公務(wù)員行測(cè)數(shù)量關(guān)系經(jīng)典總結(jié)(二)

1、工程問(wèn)題一、考情分析 工程問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最經(jīng)典的題型之一， 在往年的國(guó)家公務(wù)員考試中經(jīng)常出現(xiàn)， 雖然 現(xiàn)在出現(xiàn)的頻率略有下降， 但是幾乎每年還有出現(xiàn)， 在各省市的公務(wù)員考試中更是頻頻出現(xiàn)。 可以說(shuō)，工程問(wèn)題在公務(wù)員考試中占據(jù)了很重要的位置。二、基本概念和公式在日常生活中， 做某一件工作， 制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作效 率、工作時(shí)間和工作量這三個(gè)量，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題， 我們都叫做 “工程問(wèn) 題”。它們之間的基本數(shù)量關(guān)系：工作效率×工作時(shí)間工作量。最基本的工程問(wèn)題為：一個(gè)施工隊(duì)要修長(zhǎng)度為米的隧道，每天可以修米，問(wèn)多少天修完？ 什么叫工作量？就是拿到一個(gè)

2、工程項(xiàng)目以后， 這個(gè)項(xiàng)目工作的多少， 比如上題中的 “ 米的隧道” 。工作效率呢，就是你完成項(xiàng)目的快慢程度，換而言之，就是你單位時(shí)間 完成的工作量，比如上題的“每天修米” 。工作時(shí)間就更簡(jiǎn)單了，是指你完成項(xiàng)目所花 的時(shí)間。這三個(gè)量存在這么一個(gè)關(guān)系，大家要好好注意這個(gè)關(guān)系： 工作效率工作量÷工作時(shí)間 工作時(shí)間工作量÷工作效率工作量工作效率×工作時(shí)間 出現(xiàn)在合作問(wèn)題的時(shí)候，多人的工作效率他們各自的工作效率之和?！菊`區(qū)點(diǎn)撥】需要注意的是，在多人合作的時(shí)候，有時(shí)候他們各自的工作效率會(huì)受到其 他人的影響而變快或者變慢，這時(shí)候需要按照他們的實(shí)際工作效率來(lái)求總的工作效率。在一個(gè)

3、工程問(wèn)題里面， 我們首先就要找到工作量、 工作效率和工作時(shí)間這三個(gè)量， 看看 哪些量已經(jīng)已知，需要求的又是哪些量，然后根據(jù)已知量和對(duì)應(yīng)公式求出未知的量。三、解題方法（一）設(shè)“”法 設(shè)“”法是工程問(wèn)題中的王牌方法，掌握了設(shè)“”法，就能解決以上的工程問(wèn)題，非常有效。我們現(xiàn)在來(lái)解釋一下什么是設(shè)“” 法。在很多工程問(wèn)題里面， 他們不告訴你具體的工 作量是多少，只說(shuō)需要多少多少天完成一項(xiàng)工作。這個(gè)時(shí)候，我們通常把總的工作量設(shè)為 “”，然后再代入計(jì)算。這個(gè)就叫設(shè)“”法。為什么要這么設(shè)呢？大家可以看看， 如果天完成一項(xiàng)工作， 那么工作效率就是 1 ；如 5 果天完成一項(xiàng)工作，那么工作效率就是 1 。是不是很

4、方便？下面我們來(lái)看一道題：10 例題：一項(xiàng)工作， 甲單獨(dú)做需要 10 天完成， 乙單獨(dú)做 15 天完成。 問(wèn)兩人合作 3 天完 成工作的幾分之幾？A. 1 B. 1 C. 5 D. 12 3 5 6 【答案詳解】設(shè)總工作量為 1，則甲每天完成 1 ，乙每天完成 1 。所以?xún)扇撕献?3 天10 15 完成工作的（ 1 + 1 ）× 3= 1 。10 15 2【誤區(qū)點(diǎn)撥】大家需要注意，當(dāng)完成多項(xiàng)工程時(shí)，需要區(qū)分不同的“” （二）方程法方程法適合那些未知量較多的題目。 人的工作效率而只是給出他們之間的關(guān)系， 都是與設(shè)“”法結(jié)合使用的。例題：有一工程，甲、乙合作30 天完成全部工程，若甲先單

5、獨(dú)做A.40 B.50在多人合作問(wèn)題中， 如果題目中沒(méi)有給出任何一個(gè)這時(shí)候優(yōu)先考慮使用方程法。 當(dāng)然， 方程法一般天可以完成，若甲先單獨(dú)做 60 天，則乙再單獨(dú)做40 天，問(wèn)乙還需要單獨(dú)做多少天才能完成？C.60 D.8048答案詳解】設(shè)甲單獨(dú)完成需要1x 天，則甲、乙的工作效率分別為： x1481 ，依x題意，有 60× 1 +30 ×（ 1 - 1 ）x 48 x=1，解得 x=80 ?？傻靡业墓ぷ餍蕿?148。甲80 120單獨(dú)做 40天后完成 40× 810 = 21 ，乙還需單獨(dú)做（ 1-12）÷ 1210 =60天才能完成。四、題型精講（一

6、）單人完成工作問(wèn)題 這是工程問(wèn)題里面最簡(jiǎn)單的情況。間之間的關(guān)系就可以了。 例題：一項(xiàng)工作，小李原計(jì)劃 了 25% ，則可以提前幾天完成？ A 2B.4對(duì)于這類(lèi)題目， 只要找到工作量、 工作效率和工作時(shí)20 天完成。實(shí)際工作時(shí)，他的工作效率比原計(jì)劃提高C.6D.8答案詳解】原來(lái)的效率為 210，效率提高后，工作效率為1 ×（ 1+25%） = 1 ，則20 16工作 1÷ 1 =16 天即可完成。提前了 16（二）兩人完全合作問(wèn)題20-16=4 天。例題：打印一份稿件，小張小時(shí)可以打完這份稿件的13，小李小時(shí)可以打完這份稿件的 1 ，如果兩人合打多少小時(shí)可以完成？4 203C

7、 232答案詳解】小張每小時(shí)完成全部稿件的1 ÷ 1315 ，小李每小時(shí)完成全部稿件的是 1 ÷ 1 ，則兩人合作需要÷（ 1 1 ） 20 小時(shí)，選擇。4 12 15 12 3（三）合作休息問(wèn)題例題：一件工作，甲單獨(dú)做需要 10天完成，乙單獨(dú)做需要 30 天完成。兩人合作，期 間甲休息了 2 天，乙休息了 8 天（不在同一天休息） ，從開(kāi)始到完工共用了多少天？ A11B15C16D 2011【答案詳解】甲休息時(shí)乙單獨(dú)工作，完成了全部工作的30 × 2= 115 ，乙休息時(shí)甲單獨(dú)工作，完成了全部工作的 1 × 8= 4 ，其余的兩隊(duì)合做，用了（

8、 1 1 4 ）÷（ 1 + 1 ）10 5 15 5 10 30 =1 天，故一共用了 2+8+1=11 天。 （四）合作效率變化問(wèn)題例題 6：有一工程，若由甲、乙單獨(dú)做，分別需要12天和 18 天完成。1 ，乙的工作效率比原來(lái)降低 1 ，34配合不默契，甲的工作效率比原來(lái)降低若兩人合做，因現(xiàn)在要求 11 天完C.5D.6成該工程，問(wèn)兩人至少需要合做多少天？A 3B.4【答案詳解】總天數(shù)已定，要使兩人合做的天數(shù)在總天數(shù)中占的盡量少，只能由工作效 率較高的甲單獨(dú)做一部分， 所以該問(wèn)題實(shí)為雞兔同籠問(wèn)題， 甲、乙兩人合做每天可完成工程 的 1 ×（ 1- 1 ）+ 1 

9、5;（ 1- 1 ）= 1 + 1 = 7 。12 3 18 4 18 24 72按雞兔同籠問(wèn)題解，設(shè)整個(gè)工程為 1，則甲、乙二人合作的最少天數(shù)為（1-112 ×11） ÷（ 7 - 1 ）=6 天。72 12（五）輪流工作問(wèn)題下面介紹一個(gè)最近經(jīng)常考的題型，大家注意一下。例題 7：規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1 個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做 1個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做 1個(gè)小時(shí)， 然后又由第二個(gè)人做 1 個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為 止。如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要 9.8 小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要 9.6 小時(shí)， 那么乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？A8B

10、7.8C 7.3D7【答案詳解】依題意可知甲、乙輪流做一個(gè)工程時(shí)，甲工作了 5 小時(shí)，乙工作了 4.8 小 時(shí)；乙、甲輪流工作時(shí)，乙工作了 5 小時(shí)，甲工作了 4.6 小時(shí)。由此可知甲工作 0.4 小時(shí)相 當(dāng)于乙工作 0.2小時(shí)，則甲工作 5小時(shí)相當(dāng)于乙工作 2.5 小時(shí)，乙單獨(dú)做此工程需 2.5+4.8=7.3 小時(shí)。（六）多人合作問(wèn)題多人合作的話(huà)，情況會(huì)更加復(fù)雜。例題 8：如果單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需24 天，乙需 36 天，丙需 48 天?，F(xiàn)在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天數(shù)比為12，乙、丙工作的天數(shù)比為 3 5。則完成這項(xiàng)工作共用了多少天？A30B38C32D 40【答案詳

11、解】先求出甲、乙、丙工作時(shí)間之比，再利用比例關(guān)系求解。因?yàn)?12=36， 35=610，所以甲、乙、丙工作天數(shù)之比為3 6 10。如果甲、乙、丙分別工作 3、6、10天，可完成這項(xiàng)工作的 3 + 6 +10 =1 ，故甲、乙、丙分別工作了24 36 48 26、12、20 天，共用了 6+12+20=38 天。（七）水管問(wèn)題下面我們來(lái)介紹一類(lèi)特殊的工程問(wèn)題， 它的工作對(duì)象是水管， 我們有時(shí)候也稱(chēng)之為水管 問(wèn)題。 在這類(lèi)問(wèn)題里， 水池的注水或者排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程， 注水量或者排水量相當(dāng)于工作 量，每個(gè)水管的注水或者排水效率就相當(dāng)于工作效率。唯一不同的是水管問(wèn)題有可能出現(xiàn)同時(shí)注水和排水的情況， 也

12、就是說(shuō)可能出現(xiàn)負(fù)的工作效率。我們先來(lái)看看這幾道題。例題 9：打開(kāi) A、B、C 每一個(gè)閥門(mén)，水就以各自不變的速度注入水槽。當(dāng)三個(gè)閥門(mén)都 打開(kāi)時(shí)，注滿(mǎn)水槽需要 1小時(shí)；只打開(kāi) A、C兩個(gè)閥門(mén)，需要 1.5 小時(shí)；只打開(kāi) B、C兩個(gè) 閥門(mén)，需要 2小時(shí)。若只打開(kāi) A、B 兩個(gè)閥門(mén)時(shí)，需要多少小時(shí)注滿(mǎn)水槽？ A1.1小時(shí)B1.15小時(shí)C1.2 小時(shí)D1.25小時(shí)【答案詳解】設(shè)水槽總量為 1，則 A 、C兩個(gè)閥門(mén) 1個(gè)小時(shí)可注滿(mǎn) 11.5 = 32 ；B、C兩個(gè)1.5 3閥門(mén) 1個(gè)小時(shí)可注滿(mǎn) 1；單獨(dú)開(kāi) C閥門(mén) 1個(gè)小時(shí)可注滿(mǎn) 2+1-1= 1 。故只打開(kāi) A、B兩個(gè)2 3 2 6閥門(mén) 1 個(gè)小時(shí)可注滿(mǎn)

13、 1- 1 = 5 ，共需 1÷ 5 =1.2 小時(shí)注滿(mǎn)水槽，選擇 C 。6 6 6例題 10：一空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管。單開(kāi)甲管需 5 分鐘注滿(mǎn)水池， 單開(kāi)乙管需 10分鐘注滿(mǎn)水池。如果單開(kāi)排水管需 6 分鐘將整池水排盡。某次池中沒(méi)有水， 打開(kāi)甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管， 同時(shí)打開(kāi)乙管，又過(guò)了同樣長(zhǎng) 的時(shí)間，水池的 1 注了水。如果繼續(xù)注滿(mǎn)水池，前后一共要花多少分鐘 ?4A 3B.3.5 C.4 D.4.5【答案詳解】設(shè)水池的容量為 1。則甲、乙每分鐘分別注入 1 、 1 ，排水管每分鐘排5 10水1 。設(shè)排水管打開(kāi)的時(shí)間為 x分鐘，則有（ 1-

14、1 ）x+（1+ 1 ）x=1 ，解得 x=3。6 5 6 5 10 4 4 注滿(mǎn)水池，還需要（ 1- 1 ）÷（ 1 + 1 ） = 10分鐘。4 5 10 4則前后一共花了 3 ×2+ 10 =4 分鐘。44五、核心要點(diǎn) 工程問(wèn)題：工作量 =工作效率×工作時(shí)間 工程問(wèn)題一般采用賦值法解題。 賦值法有 2 種應(yīng)用情況， 第一種是題干中已知每個(gè)人完 成工作的時(shí)間， 這時(shí)我們假設(shè)工作量為工作時(shí)間的最小公倍數(shù)， 進(jìn)而得到每個(gè)人的工作效率， 從而快速求解； 第二種是題干中已知的是每個(gè)人工作效率的等量關(guān)系， 這時(shí)我們通過(guò)直接賦 效率為具體值進(jìn)行快速求解。方陣問(wèn)題一、考情分

15、析 通過(guò)近幾年的國(guó)考來(lái)看，方陣問(wèn)題雖然并不像行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題那樣年年都會(huì)考查。但是作為公務(wù)員考試的一個(gè)?？贾R(shí)點(diǎn)， 大家還是應(yīng)該對(duì)其引起重視， 尤其近兩年常會(huì)碰到 的方陣的轉(zhuǎn)換及變形，以及空心方陣問(wèn)題都有一定難度，需要大家熟記方陣問(wèn)題的公式。二、基礎(chǔ)知識(shí)1. 題型簡(jiǎn)介 方陣問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一類(lèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 是許多人或物按一定的條件排成正方形 （簡(jiǎn) 稱(chēng)方陣），再根據(jù)排成的方陣，找出規(guī)律，尋求解決問(wèn)題的方案。2. 概念區(qū)分行：排隊(duì)時(shí)，橫著排叫做行。列：排隊(duì)時(shí)，豎著排叫做列。 實(shí)心方陣：中心區(qū)域沒(méi)有空缺，叫實(shí)心方陣。 如圖 1 是實(shí)心方陣。奇數(shù)型實(shí)心方陣： 如圖 2 方陣每行每列都為奇數(shù)， 叫

16、奇數(shù)型實(shí)心方陣， 其幾何中心恰好 存在一個(gè)元素。偶數(shù)型實(shí)心方陣： 如圖 3 方陣每行每列都為偶數(shù)， 叫偶數(shù)型實(shí)心方陣， 其幾何中心不存 在元素，其中心區(qū)域由 4 個(gè)元素構(gòu)成?？招姆疥嚕褐行膮^(qū)域有空缺，叫空心方陣。如圖 4是一層的空心方陣，圖 5 是二層的空心方陣。3. 方陣問(wèn)題的基本概念（ 1）方陣不管在哪一層，每邊人的數(shù)量都相同，每向里面一層，每邊的數(shù)就減少2。（ 2）方陣每相鄰兩層之間的總?cè)藬?shù)都相差8。4. 解題思路 在解決方陣問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該準(zhǔn)確判斷方陣的類(lèi)型，要搞清方陣中的一些量（如層數(shù)、 最外層人數(shù)、最里層人數(shù)、總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。解題時(shí)要開(kāi)動(dòng)腦筋，運(yùn)用相關(guān)公式，用多 種方法來(lái)解題。

17、三、方陣問(wèn)題考點(diǎn)精講（一）實(shí)心方陣（1）方陣總?cè)藬?shù) =方陣最外層每邊人數(shù)的平方（2）方陣每層總?cè)藬?shù) = 方陣每層每邊人數(shù)× 4-4（3）方陣每層每邊人數(shù) = （方陣每層總?cè)藬?shù) +4）÷ 4（4）奇數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2 ×層數(shù) -1偶數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù) =2×層數(shù)例題 1：在一次閱兵式上，某軍排成了 30 人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共 有多少人？A.900B.224 C.300 D.216答案詳解】根據(jù)題意可知，閱兵方陣為實(shí)心方陣。最外層每邊 30 人，則最外層總?cè)藬?shù)為 30× 4-4=116 人；116-8=10

18、8 人；= 原來(lái)每行人數(shù)× 2-1； =原來(lái)每行人數(shù)× 4-2× 2。根據(jù)相鄰兩層相差為 8 人可知，次外層總?cè)藬?shù)為最外兩層共有 116 108=224 人。提示：（ 1）在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數(shù) （ 2）在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數(shù) 二）空心方陣根據(jù)“相鄰兩層的人數(shù)相差為8”，即以方陣最外層人數(shù)為首項(xiàng)，依次向里，組成一個(gè)公差為 -8 的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可得：方陣總?cè)藬?shù) =層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù) -（層數(shù) -1）×層數(shù)÷ 2× 8=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù) -（層 數(shù)-1）×層數(shù)

19、15; 4方陣總?cè)藬?shù) =層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù) +（層數(shù) -1）×層數(shù)÷ 2× 8=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù) +（層 數(shù)-1）×層數(shù)× 4公式不需要直接記憶，只要記住每一層的人數(shù)能夠組成一個(gè)公差為 -8 的等差數(shù)列就可 以了。例題 2：有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣，外層人數(shù)共有60 人，中間一層共 44 人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是：A156人B210人C220 人D280人【答案詳解】方法一，根據(jù)“相鄰兩層人數(shù)相差為8”，結(jié)合“外層人數(shù)共有 60 人，中間一層共 44 人”，可知這個(gè)方陣從外到內(nèi)每層人數(shù)依次是60、52、44、 36

20、、28，所以該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是 60+52+44+36+28=220 人。方法二，最外層到中間一層相差（ 60-44）÷ 8=2 層，即中間一層是第 3層，一共有 5 層， 則總?cè)藬?shù)是 5× 44=220 人。（三）方陣人數(shù)增減例題 3：體育課學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)為60 人，如要在方陣最外層增加一層，則增加后最外層每邊有多少人？A.15 B.16 C.18 D.20【答案詳解】增加前最外層人數(shù)為 60 人，則最外邊每邊人數(shù)為（ 60+4）÷ 4=16，增加 一層后最外層每邊人數(shù)為 16+2=18 人。（四）方陣重排例題 4：五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣

21、播操比賽，他們排成甲、乙兩個(gè)實(shí)心方陣，其 中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8。如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外層每邊的人數(shù)多 4 人，且甲方陣的人數(shù)正好填滿(mǎn)丙方陣的空 心。五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人？A.200 B.236 C.260 D.288【答案詳解】空心的丙方陣人數(shù) =甲方陣人數(shù) +乙方陣人數(shù)，若丙方陣為實(shí)心的，那么實(shí) 心的丙方陣人數(shù) =2 ×甲方陣人數(shù) +乙方陣人數(shù)，即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8× 8× 2=128 人。丙方陣最外層每邊比乙方陣多 4 人，則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多4×4=16 人，

22、即多了 16÷ 8=2 層。這兩層的人數(shù)即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的128 人，則丙方陣最外層人數(shù)為（128+8）÷2=68人，則丙方陣最外層每邊人數(shù)為 （68+4）÷4=18人。那么，共有 18× 18-8 ×8=260 人。五）方陣問(wèn)題與其他問(wèn)題相結(jié)合例題 5：某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個(gè) 6 行、 8 列的長(zhǎng)方陣。現(xiàn)在要求各行從左至右， ，報(bào)數(shù)，再各列從前到后，報(bào)數(shù)。問(wèn)在兩次報(bào) 數(shù)中，所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有：A.18 個(gè) B.24 個(gè) C.32 個(gè) D.36 個(gè) 【答案詳解】 此題可畫(huà)出直觀(guān)圖進(jìn)行解答。 當(dāng)從左至右報(bào) 1時(shí)，從前至后報(bào) 2 的有 8人，

23、 報(bào) 3 的也有 8 人；當(dāng)從左至右報(bào) 2 時(shí)，同理可得，從前至后報(bào) 1 的有 8 人，報(bào) 3 的也有 8 人，即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有 32 人。故選 C。四、核心要點(diǎn)1方陣總?cè)藬?shù) =最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問(wèn)題的核心） 2方陣最外層每邊人數(shù) =（方陣最外層總?cè)藬?shù) ÷4） 1 3方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×2 1牛吃草一、考情分析牛吃草問(wèn)題雖然現(xiàn)在出現(xiàn)的頻率沒(méi)有那么高了， 但是在近幾年的國(guó)家公務(wù)員考試中還是 偶有出現(xiàn)， 因此大家仍然不可以忽略這種題型。 牛吃草問(wèn)題本身難度就很大， 近期考查中又 出現(xiàn)了多種變形，因此需要考生更加

24、細(xì)致地去掌握這些知識(shí)。二、題型概述牛吃草問(wèn)題跟雞兔同籠問(wèn)題一樣，也是一個(gè)比較古老的問(wèn)題，但它是由國(guó)外提出來(lái)的。17 世紀(jì)，英國(guó)的科學(xué)家牛頓提出了這個(gè)牛吃草問(wèn)題，這個(gè)牛頓，也就是那個(gè)被蘋(píng)果砸到頭 然后發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力的那位哥們兒，大家可以學(xué)習(xí)一下這位全能的人。典型牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變， 不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所 需的天數(shù)各不相同， 求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。 由于吃的天數(shù)不同， 草又是天天 在生長(zhǎng)的，所以草的總量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。牛吃草問(wèn)題存在兩個(gè)不變量：草地最初的總草量和每天生長(zhǎng)出來(lái)的草量。標(biāo)準(zhǔn)的牛吃草問(wèn)題為：有一塊牧場(chǎng)，可供 10 頭牛吃 20 天， 15

25、頭牛吃 10 天，則它可供 25頭牛吃多少天？三、常用方法我們現(xiàn)在介紹三種方法來(lái)解決這道題。（一）推導(dǎo)法大家注意看好我的推導(dǎo)過(guò)程， 這個(gè)方法很好用的， 而且是最基礎(chǔ)的方法， 大家來(lái)跟著我 一起推導(dǎo)看看。設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草量為 1，那么 10 頭牛 20 天吃的草量為 10× 20=200 ，15 頭牛 10 天 吃的草量為 15× 10=150。這下問(wèn)題就來(lái)了，兩種情況總草量居然相差了50 份，這相差的50 份草量是從哪里來(lái)的呢？原來(lái)啊， 這草它是天天都在長(zhǎng)的， 這多出的 50 份草就是 20-10=10 天所長(zhǎng)出來(lái)的，因此草地每天生長(zhǎng)的草量為50÷ 10

26、=5 ，最初的草量為 150-5×10=100。 25頭牛 1 天吃 25 份草，我們可以把這 25 頭牛分成兩撥，一撥專(zhuān)門(mén)吃新長(zhǎng)的草，也就是需要 5 頭牛去吃，剩下的這 20 頭牛，就讓它們專(zhuān)心去吃原來(lái)的 100 份草，因此 25 頭?？梢猿?100 ÷ 20=5 天。由上面的推導(dǎo)過(guò)程，我們可以得出推導(dǎo)法的步驟：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草量為 1，根據(jù)不同頭數(shù)的牛所吃草的天數(shù)不同，計(jì)算出草地每天長(zhǎng)草的量；計(jì)算草地原有的草量； 計(jì)算所求的牛吃草的天數(shù)。（二）公式法根據(jù)上面的推導(dǎo)過(guò)程，我們可以得出以下幾個(gè)公式其中（ 2）為核心公式。我們來(lái)把題目中的數(shù)據(jù)代入上述式子：草地每天

27、新長(zhǎng)的草量20x102010x1510 =5原有的草量 = （ 10-5）× 20=100牛吃草的天數(shù) = 100 =5 。25 5記住公式以后是不是很簡(jiǎn)單？四、題型精講（一）標(biāo)準(zhǔn)牛吃草問(wèn)題 這種題型剛剛講過(guò)了，大家可以拿這道題再練練筆。 例題 1：有一個(gè)牧場(chǎng)，每天都生長(zhǎng)相同數(shù)量的草，若放50 頭牛，則 9 天吃完牧場(chǎng)的草；若放 40 頭牛，則 12 天吃完。問(wèn)若放 30 頭牛，則多少天吃完？A 15B 18C 20D 24【答案詳解】 設(shè)每頭牛每天吃的草量為 1，則每天長(zhǎng)的草量為 （40× 12-50×9）÷（12-9） =10，最初的草量為（ 50-

28、10）× 9=360。若放 30頭牛，則 360÷（ 30-10）=18 天吃完。 （二）草量持續(xù)減少的牛吃草問(wèn)題一般情況下草每天都會(huì)長(zhǎng)的，但是也有草每天都枯萎的情況。比如下面這道題： 例題 2：由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不增長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。已 知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計(jì)算， 可供多少頭牛吃 10 天？A4B5C 6D 8【答案詳解】 此題的主要特點(diǎn)是每天草量沒(méi)有增加， 反而減少， 即每天的長(zhǎng)草量為負(fù)值， 可直接根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題的解法來(lái)解答。假設(shè)每頭牛每天所吃的草量為1，則每天的長(zhǎng)草量為（ 15×

29、;6-20×5）÷（ 6-5）=-10 ， 故牧場(chǎng)原有的草量為 20- （-10）×5=150。 故可以供 150÷ 10-10=5 頭牛吃 10 天。 事實(shí)上，對(duì)于這種情況，我們只需要把草地每天新長(zhǎng)的草量看成負(fù)數(shù)就可以了。（三）多種動(dòng)物吃草問(wèn)題 有時(shí)候題目給定的吃草動(dòng)物不止一種， 比如出現(xiàn)了牛和羊一起吃草的情況， 這時(shí)候又該 怎么辦呢？例題 3：牧場(chǎng)有一片青草，每天生長(zhǎng)速度相同?，F(xiàn)在這片牧場(chǎng)可供16 頭牛吃 20 天，或者供 80只羊吃 12 天，如果一頭牛一天的吃草量等于只羊一天的吃草量，那么 10頭牛與 60 只羊起吃可以吃多少天？.【答案詳解】題

30、干中存在兩種動(dòng)物， 計(jì)算時(shí)很不方便，根據(jù)“一頭牛一天吃草量等于 只羊一天的吃草量” ，將所有動(dòng)物轉(zhuǎn)化為牛，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：“牧場(chǎng)有一片青草，每天生成速度相同?，F(xiàn)在這片牧場(chǎng)可供 16 頭牛吃 20 天，或者供 20 頭牛吃 12 天，那么 25 頭牛一起吃可以吃多少天？”設(shè)每頭牛每天的吃草量為 1，則每天的長(zhǎng)草量為（ 16×20-20× 12）÷（ 20-12 ）=10，原 有的草量為（ 16-10 ）× 20=120 ，故可供 25頭牛吃 120÷（ 25-10） =8 天。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題， 一般都會(huì)給出兩種動(dòng)物吃草量的關(guān)系， 我們可

31、以通過(guò)這類(lèi)關(guān)系， 將兩種 動(dòng)物或者多種動(dòng)物都轉(zhuǎn)化成一種動(dòng)物，從而繼續(xù)按照標(biāo)準(zhǔn)型的解法來(lái)解決問(wèn)題。（四）多種草地問(wèn)題 如果牛不在同一片草地上吃草，我們又該怎么解決問(wèn)題呢？ 例題 4：有三塊草地， 面積分別是 5，15，24 畝。 草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問(wèn)第三塊草地可供多少 頭牛吃 80 天？A 42B 60C 54D 72【答案詳解】 草地的面積不同， 因此每天的長(zhǎng)草量和最初的草量都不一樣。 為了方便計(jì) 算，應(yīng)該把草地單位化，計(jì)算每一畝草地牛吃草的情況?？蓪⒃瓎?wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題： “一畝草地可以供 10÷5=2 頭牛吃 30天，（28÷15）頭牛吃 45 天，那么可以供多少頭牛吃 80 天？”設(shè)每頭牛每天吃的草量為 1，則一畝草地每天的長(zhǎng)草量為（ 28÷15×45-10÷ 5×30） ÷（ 45-30） =1.6 ，一畝草地最初的草量為（ 2-1.6）× 30