導與練普通班2017屆高三數(shù)學一輪復習專題一串通各章節(jié)求最值的方法課件理

1、附錄小專題串方法附錄小專題串方法專題一串通各章節(jié)求最值的方法專題一串通各章節(jié)求最值的方法最值是高中數(shù)學中廣泛存在的一類問題最值是高中數(shù)學中廣泛存在的一類問題, ,也是高考的熱點問題也是高考的熱點問題, ,下面介下面介紹求最值的常用方法紹求最值的常用方法. .方法一方法一函數(shù)方法函數(shù)方法類型類型1.1.利用已知函數(shù)性質(zhì)利用已知函數(shù)性質(zhì)【例【例1 1】 (2015(2015內(nèi)蒙古包頭二模內(nèi)蒙古包頭二模) )函數(shù)函數(shù)y=cos 2x+2cos xy=cos 2x+2cos x的最小值是的最小值是.思路點撥思路點撥: :利用余弦倍角公式和換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的利用余弦倍角公式和換元法轉(zhuǎn)化為二

2、次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值最值. .方法總結方法總結 根據(jù)已知函數(shù)解析式根據(jù)已知函數(shù)解析式, ,直接利用已知的基本初等函數(shù)的性直接利用已知的基本初等函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)( (最值、單調(diào)性、奇偶性等最值、單調(diào)性、奇偶性等) )是函數(shù)方法的主要類型之一是函數(shù)方法的主要類型之一. .思路點撥思路點撥: :根據(jù)根據(jù)E E點在線段點在線段ADAD上移動上移動, ,利用共線向量定理設出變量利用共線向量定理設出變量x,x,建立求建立求解目標關于解目標關于x x的函數(shù)關系后利用函數(shù)性質(zhì)求解的函數(shù)關系后利用函數(shù)性質(zhì)求解. .方法總結方法總結 很多最值問題需要先建立函數(shù)模型很多最值問題需要先建立函數(shù)模型, ,然后再使用函數(shù)性

3、質(zhì)然后再使用函數(shù)性質(zhì)求解求解. .建立函數(shù)模型的關鍵是找到一個變量建立函數(shù)模型的關鍵是找到一個變量, ,利用該變量表達求解目標利用該變量表達求解目標, ,變量可以是實數(shù)變量可以是實數(shù), ,也可以是一個角度也可以是一個角度( (如果使用弧度制實際上也可以看如果使用弧度制實際上也可以看作一個實數(shù)作一個實數(shù)),),還可以是一個變量不等式等還可以是一個變量不等式等, ,建立函數(shù)模型需要注意建建立函數(shù)模型需要注意建立的函數(shù)模型的定義域立的函數(shù)模型的定義域. . 方法二方法二不等式法不等式法類型類型1.1.建立求解目標的不等式建立求解目標的不等式【例【例3 3】 (2015(2015甘肅省河西五地市聯(lián)考甘

4、肅省河西五地市聯(lián)考) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, ,圓圓C C的方程為的方程為x x2 2+y+y2 2-8x+15=0,-8x+15=0,若直線若直線y=kx+2y=kx+2上至少存在一點上至少存在一點, ,使得以該點為使得以該點為圓心圓心, ,半徑為半徑為1 1的圓與圓的圓與圓C C有公共點有公共點, ,則則k k的最小值是的最小值是.思路點撥思路點撥: :根據(jù)直線與圓的位置關系建立關于根據(jù)直線與圓的位置關系建立關于k k的不等式的不等式, ,解不等式得解不等式得k k的取值范圍即可得出其最小值的取值范圍即可得出其最小值. .方法總結方法總結 把求解目標歸入一個不

5、等式把求解目標歸入一個不等式, ,通過解不等式得出目標最值通過解不等式得出目標最值, ,是求最值的常用方法之一是求最值的常用方法之一, ,在解析幾何中求離心率的最值、一般問題在解析幾何中求離心率的最值、一般問題中求參數(shù)最值中經(jīng)常使用中求參數(shù)最值中經(jīng)常使用. .思路點撥思路點撥: :以以OHMOHM為變量建立求解目標的函數(shù)關系后為變量建立求解目標的函數(shù)關系后, ,通過變換使用基本不等式通過變換使用基本不等式. .方法總結方法總結 基本不等式是求最值的最常用方法之一基本不等式是求最值的最常用方法之一, ,使用基本不等式使用基本不等式時要注意時要注意:(1):(1)基本不等式的使用條件和等號是否能夠

6、成立基本不等式的使用條件和等號是否能夠成立;(2);(2)變換已變換已知不等式使之符合使用基本不等式的條件知不等式使之符合使用基本不等式的條件. .方法三方法三導數(shù)法導數(shù)法思路點撥思路點撥: :首先使用基本不等式把首先使用基本不等式把e ex+y-2x+y-2+e+ex-y-2x-y-2+2+2變?yōu)閱巫兞勘磉_式變?yōu)閱巫兞勘磉_式, ,分離分離參數(shù)后參數(shù)后, ,把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題, ,構造函數(shù)使用導數(shù)方構造函數(shù)使用導數(shù)方法求函數(shù)最值法求函數(shù)最值. .方法總結方法總結 不等式恒成立問題的一個基本處理方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值不等式恒成立問題的一個基本處

7、理方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值, ,需要通過構造函數(shù)求函數(shù)最值需要通過構造函數(shù)求函數(shù)最值, ,而求函數(shù)最值中導數(shù)方法是最有效的而求函數(shù)最值中導數(shù)方法是最有效的. .注意使用導數(shù)求函數(shù)最值的基本步驟注意使用導數(shù)求函數(shù)最值的基本步驟. .方法四方法四幾何意義法幾何意義法( ( 數(shù)形結合法數(shù)形結合法) )思路點撥思路點撥: :(1)(1)根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性轉(zhuǎn)化為曲線上的點與直線上的點之間的最近距離根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性轉(zhuǎn)化為曲線上的點與直線上的點之間的最近距離; ;答案答案: :(1)B (1)B (2)(2015(2)(2015河北省石家莊市高三下學期二模河北省石家莊市高三下學期二模) )設點設點P,QP

8、,Q分別是曲線分別是曲線y=xey=xe-x-x(e(e是自然對數(shù)的底是自然對數(shù)的底數(shù)數(shù)) )和直線和直線y=x+3y=x+3上的動點上的動點, ,則則P,QP,Q兩點間距離的最小值為兩點間距離的最小值為. .思路點撥思路點撥: :(2)(2)與直線與直線y=x+3y=x+3平行的曲線平行的曲線y=xey=xe-x-x的切線之間的距離即為所求的切線之間的距離即為所求. .方法總結方法總結 求與直線不相交的曲線上的點與該直線的距離最值的最直求與直線不相交的曲線上的點與該直線的距離最值的最直觀方法就是觀方法就是“平行切線法平行切線法”, ,是數(shù)形結合思想的具體體現(xiàn)是數(shù)形結合思想的具體體現(xiàn). .思路

9、點撥思路點撥: :(1)(1)點點(x,y)(x,y)為一平面區(qū)域內(nèi)的動點為一平面區(qū)域內(nèi)的動點, ,目標的幾何意義是動點到定點距離的平方目標的幾何意義是動點到定點距離的平方; ;思路點撥思路點撥: :(2)(a,b),(c,d)(2)(a,b),(c,d)看作點的坐標看作點的坐標, ,則該兩點各自在一條曲線與一條直則該兩點各自在一條曲線與一條直線上線上, ,目標的幾何意義是曲線上的點與直線上的點的距離的平方目標的幾何意義是曲線上的點與直線上的點的距離的平方. .方法總結方法總結 把求解目標的代數(shù)表達式賦予其幾何意義把求解目標的代數(shù)表達式賦予其幾何意義, ,就可以把代數(shù)就可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何

10、問題、函數(shù)問題解決問題轉(zhuǎn)化為幾何問題、函數(shù)問題解決. .常見的目標函數(shù)的幾何意義有常見的目標函數(shù)的幾何意義有: :兩點連線的斜率、兩點間的距離、直線上的點與曲線上的點的距離等兩點連線的斜率、兩點間的距離、直線上的點與曲線上的點的距離等. .方法五方法五構造法構造法思路點撥思路點撥: :分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題, ,對含變量對含變量x,yx,y的表達式構造函數(shù)的表達式構造函數(shù), ,求函數(shù)最值求函數(shù)最值. .方法總結方法總結 任意實數(shù)任意實數(shù)a,b,a,b,當當b0b0時時, ,一定存在實數(shù)一定存在實數(shù),使得使得a=b,a=b,使使用這個知識用這個知識, ,可以

11、把某些以比值形式出現(xiàn)的二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不可以把某些以比值形式出現(xiàn)的二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式等式. .思路點撥思路點撥: :聯(lián)想兩點間距離公式聯(lián)想兩點間距離公式, ,構造平面直角坐標系中的一個圖形模型構造平面直角坐標系中的一個圖形模型, ,根根據(jù)幾何意義求解據(jù)幾何意義求解. .方法總結方法總結 根據(jù)求解目標的特點根據(jù)求解目標的特點, ,通過聯(lián)想已知知識構造恰當?shù)哪Ｐ屯ㄟ^聯(lián)想已知知識構造恰當?shù)哪Ｐ? (如正方形、正方體、函數(shù)、數(shù)列等如正方形、正方體、函數(shù)、數(shù)列等) )求解最值求解最值. .方法六方法六綜合幾何法綜合幾何法思路點撥思路點撥: :把圓錐的側(cè)面展開把圓錐的側(cè)面展開, ,轉(zhuǎn)化為平面上

12、兩點間的距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離. .方法總結方法總結 空間幾何體表面上曲線、折線的長度最值問題可以通過表空間幾何體表面上曲線、折線的長度最值問題可以通過表面展開轉(zhuǎn)為平面上線段的最值問題面展開轉(zhuǎn)為平面上線段的最值問題. .思路點撥思路點撥: :根據(jù)所求函數(shù)的特點根據(jù)所求函數(shù)的特點, ,把兩個根式轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離把兩個根式轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離, ,結結合平面幾何中兩點之間以連接這兩點的線段長度最短合平面幾何中兩點之間以連接這兩點的線段長度最短, ,如果兩點在直線的兩如果兩點在直線的兩側(cè)側(cè), ,根據(jù)對稱關系進行轉(zhuǎn)化根據(jù)對稱關系進行轉(zhuǎn)化. .方法總結方法總結 根據(jù)兩點間的距離公式根據(jù)兩點間的距離公式, ,把這類帶有兩個二次根式的函數(shù)把這類帶有兩個二次根式的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在平面上某條直線上的動點到兩個定點的距離之和轉(zhuǎn)化為在平面上某條直線上的動點到兩個定點的距離之和, ,當兩個點當兩個點在直線兩側(cè)時在直線兩側(cè)時, ,兩點間的距離就是所求的最小值兩點間的距離就是所求的最小值, ,當兩個點在直線的一當兩個點在直線的一側(cè)時側(cè)時, ,求出其中一個點關于直線的對稱點求出其中一個點關于直線的對稱點, ,則直線上的點到這個點及其則直線上的點到這個點及其對稱點的距離始終相等對稱點的距離始終相等, ,此時這個對稱點和另外一點之間的距離