線，找出ABC 的外心P，然后連接PA、 PB、 PC，把三角形分成三塊等腰三角形【答案與解析】解：如圖，分別作AB 、 BC 的垂直平分線，相交于點P，則點 P 是 ABC 的外心，沿PA、 PB、 PC 進行分割，得到的 PAB、 PBC、 PAC 都是等腰三角形，都是軸對稱圖形【總結升華】本題考查了利用軸對稱設計圖案的知識，根據等腰三角形是軸對稱圖形的特點，分割后得到等腰三角形，是作三角形的外心的關鍵，也是本題的突破口舉一反三：【變

7、式】如圖所示，由小正方形組成的“7”字形圖中，請你用三種方法分別在圖中添畫一個小正方形使它成為軸對稱圖形2、（ 2015 秋 ?蓬江區(qū)期末）如圖， 在 ABC 中， AB=AC ， 點 D、 E、 F 分別在 AB 、 BC、AC 邊上，且BE=CF ， BD=CE （ 1 ）求證： DEF 是等腰三角形；（ 2）當A=40 °時，求DEF 的度數(shù)【思路點撥】（ 1）由AB=AC ， ABC= ACB ， BE=CF， BD=CE 利用邊角邊定理證明 DBE CEF，然后即可求證 DEF 是等腰三角形( 2)根據A=40°可求出ABC= ACB=70 °根據 DB

8、E CEF，利用三角形內角和定理即可求出DEF 的度數(shù)【答案與解析】證明：AB=AC ， ABC= ACB ，在 DBE 和 CEF 中，DBE CEF， DE=EF ， DEF 是等腰三角形；2) DBE CEF，1= 3，2= 4，A+ B+ C=180°，B= ( 180° 40°) =701+ 2=110°3+ 2=110°DEF=70 °【總結升華】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質的理解和掌握，此題主要應用了三角形內角和定理和平角是180°，因此有一定的難度，屬于中檔題舉一反三：【變式】已知，如圖，AD為A

9、BC的內角平分線，且AD AB， CM AD于 M.1求證：AM(AB AC) 證明：延長AM至點E，使ME AM，連結CE. AM ME,CM AE, AC CE. E CAM . AD平分BAC, CAM BAM .EBAM. AB CE.BBCE. AB AD ,BADB.又 CDE ADB, CDE BCE. DE CE. 2AM AE AD DE AB AC .1 AM AB AC類型三、線段垂直平分線性質定理及其逆定理3、如圖，在等腰ABC 中，BAC=12°，0DE是 AC的垂直平分線，線段DE=1cm，求BD的長【思路點撥】連接AD，根據等腰三角形的兩底角相等求出B=

10、 C=30°，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=CD，然后求出CAD=3°，再求出0 BAD=90°，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD=2DE， BD=2AD，代入數(shù)據進行計算即可得解【答案與解析】B= C=30°， DE是 AC的垂直平分線， AD=C，DCAD= C=30°，BAD= BACCAD=12°0 30° =90°，在 Rt CDE中，CD=2DE，在 Rt ABD中，BD=2AD， BD=4D，E DE=1cm， BD的長為4cm故答案為：4cm【

11、總結升華】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵舉一反三【變式】 （ 2016?安徽模擬）如圖，等腰 ABC 中， AB=AC=8 ， BC=5， AB 的垂直平分線DE 交 AB 于點D，交AC 于點E，則 BEC 的周長為（）A 13 B 14 C 15 D 16【答案】A解： DE 是 AB 的垂直平分線， AE=BE ， BEC 周長 =BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC腰長 AB=8 ， AC=AB=8 ， BEC 周長 =8+5=13 4、如圖，已知

12、AB=AD， BC=DC， BD交 AC于點O，請分別說明下列判斷成立的理由：（ 1 ）ABCADC；（ 2） AC是線段BD的垂直平分線【思路點撥】（ 1）再加上公共邊AC，即可利用SSS證明；（ 2）由（1）中的結論可判斷出點A、 C均在BD的垂直平分線上【答案與解析】證明： （ 1 ）AB=AD， BC=DC， AC=AC，ABCADC（ 2）ABCADC， AB=AD， BC=CD點A、 C在線段BD的垂直平分線上 AC是線段BD的垂直平分線【總結升華】注意兩個三角形中的公共邊通常是證兩個三角形全等隱含的條件需注意與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，但兩點確定一條直

13、線舉一反三【變式】用圓規(guī)和直尺作圖，在DEC 中找一點P，使點P到DEC兩邊的距離相等，并且到 M、 N 兩點的距離也相等（保留作圖痕跡）類型四、角平分線性質定理及其逆定理5、已知：如圖，CDAB 于D，BEAC 于E，BE、CD相交于點O，且AO平分BAC，求證：OB=OC證明： AO 平分BAC， OB=O（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）上述解答不正確，請你寫出正確解答 C【思路點撥】由角平分線的性質可得OD=O，然后證明EDOB EOC，可得證OB=OC【答案與解析】證明： AO 平分BAC， CD AB， BE AC， OD=O， E在DOB和EOC中， DOB= EOC， OD=

14、O，E ODB= OEC，DOBEOC（ ASA） ，OB=O C【總結升華】此題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定和性質，注意點到直線的距離是垂線段的長舉一反三【變式】如圖，ABC 中，AB=AC， AD是角平分線，DE AB， DF AC， E、 F 為垂足，對于結論：DE=D；F BD=C；D AD 上任一點到AB、 AC的距離相等；AD 上任一點到B、 C的距離相等其中正確的是（）C僅D6、如圖所示，已知ABC 中，F(xiàn) 點到直線AE、 AD、 BC的距離都相等資料來源于網絡僅供免費交流使用求證： F 點在DAE、CBD、BCE 的平分線上【思路點撥】連接AF，由已知可知GF=FM， 已知AF=AF，則利用 HL來判定RtAGFRtAMF從而可得到FAG=FAM，同理可得到FCG=FCH，F(xiàn)BH=FBM，即F 點在DAE、CBD、 BCE的平分線上【答案與解析】證明：如圖所示，連接AFF點到直線AE、 AD的距離相等，即 FG=FM，AGF和AMF為直角三角形在 Rt AGF和 Rt AMF中， FG=FM， AF=AF， Rt AGF Rt AMFFAG= FAM同理可證Rt FGC Rt FHC，Rt FHB Rt FMB，F(xiàn)CG= FCH，F(xiàn)BH= FBM，F(xiàn) 點在 DAE，CBD，BCE 的平分線上【總結升華】此題主要考查學生對