完整word版八年級下冊數學 二次根式知識點整理

1、 二次根式叫做x的平方等于xa，那么這個正數1、 算術平方根的定義：一般地，如果一個正數 的算術平方根。a同一個負數，不等號方向改變。(除以)2、 解不等式（組）：尤其注意當不等式兩邊乘 。不等式組的解集是兩個不等式解集的-2，不等式兩邊同除以如：-2x4-2得x 的解集為-2x5。 -2 X 公共部分。如5 X 3、 分式有意義的條件：分母0 4、 絕對值：a=a （a0）；a= - a （a0） 一、 二次根式的概念 一般地，我們把形如a （a0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號。 正確理解二次根式的概念，要把握以下五點： （1） 二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有二次根號“

2、”，“ ”的根指數22 5 。 ”。如5 可以寫作”為2，即“ ，我們一般省略根指數2，寫作“ 二次根式中的被開方數既可以是一個數，也可以是一個含有字母的式子。（2） 有意a a0是0，因此a，a 0。其中子（3） 式a 表示非負數a的算術平方根 義的前提條件。 這一隱含條件。a0）（4 在具體問題中，如果已知二次根式a ，就意味著給出了 是分是相乘的關系。要注意當b0）的式子也是二次根式，b與a 如（5） 形ba （a2882 2 ?？蓪懗?，但不能寫成2 數時不能寫成帶分數，例如 2 333 2 +1 ；x）-18 ； （3）26 練習：一、判斷下列各式，哪些是二次根式？（1）； （132

3、 ）- x1+2x 7 x36 +2x+1 ）（；）（4-8 5x；（）；（）（ 2 1 取什么實數時，下列各式有意義？二、當x2+4x+1 ）2（14x）2-5x ； （ 二、二次根式的性質：性的二次根式 質符號語言 文字語言 應用與拓展 注意0）的（aa 性質a 0 （a0）負個非一術算數的是根平方 非負數。，0（1）二次根式的非負性（a b-3 0）應用較多，如：a+1 +a=0，則a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，則x的取值范圍是x-a0，a-x0，解得x=a。 20a；（2）具有非負性的性質：a0；a 0（a0）。 2+b+c =0，則a=0（3）

4、若a，b=0，c=0，即若幾個非負數的和等于0，則這幾個非負數分別等于0。 的最0）a （a 。小值為02（a ）a0）的性質 2 （a ）= a）（a0 一個非負數的算術平方根的平方等于它本身。 2 2+1 m）=5；（正用公式：（5 ）22=m+1；逆用公式：若a0，則a=11 222）（），=a）如：2=（2（22逆用公式可以在實數范圍內分解因式，如222 5 ）-（a-5=a=(a+5 )(a-5 ) 2 的性質a 2a =a=a（a0） 或= 2aa = ）a- a（0的一個數的算平方方根術平這等個于絕數的對 值。2) （1）正用公式：（3-（ 2）逆用=3-=3-112 =3 =&

5、#215;3公式：3332a化簡形如 的式 子時，先轉化為a形式，再根據的符號去掉絕對a值號。 32 2 2) -6 (3) （ ）3 (2) （4）（練習：計算（1）51222-6x+9 （1x6（- 4（）x-2x+1 + x3） - （）822 的區(qū)別與聯(lián)系：a0aa （）（）與 2 2 （a ）2 a 區(qū) 別 表示的意義不同 a的算術平方根的非負數表示 平方2 表示a的算術平方根取值范圍不同 a0 a為任意實數讀法不同 讀作“根號a的平方”或“a的算術平方根的平方” 2的平方aa”或“讀作“根號 的算術平方根”被開方數不同 a 被開方數是2被開方數是a 運算順序不同 先開放后平方先平方

6、后開方 運算結果，運算 依據不同2 ，依據平方與開平（a ）=a 方互為逆運算得到 依據算術平方根的定義得到 作用不同2 0），正向運用可）（a （ = aa逆向運用可以將任意化簡二次根式，一個非負數寫成一個數的平方的形 式2，正向運用可以將根號aa =內的非負因式取算術平方根移到根號外，逆用運用可以將根號外的非 負因式平方后移到根號內系聯(lián) 含有兩種相同的運算，都要進行平方與開方22 ）=aa 時，結果都是非負數；a0（ 三、代數式把數或表示數的字母連用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）s3 接起來的式子叫代數式，0t（都是代數式x -ab，）（，x+y，。例：3x3x x

7、0， t ）單獨一個數或字母也是代數式；1注（等）代數式中不能含有關系符號（，（2= 等）連接起來的式子叫關系式，方程和不將）1（ 兩個代數式用關系符號（，= 3x-5是關系式。2x+3等式都是關系式。如 x-22，其中；2a+3b； ；2+x=4；0練習：下列式子：12-x (x2) 3 ） 是代數式的有（ 3 列代數式的常用方法： （1） 直接法：根據問題的語言敘述直接寫出代數式。 （2） 公式法：根據公式列出代數式。 （3） 探究規(guī)律法：將蘊含在一組數或一組圖形中的排列規(guī)律用代數式表示出來。 練習：列代數式 5本，還余3本，則學生人數為（ ）a（1）把本書平均分給若干名學生，若每人分 ）

8、5倍，則這兩個圓的周長之和為（ B（2）若圓A的半徑r是圓的半徑的 典型例題剖析 題型一：二次根式有意義的條件 當x取何值時，下列各式在實數范圍內有意義？2x-13+x ）1（）（x+5-3-2x； 23）x-3+； 1-x 題型二：利用二次根式的非負性化簡求值2 的值。，求+b-2=4a-4已知aab 題型三：二次根式非負性的簡單應用 的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（） ，已知實數xy，滿足x-4+y-8=0則以x，y2 a題型四：利用a并結合數軸化簡求值 = 在數軸上的位置如圖所示。已知實數a，b 22222 +（b-1）-（試化簡：aa-1+b+（）a-b2 與三角形三邊關系的綜合應用

9、題型五：aa =2 ）-2c-a-b是三角形的三邊長，化簡ABC在中，a，b，c（a-b+c2 0）在實數范圍內分解因式a 題型六：逆用（）（ = aa244+4 2 x1在實數范圍內分解因式：（）-4；（）-4xx 4 二次根式的乘除單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個1、 單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。單項式與單項式相除，把系數與同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在、 2 被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 二次根式的乘法法則 一、 ）即：二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變a b =ab （a0，b0 均為非

10、負數這一條件。）（1 進行二次根式的乘法運算時，一定不能忽略其被開方數a，bbd （2） 推a 廣cb 0abc c =（a0，b，c0）b ad =ac 乘法交換律和結合律在二次根式的乘法中任然可應用。11 練習：（1）28 7 ；（2（）4xy -2 (4)627 3 （256 ；3y4 二、二次根式乘法法則的逆用 b0，0）即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積aab =a b （將被開方數進利用這個性質可以把二次根式化簡，在進行二次根式的化簡運算時，先 。再將能開得盡方的因式或因數開方后移到根號外，然后行因式分解或因數分解，實際上，0b1注：（）公式中的a，可以是數，也可以是代

11、數式，但必須滿足a，b0 （-4）×（）-9如的，公式中的ab是限制公式右邊對公式的左邊，只要ab0即可， ）在本章中如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數。（2-9 -4 0），d0，（推廣：abcd =a b c d a0b0c -14）300 （ 1）； （2（）×（-112）； 練習：化簡2345422 ；）（3200abc 5+32x）16x ；134（）-12 （ 三、二次根式的除法法則aa （a0， =b0）即：二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變。 bb 5 a，0都是負數，雖然 aa注：（1）必須是非負數，b必須是正數，式子才成立。若，b baa 無意

12、義。在實數范圍內無意義；若b=0，則 有意義，但a ，b bb171，以 ，應（2）如果被開方數是帶分數先將其化成假分數 ，如必須先化成44411 免出現(xiàn) 4 =4 這樣的錯誤。×44不含3（）在二次根式的計算中，最后結果應不含能開得盡方的因數或因式，同時分母中 二次根式。 n0。mb a ）÷（n）=（m÷n）×（a ÷b ），其中a0，b0，推廣：（33 ）； 練習：計算（1）48 ÷6 ； （2）-27 ÷（ 8102b 72aaa3 ）4a b ÷（；- （4 （3） 4b4b6b 四、二次根式除法法則的逆

13、用a a） = （a00，b 商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。即bb 。公式中的00b，可以是數，也可以是代數式，但必須滿足a，b注：公式中的a-3a，不能寫為 限制公式右邊，ab是的，對公式的左邊，只要0即可。例如計算 -4b3 -33 -3-3 3 。 =，而應寫為 = = =2-4-444 -4 （或分式）同樣可以達到化簡二次根式的目的，在化簡被開方數是分數利用這個公式，a 的二次根式時，先將其化為 （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性質，分b 子和分母同乘上一個適當的因式，化去分母中的根號即可。當被開方數是帶分數時，應先把它化成假分數。 6 5121b1

14、25481× ； （2（）3） ；練習：化簡（1 ） 5216a1449 五、最簡二次根式的概念 滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。 ）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。）被開方數不含分母；（2（1 對于最簡二次根式的概念我們可作如下解釋： ）被開方數中不含分母，因此被開方數是整數或整式；1（ 1。指數都是（2）被開方數中每一個因數或因式的 化簡二次根式的一般方法 方法 舉例將被開方數中能開得盡方 的因數或因式進行開方24423xx=xyyxy=x 2，2 =28 =4×化去根號下的 分母若被開方數中含有帶分數，應先將帶 分數化成假分數244×34

15、123144×3 3 =1=或=1=333333×3333×3若被開方數中含有小數，應先將小數 化成分數3103909999×=10 10或0.9=0.9=10010101010101010×被開方數是多項式的要先 進行因式分解4224253422222）+y=（=xx（+yX+2xxy+xy=（xx+2xy）+yx ）練習：下列二次根式中哪些是最簡二次根式？哪些不是？若不是，請說明理由。 yx 22 3222；（4） ；（5）a+6a+9a ； （6）23 ；）（；0.3 ）（1 2 xy （）（x-y）；（7）32n ；（8） x335拓展

16、：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號的方法來進行，這種化去分母中根號的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式），化去分母中的根號。分母有理化因式不唯一，但以運算最簡便為宜。常用的有理化因式有：a與a；a+b與a+b；a-b與a-b；a+b與a-b；ab+cd與ab-cd等。 72b ）（1；）（1.252；）（練習：把下列二次根式化成最簡二次根式：1240（）；3475a20 7 典型例題剖析 題型一：二次根式乘除法法則成立的條件 ）x+3

17、）成立，則（ x-3=（x+3）（）（1 x-3若 、-3x3 Dx為任意實數A、x3 B、x-3 Cxx ）如果= （2）成立，那么（x-6x-66 、xx0 D、0A、x6 B、x6 C 題型二：二次根式的化簡39a2224 化簡：（1）12ab+x）；（ （2）41-403；x 4 題型三：二次根式的乘法混合運算22a-b-baa412 ）×÷（；（2）×（2÷3282-52）計算：（1b6a7253a+6b 題型四：利用二次根式的性質把根號外的非負因數（式）移到根號內 把下列各式中根號外的因數（式）移到根號內：y113 ，y0-a）- ；5（）x

18、0（x；（1）52；（）-32）（3-2a；（）4x2a5a 題型五：二次根式的大小比較）-211與-35 2與3（11； 2（比較大?。?7）二次根式的加減 1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，例如3ab與-4ab 2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數和，且字母部分不變。 3、整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。 22222 ±2ab+bba=aa-b）（4、平方差公式：a+b（）-b完全平方公式（±）=a5、多項式與多項式相乘，

19、先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得 8 =am+an+bm+bn ）的積相加，即（a+b）（m+n 一、可以合并的二次根式 將二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數相同，則這樣的二次根式可以合并。，括號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變合并的方法與合并同類項類似，把a 合并的依據是乘法分配律，如m+nm）a+na=（ 練習：化簡下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。3127112a b）；0，b0227；（）- ）（；3；）4；（）5（a（1） 327aa3b53232（a0，b0）；）b（a0，0）； （8 7243（6）2； （3）abab9 二、二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。 二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下： （1）將各個二次根式化成最簡二次根式；（2）找出化簡后被開方數相同的二次根式；（3）合并被開方數相同的二次根式將系數相加仍作為系數，根指數與被開方數保持不變，可簡記為：化簡判斷合并。 二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下： 運算 二次根式的乘除法 二次根式的加減法 系數 系數相乘除系數