九年級數(shù)學(xué)上冊專題突破講練根的判別式的深化應(yīng)用試題新版青島版

1、根的判別式的深化應(yīng)用一、一元二次方程根的判別式對于一元二次方程ax2bxc0（a0），它的解的情況由b24ac的取值決定，我們通常用“”來表示，即。方程ax2bxc0（a0）的根的情況b24ac0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b24ac0兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b24ac0沒有實(shí)數(shù)根方法歸納：用b24ac可以判斷方程根的情況，反過來，若已知方程根的情況，則可確定b24ac的取值。二、根的判別式的應(yīng)用1. 判斷一元二次方程根的情況。2. 確定一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍。3. 確定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。方法歸納：（1）計(jì)算b24ac時(shí)注意a、b、c表示各項(xiàng)系數(shù)，包括它們前面的符號；（2）關(guān)于

2、根的判別式b24ac的正、負(fù)號的判定涉及代數(shù)式的恒等變形，一般地，將表示b24ac的代數(shù)式進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)、非正數(shù)的概念，確定b24ac的正、負(fù)號?？偨Y(jié)：1. 會討論方程的根的情況，包括一元一次方程和一元二次方程。2. 能利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的特性，如：有理根、整數(shù)根等。例題1 關(guān)于x的一元二次方程x2mx（m2）0的根的情況是（ ）A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 沒有實(shí)數(shù)根D. 無法確定解析：這是含字母系數(shù)的一元二次方程，將字母視為數(shù)字即可。這里a1，bm，cm2。因?yàn)閎24ac（m）24×1×（m2）m24m8m24m44（

3、m2）240，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。答案：A點(diǎn)撥：判斷b24ac的正、負(fù)情況時(shí)，通常有兩種情形，（1）已知判別式中某些字母的取值范圍，依此確定判別式的取值范圍；（2）一般要將表示b24ac的代數(shù)式進(jìn)行配方，利用偶次冪的非負(fù)性確定b24ac的正、負(fù)號。例題2 定義：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）滿足abc0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程，已知ax2bxc0（a0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. acB. abC. bcD. abc解析：由方程ax2bxc0（a0）滿足abc0可知方程的解為x1，然后由方程解的情況建立a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系

4、。答案：因?yàn)閍bc0，所以b（ac）。因?yàn)榉匠蘟x2bxc0（a0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以b24ac0，把b（ac）代入，得：（ac）24aca22acc24ac0。所以a22acc20，即（ac）20。所以ac。故選A。點(diǎn)撥：解此類型問題，首先要明確所給定義的含義，然后用定義去考量已知條件，依據(jù)定義或定義提供的方法解題。例題3 已知關(guān)于x的方程kx25x20有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。解析：本題并沒有明確指出方程是否為一元二次方程，因此應(yīng)對二次項(xiàng)系數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論。答案：當(dāng)k0時(shí)，方程為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)k0時(shí)，方程為一元二次方程，且ak、b5、c2。所以b24ac（5）2

5、4×k×2258k。當(dāng)258k0，即k且k0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)258k0，即k時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)258k0，即k時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。綜上所述，k的取值范圍是k。點(diǎn)撥：從數(shù)學(xué)方法的角度看，本題屬于分類討論型問題，而且需要討論兩點(diǎn)：一是此方程可分為一元一次方程和一元二次方程兩種情況；二是一元二次方程有實(shí)數(shù)根可分為有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。一元二次方程根的判別式不但可以判斷方程有沒有實(shí)數(shù)根，而且可以判斷出方程有沒有有理根。不難理解，只要b24ac是一個(gè)有理數(shù)的完全平方數(shù)（或開平方開得盡），原方程的根就一定是有理數(shù)。要判斷一個(gè)一元二次方程的根是

6、不是整數(shù)可結(jié)合x來確定。例題 邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊邊長是方程x2（k2）x4k0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。解：因?yàn)榉匠痰母鶠檎麛?shù)，故（k2）216k為完全平方數(shù)。設(shè)（k2）216kn2，k212k4n2，（k6）2n232，（kn6）（kn6）1×322×164×8。kn6kn6，或或。解得k1（舍去），k215，k312。當(dāng)k15時(shí)，有x217x600，解得x5或12，則斜邊c13；當(dāng)k12時(shí)，有x214x480，解得x6或8，則斜邊c10。所以這個(gè)直角三角形三邊長分別為5、12、13或6、8、10。分析：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已

7、知方程求出直角三角形的兩條直角邊長，因?yàn)橹苯侨切蔚倪呴L為整數(shù)，所以已知方程有兩個(gè)整數(shù)根。一元二次方程有整數(shù)根至少要求判別式為有理數(shù)的完全平方數(shù)。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 關(guān)于x的方程x2kxk2的根的情況是（ ）A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 無實(shí)數(shù)根D. 不能確定2. 下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ）A. x23x10B. x210C. x22x10D. x22x303. 對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x22（k1）xk22k10的根的情況為（ ）A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B. 沒有實(shí)數(shù)根C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 無法確定4. 已

8、知b0，關(guān)于x的一元二次方程（x1）2b的根的情況是（ ）A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 沒有實(shí)數(shù)根D. 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根*5. 若關(guān)于x的一元二次方程kx22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）A. k1B. k1且k0C. k1且k0D. k1且k0*6. 如果關(guān)于x的方程x24x20有兩個(gè)有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)a的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)二、填空題*7. 若5k200，則關(guān)于x的一元二次方程x24xk0的根的情況是_。*8. 若關(guān)于x的一元二次方程kx24x30有實(shí)數(shù)根，則k的非負(fù)整數(shù)值是_。*9. 若b10，且

9、一元二次方程kx2axb0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_。*10. 如果關(guān)于x的方程x2kxk23k0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，那么的值為_。三、解答題11. 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x24xm0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是多少？12. 關(guān)于x的方程x2（2a1）x（a3）0，試說明無論a取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。*13. 已知關(guān)于x的方程x22（a1）x（3a24ab4b22）0有實(shí)數(shù)根，求a、b的值。*14. 已知一元二次方程x2（2k1）xk2k0。（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若ABC的兩邊AB、AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊B

10、C的長為5。當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值。*15. 已知關(guān)于x的一元二次方程x22x2k40有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值。一、選擇題1. A 解析：因?yàn)閎24ack24（k2）k24k8（k2）240，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。2. A 解析：依據(jù)判別式進(jìn)行判斷即可，選項(xiàng)A中0，選項(xiàng)B中0，選項(xiàng)C中0，選項(xiàng)D中0。3. C 解析：4（k1）24（k22k1）4k28k44k28k48k280，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。4. C 解析：本題不必利用判別式，根據(jù)二次冪的意義判斷即可。*5. D 解析：根據(jù)題意可知，（

11、2）24k×（1）0，即k1。且當(dāng)k0時(shí)原方程為一元一次方程，不符合題意，所以k1且k0。*6. B 解析：根據(jù)題意得424（2）84是一個(gè)有理數(shù)的完全平方數(shù)。又10a0，即a10，因?yàn)閍是正整數(shù)，顯然，當(dāng)a1、6、9、10時(shí)是有理數(shù)，其中a6、9時(shí)84是一個(gè)有理數(shù)的完全平方數(shù)。所以a6或9。二、填空題*7. 沒有實(shí)數(shù)根 解析：由5k200得k4。此時(shí)424k0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根。*8. 1 解析：由題意可得424k×31612k0，即k，所以k的非負(fù)整數(shù)值是1。*9. k4且k0 解析：b10，b10，0，解得b1，a4。又一元二次方程kx2axb0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，a2

12、4kb0且k0，解得k4且k0。*10. 解析：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k24（k23k）0，即（k3）20。又因?yàn)楹阌校╧3）20，所以（k3）20，解得k3。此時(shí)方程為x23x0，解得x1x2。故。三、解答題11. 解：因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（4）24（m）0，即164m20，m，當(dāng)m時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x22。12. 解：（2a1）24（a3）4a28a134a28a494（a22a1）94（a1）29。（a1）20，4（a1）290，即0恒成立，方程總有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。*13. 解：判別式2（a1）24（3a24ab4b22）4（a22a1）（12a216ab16b28）8a216ab16b28a44（2a24ab4b22a1）4（a24ab4b2）（a22a1）4（a2b）2（a1）2。因?yàn)椋╝2b）20、（a1）20，所以0。又因?yàn)樵匠逃袑?shí)數(shù)根，所以有0，所以4（a2b）2（a1）20，所以a10且a2b0，所以a1，b。*14. 解：（1）證明：因?yàn)椋?k1）24（k2k）4k24k14k24k10，所以原方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）解：解x2（2k1）xk2k0得xk或k1，則ABC的三邊長分別為k、k1、5，又因?yàn)锳BC是等腰三角形，所以kk1（無解，舍去）或k5或k15。當(dāng)k5時(shí)，k16，此時(shí)ABC的三