分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

1、函數(shù)的概念和性質(zhì)考點(diǎn) 分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi) , 有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù) 它是一個(gè)函數(shù) , 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù) ; 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并 集 , 其值域也是各段函數(shù)值域的并集 . 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知 識(shí)的程度的考察上有較好的作用 , 時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng) , 本文就幾種具體的題 型做了一些思考 , 解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域2x 2 x 1,0;例 1求函數(shù) f(x)12 x x (0, 2); 的定義域、值域3 x 2, );2求分段函數(shù)的函數(shù)值例 2已知函數(shù) f(x)|x 1|11 x22,(

2、|x| 1)(|x| 1)求 ff(12) .3求分段函數(shù)的最值例 3求函數(shù) f(x)2x2(1x0)A.f(x)2x2(0x2)2x2(1x0)B.f(x)2x2(0x2)2x2(1x2)C.f(x)x21(2x4)f (x)2x6(1x2)D.x23(2x4)例 4 在同一平面直角坐標(biāo)系中 , 函數(shù) y 稱, 現(xiàn)將 y g(x)的圖象沿 x 軸向左平移 的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值 .x 5 (x 1)4求分段函數(shù)的解析式f (x) 和 y g( x)的圖象關(guān)于直線 y x對(duì)2 個(gè)單位 , 再沿 y 軸向上平移 1 個(gè)單位 ,

3、所得, 則函數(shù) f(x) 的表達(dá)式為( )5作分段函數(shù)的圖像例 5函數(shù) y e|ln x| | x 1|的圖像大致是( )x6求分段函數(shù)得反函數(shù)0時(shí), f(x) 3x 1, 設(shè) f (x)例6已知 y f(x)是定義在 R上的奇函數(shù) , 且當(dāng) x的反函數(shù)為 y g(x), 求g(x)的表達(dá)式 .7判斷分段函數(shù)的奇偶性x2(x 1) (x 0)例 7判斷函數(shù) f(x) 的奇偶性 .x2(x 1)(x 0)8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例 8判斷函數(shù) f(x)0) 的單調(diào)性0)3x x(x2x (x例 9寫出函數(shù) f(x) |12x| |2 x|的單調(diào)減區(qū)間9解分段函數(shù)的方程例 10設(shè)函數(shù) f(x)2 x

4、 x ( ,1 log81 x x (1, )則滿足方程 f (x) 1 的 x 的值為410解分段函數(shù)的不等式x2 x 1 (x 0)例 11設(shè)函數(shù)f (x)1, 若f (x0) 1,則 x0 得取值范圍是()x2(x 0)A.(1,1)B.(1,) C. ( ,2) (0, )D. ( , 1) (1, )(x21)2(x 1)例 12設(shè)函數(shù)f (x)則使得 f (x)1的自變量 x 的取值范圍為4x 1 (x 1)A(, 20,10B. ( ,2 0,1反饋練習(xí) x2 2x ，1（ 2013 新課標(biāo)全國， 5 分）已知函數(shù) f（x）ln x 1x0，若| f(x)| ax，則 a 的取

5、， x 0.值范圍是 （ ）A（，0B.(，12345C2,1D2,02013 福建，2013 北京，2012 江西，Alg 101C12011 北京，4 分）5 分）5 分）5 分）ccx，xA， f(x)c ， xA2x3，x0，已知函數(shù) f（x） tan x，0x2，log 1 x，函數(shù) f(x)22x ， x1，x1，BD根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第則ff4的值域?yàn)閯t f(f(10) ()x 件某產(chǎn)品所用的時(shí)間 （單位：分鐘 ） 為（A，c 為常數(shù) ）已知工人組裝第 4 件產(chǎn)品用時(shí) 30 分鐘，組裝第 A件產(chǎn)品用時(shí) 15 分鐘，那么 c 和 A 的值分別是 （A75,25B75,16C60

6、,25D60,166（2012 江蘇， 5 分）設(shè) f（x）是定義在 R 上且周期為 2 的函數(shù)，在區(qū)間 1,1上， f（x） f（32），則 a3b 的值為ax1， 1x0，bxx12，0x1，x1其中 a，b R.若2xa， x1，7（2011江蘇， 5分）已知實(shí)數(shù) a0，函數(shù) f（x）若 f（1a）f（1a），則 a x 2a， x 1.的值為 函數(shù)的概念和性質(zhì)考點(diǎn)一 分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi) , 有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)它是一個(gè)函數(shù) , 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù) ; 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集 , 其值域也是各段函數(shù)值域的并集由于它在理解和掌握函

7、數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用 型做了一些思考 , 解析如下：時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)本文就幾種具體的題1求分段函數(shù)的定義域和值域2x 2 x 1,0;例 1求函數(shù) f(x)12 x x (0, 2); 的定義域、值域3 x 2, );解析】x作圖 , 利用“數(shù)形結(jié)合”易知f (x)的定義域?yàn)?1, ), 值域?yàn)?( 1,3 .2求分段函數(shù)的函數(shù)值|x 1| 2,(|x| 1)例 2已知函數(shù) f(x)11 x2(|x| 1)求 ff(12) .解析】因?yàn)?f (21) |21 1| 223, 所以 f f(21)f ( 32)141 ( 23)2 133求分段函數(shù)的最

8、值4x 3 (x 0)例 3求函數(shù) f(x)x 3 (0 x 1)的最大值 .x 5 (x 1)解析】當(dāng)x 0時(shí), fmax(x) f (0) 3, 當(dāng)0 x 1時(shí), fmax(x) f(1) 4, 當(dāng)4求分段函數(shù)的解析式例 4在同一平面直角坐標(biāo)系中 , 函數(shù) y f (x) 和 y g( x)的圖象關(guān)于直線 y x對(duì) 稱, 現(xiàn)將 y g(x)的圖象沿 x軸向左平移 2個(gè)單位, 再沿 y軸向上平移 1 個(gè)單位, 所得 的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示) , 則函數(shù) f(x) 的表達(dá)式為( )2x2(1x0)A.f(x)2x2(0x2)2x2(1x0)B.f(x)2x2(0x2)2x2(1

9、x2)C.f(x)x21(2x4)2x6(1x2)D.f (x)x23(2x4)【解析】當(dāng) x 2,0 時(shí) , y12 x 1, 將其圖象沿 x軸向右平移 2個(gè)單位, 再沿 y軸向下平移 1 個(gè)單位得解析式為 y 12 (x 2) 1 1 21 x 1, 所以 f (x)2x 2 (x 1,0) ,當(dāng) x 0,1 時(shí) ,y 2x 1, 將其圖象沿 x軸向右平移 2 個(gè)單位再沿 y 軸向下平移 1 個(gè)單位, 得解析式 y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f (x) 12x 2 (x 0, 2) , 綜上可得 f (x)2x 2 ( 1 x 0)x2 2 (0 x 2) , 故選 A.5作

10、分段函數(shù)的圖像例 5函數(shù) y e|ln x| | x 1|的圖像大致是( )1AB解析：在定義范圍討論，當(dāng) 0x1 時(shí) y 1，故選 D x且當(dāng) x 0時(shí), f(x) 3x 1, 設(shè) f (x)的反函數(shù)為 y g(x), 求g(x)的表達(dá)式 .例 7判斷函數(shù) f(x)2x2(x 1) (x2x2(x 1)(x【解析】當(dāng) x 0時(shí),x 0 ,f ( x) (f( 0) f (0) 0 ,當(dāng)x0,x 0 ,7判斷分段函數(shù)的奇偶性0) 的奇偶性 .0)x)2( x1) x2(x1)f (x) ,當(dāng) x 0 時(shí) ,f ( x)( x)2( x1)x2(x1) f (x) 因【解析】設(shè) x 0,則x0

11、, 所以 f( x) 3 x 1, 又因?yàn)?f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)所以 f ( x)f (x) ,且 f (0)0, 所以 f (x)1 3 x ,因此3x 1 (x0)log3(x1) (x0)f (x)0 (x0), 從而可得g(x)0(x0).x1 3x (x0)log 3(1x) (x0)此, 對(duì)于任意 x R都有 f ( x) f (x), 所以 f(x) 為偶函數(shù) .8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性x3 x (x 0)例 8判斷函數(shù) f(x) 2 的單調(diào)性x2 (x 0)【解析】顯然 f (x) 連續(xù). 當(dāng) x 0時(shí),2f (x) 3x2 11 恒成立 , 所以 f (x) 是

12、單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng) x 0時(shí), f (x)2x 0 恒成立 , f (x) 也是單調(diào)遞增函數(shù)所以 f (x) 在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù) ; 或畫圖易知 f(x)在 R上是單調(diào)遞增函數(shù) .例 9寫出函數(shù) f(x) |1 2x| |2 x|的單調(diào)減區(qū)間3x 1 (x12)【解析】 f (x)3x3x 1( 21 x 2), 畫圖易知單調(diào)(x 2)減區(qū)間為 (, 12 .9解分段函數(shù)的方程例 10( 01 年上海)設(shè)函數(shù) f (x)2 x x ( ,1 log81 x x (1, )則滿足方程 f(x) 1的 x的4值為【解析】若2 x 41, 則2 x 22, 得x 2 (,1, 所以 x 2(舍去)

13、若 log81 x 14 ,1則 x 814 , 解得 x 3 (1,), 所以 x 3 即為所求 .10解分段函數(shù)的不等式例 11設(shè)函數(shù) f (x)2 x 1 (x 0)1 , 若 f (x0) 1, 則 x0 得取值范圍是( x2 (x 0)C. ( , 2)(0, )D. ( , 1)(1, )【解析 1】首先畫出 yf (x) 和 y1的大致圖像 ,是 ( , 1) (1,).【解析 2】因?yàn)?f (x0 )1, 當(dāng) x00 時(shí) , 2 x0 1A.( 1,1) B.( 1, )解得 x0 1, 綜上 x0 的取值范圍是 ( , 1)易知 f (x0) 1時(shí), 所對(duì)應(yīng)的 x0 的取值范

14、圍11, 解得 x01, 當(dāng) x0 0 時(shí), x02 1(1, ) . 故選 D.例 12設(shè)函數(shù)f (x)(x 1)24 x 1(x(x()A (, 20,10B.C. (, 21,10D.【解析】當(dāng)x1時(shí),f (x) 1(x 1)21x1時(shí),f (x)14x11述,x2或0x 10,故選 A 項(xiàng) .點(diǎn)評(píng)：】1), 則使得 f (x) 1的自變量 x 的取值范圍為1)( , 2 0,1 2,0 1,10x 2或x 0 , 所以 x 2或0 x 1, 當(dāng)x 1 3 x 10 , 所以 1 x 10 , 綜上所以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中 , 不難得到一種解題的重要途徑 , 若能畫出其大致圖像定義域、

15、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會(huì)迎刃而解 , 方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合 思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解 , 使問題得到大大簡(jiǎn)化 , 效果明顯 .反饋練習(xí) x2 2x，x0，1(2013 新課標(biāo)全國， 5 分)已知函數(shù) f(x)若| f(x)| ax，則 a 的取ln x 1 ， x0.值范圍是 ( )A(，0B.（，1C2,1D2,0解析： 本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)及由不等式恒成立求參數(shù)的 取值范圍問題，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題的能力當(dāng)x0時(shí)，f 4f(x) x22x (x 1)210，所以| f(x)| ax化簡(jiǎn)為 x22x

16、ax，即 x2a(2)x，因?yàn)?x0， 所以 a2x 恒成立，所以 a 2；當(dāng) x0 時(shí)，f(x)ln(x1)0，所以 | f (x)| ax 化簡(jiǎn)為 ln(x1)ax 恒成立，由函數(shù)圖象可知 a0 擇 D.，綜上，當(dāng) 2a0時(shí)，不等式 | f(x)| ax 恒成立，選答案： D2x3，x0，2(2013福建， 4分)已知函數(shù) f(x) 則 f f .tan x， 0x ，42解析：本題主要考查分段函數(shù)的求值， 意在考查考生的應(yīng)用能力和運(yùn)算求解能力 tan 4 1， f f 4 f(1)2(1)3 2.答案： 2log 1 x， x1，3(2013北京， 5分)函數(shù) f(x)2 的值域?yàn)?2x

17、 ， x1 解析： 本題主要考查分段函數(shù)的概念、性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查 考生對(duì)函數(shù)定義域、值域掌握的熟練程度分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是各段函數(shù)值域的并集當(dāng) x1時(shí)， log 1 x0，當(dāng) x1時(shí)， 02x1，Alg 101B2C 1D 0解析： f(10)lg 101，故 f(f(10)f(1)1212.答案： B 5(2011北京， 5分)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第 x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間 (單位：分鐘 )為f(x)（A，c 為常數(shù) ）已知工人組裝第 4 件產(chǎn)品用時(shí) 30 分鐘，組裝第 AA，xA件產(chǎn)品用時(shí) 15 分鐘，那么 c 和 A 的值分別是 （ ）A 75,25B75,16C 60,25D 60,16解析：因?yàn)榻M裝第A 件產(chǎn)品用時(shí) 15 分鐘，所以 15（1） ，所以必有 4A ，且11f（2）f（2），從而12b2112112a 1,3a 2b 2. 30（2），聯(lián)立 （1）（2）解得 c60， A16. 答案： D6（2012 江蘇， 5 分）設(shè) f（x）是定義在 R 上且周期為 2 的函數(shù)，在區(qū)間 1,1上， f（x）ax1， 1x0，13bx2其中 a，bR.若 f（2） f（2），則 a3b 的值為 ， 0x1，2 2x1f（2） f（ 2），且 f（1） f（1），故解析：因?yàn)?f（x）是