D21導數(shù)的概念第9次課ppt課件

1、一、引例一、引例二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導數(shù)五、單側(cè)導數(shù)第一節(jié)第一節(jié)導數(shù)的概念導數(shù)的概念 第二章 二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義定義定義1 . 設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)假設的

2、某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處可導, 在點0 x的導數(shù). 0limxx00)()(xxxfxf運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 說明說明: 在經(jīng)濟學中在經(jīng)濟學中, 邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學角度看就是導數(shù).例例1. 設設)(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfh

3、hxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )x(f0 )( 2 )(0hhxf)(0 xf解解: 因為因為例例2. 設設)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f三、三、 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 假設,0)(0 xf曲線過上升;假設,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x

4、),(00yx假設,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點;),(00yx),(00yx0 x假設,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf1111例例3. 問曲線問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy)

5、 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線處可導在點xxf)(四、四、 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)()(xf設0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例4.所以 )(xf0 x在處連續(xù). 即)(xf0 x在處可導 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導性. xxxx120sinlim0)0( f在點0 x的某個右 鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000

6、則稱此極限值為)(xf在 處的右 導數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數(shù)設函數(shù)有定義,存在,定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右 導數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點0 x必 右 連續(xù).(左)(左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間

7、 a , b 上可導,)(baCxf在開區(qū)間 內(nèi)可導,),(ba在閉區(qū)間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.思考與練習思考與練習1. 函數(shù)函數(shù) 在某點在某點 處的導數(shù)處的導數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)絡:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導函數(shù)2. 設設)(0 xf 存在 , 那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4.

8、 假設假設),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導?解解:由題設)0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導, 且0)0( f5. 設設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .)(xf在 0 x處連續(xù), 且xxfx)(lim0存在， 證明:)(xf在0 x處可導.證：因

9、為證：因為xxfx)(lim0存在， 則有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x處連續(xù),0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導.6. 設設xfxfx)0()(lim0)0(f 故7.7.設設)(xf在2x處連續(xù),且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx38.8.設設)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 9.9.假設0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(e)cos(sinlim20 xxxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f聯(lián)想到湊導數(shù)的定義式220(sincos )limxfxxx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f x10.10.設設1eelim)() 1() 1(2xnxnnbaxxxf,試確定常數(shù)a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時x;)(axf時，1x.2)(xxf)