201x一輪復(fù)習(xí) 第6章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法

1、考綱要求考情分析了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.1.從考查內(nèi)容看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題是考查的重點(diǎn)，其中以數(shù)列為載體的“歸納猜想證明”是考查的熱點(diǎn)2.從考查形式看，以解答題為主，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬中高檔題.一、數(shù)學(xué)歸納法的定義由歸納法得到的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的證明方法：(1)驗(yàn)證當(dāng)nn0(n0N*)時(shí)命題成立(遞推的基礎(chǔ))；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立(遞推的根據(jù))；(3)根據(jù)(1)(2)可知，當(dāng)_ _時(shí)命題都成立，這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法nk1n取從n0開始的所有正整數(shù)1在歸納奠

2、基中，第一個(gè)值n0是否一定為1呢？提示：不一定要看題目中n的要求如在證明多邊形的內(nèi)角和定理f(n)(n2)180中，第一個(gè)值n0應(yīng)該為3.二、數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，它的基本步驟是：(1)驗(yàn)證n取第一個(gè)值 時(shí)命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立的前提下，推出n_時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立n0nk(kn0)k12數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有何關(guān)系？提示：數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推，兩者缺一不可應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運(yùn)用“歸納假設(shè)”，沒(méi)有

3、運(yùn)用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法解析：邊數(shù)最小的凸多邊形是三角形答案：C解析：當(dāng)n1時(shí)，an1a2.驗(yàn)證n1時(shí)，等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1aa2.答案：C答案：C 5設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形答案：或180 【考向探尋】1對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理理解的考查2驗(yàn)證初始值，左、右代數(shù)式問(wèn)題3由k到k1的變化問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解 【典例剖析】(1)如果命題P(n)對(duì)nk成立，則它對(duì)nk2也成立，若P(n)對(duì)n2也成立，則下列結(jié)論正確的是AP(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立BP(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立CP(n)對(duì)所

4、有正奇數(shù)n都成立DP(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立題號(hào)分析(1)由數(shù)學(xué)歸納法中的遞推關(guān)系可得結(jié)論(2)列出nk，nk1時(shí)的兩個(gè)式子比較即可.解析：(1)由題意nk時(shí)成立，則nk2時(shí)也成立，又n2時(shí)成立，則P(n)對(duì)所有正偶數(shù)都成立答案：B答案：D (1)在數(shù)學(xué)歸納法的第二個(gè)步驟中，要注意觀察遞推的形式，以便準(zhǔn)確地得到相應(yīng)的一般性的結(jié)論(2)判斷由nk到nk1時(shí)式子的變化情況時(shí)，要利用兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來(lái)判別增加的項(xiàng)的規(guī)律，這是數(shù)學(xué)歸納法證題的難點(diǎn)【活學(xué)活用】1(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，從k到k1時(shí)左邊需要增乘的代數(shù)式為_答案：2(2k1)【考向探尋】1證明等式問(wèn)

5、題2證明不等式問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式 (1)第一步驗(yàn)證n1時(shí)等式成立，(2)第二步假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，證明nk1時(shí)等式成立(1)第一步驗(yàn)證n2時(shí)不等式成立，(2)第二步假設(shè)nk(kN*，k1)時(shí)不等式成立，證明nk1時(shí)不等式成立 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，在第二步中尋找由k到k1的變化規(guī)律是難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k1的推證方法在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析P(k)與P(k1)的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，若從P(k1)中分離出P(k)，再進(jìn)行局部調(diào)整；也可考慮尋求二者的“結(jié)合點(diǎn)”，以便順利過(guò)渡，切實(shí)掌握“觀察歸納猜想證明”這一特殊到一般的

6、推理方法(2)證明不等式時(shí)，在由nk時(shí)不等式成立，推導(dǎo)nk1時(shí)不等式也成立時(shí)，過(guò)去講過(guò)的證明不等式的方法在此都可以使用如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考慮與原不等式等價(jià)的命題等答案：D 【考向探尋】利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的等式、不等式等問(wèn)題數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題 【典例剖析】 (2012全國(guó)高考)函數(shù)f(x)x22x3.定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)兩點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求證：2xnxn13；(2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解答本題可按以下步驟進(jìn)行：(1)求出直線PQ方程與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；(2)確定xn1與xn的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求xn.數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用是高考的常見題型，解決類似問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)利用數(shù)學(xué)歸納法解題是關(guān)鍵因此要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法可解決的問(wèn)題的類型及數(shù)學(xué)歸納法證題的思路與要求【活學(xué)活用】3數(shù)列an 滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想數(shù)列中“歸納猜想證明”問(wèn)