D25極限存在準則及兩個重要極限ppt課件

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、極限存在準則一、極限存在準則第五節(jié)第五節(jié)極限存在準則及極限存在準則及兩個重要極限兩個重要極限 第二章第二章 三、三、 無窮小量的比較無窮小量的比較 一、一、 極限存在準則極限存在準則azynnnnlimlim)2(1. 準則準則1數(shù)列極限存在的夾逼準則）數(shù)列極限存在的夾逼準則）),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0,1N當當1Nn 時時,ayn當當2Nn 時時,azn令令,max21NNN 則當則當Nn 時時, 有有,ayan,azan由條件由條件 (1)nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn

2、,2N例例1. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準則函數(shù)極限存在的夾逼準則準則準則1.,),(0時當xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求求.)321 (lim1xxxx解解: 令令xxxxf1)321 ()(xxx1

3、1)()(33231那么那么)(xf3x133利用夾逼準則可知利用夾逼準則可知.3)(limxfx3.準則準則2(單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnmnx1nx1x2xx( 證明略 )bMx1x5x4x3x2xna目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1212.,.,.limnnnnxaxaaxaxx例例 已已知知。求求:(1)解用數(shù)學歸納法證明單調(diào)性12;xx顯然，1kknkxx假設時成立，2211,kkkkxax xax 2211111kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx111kkkkkkxxxxxx與同號

4、， nx故單調(diào)增加(2)證明有界性21,nnxa x 111nnnnxaxxx1alimnnx存在1nxa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)求求極極限限2211limlimnnnnnnxa xxa x lim,nnxx設設114lim2nnax2xax114(2ax舍舍去去負負根根）1limnnxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 注 sin xxx1.010.838450.50.958850.010.999980.0050.999990.0011.0000001100未定式：0sin1. limxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1sincosxxx圓扇形

5、AOB的面積1sinlim. 10 xxx證證: 當當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有注 OBAx1DC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *sinlim(1( )xxx 則則000sinlim;2sin 3lim;sin 3lim.2xxxxxxxxx 如何計算：如何計算：公式的推廣：公式的推廣：假如假如*0lim ( )xx請請 公式的特點！公式的特點！12 3 32 注意注意例例3. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxt

6、anlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例4. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1注意：變量代換也是一種很有用的方法注意：變量代換也是一種很有用的方法20sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例5. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例6. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnA2cos

7、sin2 R說明說明: 計算中注意利用計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求求1limsin.xxx解解: 1limsinxxx1sinlim1xxx 1例例8. 求求0tanlim.tanxxxxx 解解:原式0tan1limtan1xxxxx 0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 求求22limsin.1xxxx 解：因為解：因為22lim0,1xxx 所以，所以，22limsin1xxxx 22sin1lim1xxxx 22222sin1lim2112xxxxxxx 22222sin21lim211xxxxxxx 2 目錄 上頁 下

8、頁 返回 結(jié)束 解解nnxxx2cos.4cos2coslim 0 x例例 當當 時，求時，求1limcoscos.cos242coscos.coscossin24222limsin2nnnnnnnxxxxxxxxx11coscos.cossin2422lim2sin2nnnnxxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22coscos.sin242lim2 sin2nnnxxxxsinlim2 sin2nnnxxsin xxsin2limsin2nnnxxxxsin2limsin2nnnxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.1lim(1)?nnn10102.718281(1)nnn102.5

9、93741002.7048110002.71692100002.718155102.71827e 未定式：1證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知目

10、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)準則 2 可知數(shù)列nx1lim(1)ennn即有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n內(nèi)容小結(jié) 注注: :這個極限值被瑞士歐拉這個極限值被瑞士歐拉Euler)Euler)首先用字首先用字母母e e表示，它是一個無理數(shù)表示，它是一個無理數(shù), , 其值用其值用e = 2.7182818284)e = 2.7182818284)來表示來表示. .2.e)1(lim1xxx證證: 當當0 x時, 設, 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (n

11、n111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx當x, ) 1( tx那么,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx說明說明: 此極限也可寫為此極限也可寫為:10lim (1)e（ ) )（ ) )（ ) )xxx 時, 令10lim(1)exxx更一般地有:例例9. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用：若利用,

12、 e)1 (lim)()(1)(xxx那么 原式 111lim (1)exxx 未定式：1limx例例10. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1 未定式：1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11求極限求極限 xxxx193lim xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e解解0()未定式： 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11 (復利息問題復利息問題)設銀行將數(shù)量為設銀行將數(shù)量為A0的款貸出的款貸出,每期

13、利每期利率為率為 r.若一期結(jié)算一次若一期結(jié)算一次,則則t 期后連本帶利可收回期后連本帶利可收回 0(1)ttAAr 若每期結(jié)算若每期結(jié)算 m 次次,那么那么 t 期后連本帶利可收回期后連本帶利可收回 0011mttmtrrAAAmm 現(xiàn)實生活中一些事物的生長現(xiàn)實生活中一些事物的生長 (r0) 和衰減和衰減 (r0)就遵從這種規(guī)就遵從這種規(guī)律律,而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。例如細胞的繁殖、樹木生長、物而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。例如細胞的繁殖、樹木生長、物體冷卻、放射性元素的衰減等。體冷卻、放射性元素的衰減等。1,t 本利和：2,t 本利和：3,t 本利和：0001AA rAr2000111ArAr

14、rAr223000111.ArArrAr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若按連續(xù)復利若按連續(xù)復利( (將利息記入本金將利息記入本金, ,時刻結(jié)算本利時刻結(jié)算本利和的方法和的方法) )計算：計算：00lim(1)mtrtmrAA em實質(zhì)上就是每期的結(jié)算次數(shù)實質(zhì)上就是每期的結(jié)算次數(shù) 時的本利和時的本利和m 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 rtteAA0ttrAA)1 (0mttmrAA)1 (0rtteAA0貼現(xiàn)問題貼現(xiàn)問題 與此相反，若已知未來值At求現(xiàn)在值A0，則稱貼現(xiàn)問題。這時利率r稱為貼現(xiàn)率。連續(xù)的貼現(xiàn)公式為： 若稱A0為現(xiàn)在值，At為未來值，已知現(xiàn)在值求未來值是復利問題:由復利公式，容易推

15、得離散的貼現(xiàn)公式為: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12 12 設年利率為設年利率為6.56.5，按連續(xù)復利計算，現(xiàn)投資，按連續(xù)復利計算，現(xiàn)投資多少元，多少元，1616年之末可得年之末可得12001200元？元？rtteAA 0解：貼現(xiàn)率解：貼現(xiàn)率r=6.5r=6.5，未來值，未來值At=1200At=1200，t=16t=16?，F(xiàn)在值：（元）（元）15.4248292. 21200120004. 1 e16065. 01200 e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可

16、見無窮小量趨于可見無窮小量趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . 三、無窮小的比較三、無窮小的比較目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0limCk定義定義.例如例如 , 當當,0lim假設則稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假設假設假設, 1lim假設,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價無窮小,記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明證明: 當當0 x時,11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時當 x11n

17、xxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明證明: 1 ln .xaxa 0e1 .xxx時時，證證:, 1e xy令, )1ln(yx則,0,0yx時且xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e xx )1ln( 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 因而 即有等價關系: 說明說明: 上述證明過程也給出了等價關系上述證明過程也給出了等價關系: )1ln(1lim10yyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時x,

18、sinxx,tanxx故,0 時x, )(sinxoxx)(tanxoxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 . 設設,且lim存在 , 那么lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052等價無窮小替換定理：等價無窮小替換定理：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注: :此定理表明此定理表明, , 求兩個無窮小量積或商的求兩個無窮小量積或商的極限時極限時, , 如果分子或分子的乘積因子或分母如果分子或分子的乘積因子或分母或分母的乘積因子的等價無窮小量存在或分母的乘積因子的等價無窮小量存在, , 則則就可用它們各自的

19、等價無窮小量來代換原來的分就可用它們各自的等價無窮小量來代換原來的分子或子或 分母或分子或分母的乘積因子）分母或分子或分母的乘積因子）, , 使計使計算簡化。算簡化。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231x221x例例4. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式3

20、2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tan2limsin3xxx 求求2tan2limsin2im3l33xxxxxx ,0 xtxt解：令，則時0tan2tan2()limlimsin3sin3()xtxtxt 0tan2limsin3ttt 02lim3ttt 23 例例5. 5. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tan20(1cos )lim;(1)sinxxxxex 求求tan01 xxe 解解時時，tan20(1cos )lim(1)sinxxxxex 例例6. 6. tanx,x2sinx2x2202limxxxx x 12 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7 假設假設 ，求，求a.0

21、11lim1xxa exx 解：解：011limxxa exx01lim11xxax ex01lim1xxxeaxex01lim()xxxeaxexx1a 1所以，所以，a = 2.1xex目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0sinlim(cos)5,xxxxba bea，求0sinlim(cos)5xxxxbea 0)(cossinlim0bxxx0lim()0 xxea 0sinlim(cos)xxxxbea*( )lim( )xf xAg x例例8 8 假假設設【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題. .注注 ：一般地，知：一般地，知解解1a 0lim(

22、cos)xxxbx15b 4b (1)( )0( )0;(2)( )00( )0,g xf xf xAg x若，則若，且，則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題：知思考題：知 ，求，求20( )ln(1)sinlim31xxf xxe 20( )limxf xx 解解 因為因為 ，那么，那么20lim(1)0 xxe0( )limln(1)0sinxf xx所以，所以， ，利用等價無窮小替換得，利用等價無窮小替換得0( )lim0sinxf xx 2000( )( )ln(1)( )sinsinlimlimlim3122 sinxxxxf xf xf xxxexxx 200( )( )limlim6sinxxf xf xxxx從而從而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0時當 xsin xtan xarcsinx,x,x,xcos1x,221x11nx,1xn常用等價無窮小常用等價無窮小 :第八節(jié) )1ln(x1e x, xxx說明： 可以是簡單變量，也可以是